de l’ordre de la milliseconde pour les effets cin´etiques, de la dizaine de millisecondes pour le chauffage ´electronique et de la centaine de millisecondes pour la diffusion r´esistive du cou-rant. En vertu de ses caract´eristiques principales, ce mod`ele a ´et´e nomm´e “mod`ele K+T” (Kinetic + Transport) et sa description, ainsi que les r´esultats qu’il a permis d’obtenir et qui sont pr´esent´es ici, peuvent ˆetre retrouv´es dans la r´ef´erence 49.
Ce chapitre est organis´e comme suit : tout d’abord, au cours de la section 6.2, les diff´erents ´el´ements du mod`ele utilis´e dans ce travail seront pr´esent´es. Une premi`ere ap-plication concerne la mod´elisation des r´egimes LHCD, o`u l’onde hybride est seule dans le plasma. Cette phase permet en particulier de d´egager les principales caract´eristiques du mod`ele en fonction des param`etres choisis. Les d´echarges combin´ees2, constituant le sujet central de ce chapitre seront abord´ees dans la section 6.4. Ce travail visant principalement `
a ´etudier la possibilit´e d’utiliser l’onde cyclotronique ´electronique pour le contrˆole du profil de courant, le chapitre sera conclu par une discussion de ce point.
6.2 Pr´esentation du mod`ele
L’un des objectifs du mod`ele dont les principes ont ´et´e ´enonc´es ci-dessus est de per-mettre la compr´ehension des propri´et´es ´el´ementaires des sc´enarios qu’il d´ecrit. C’est la rai-son pour laquelle il a ´et´e simplifi´e autant que possible, tout en conservant les d´ependances essentielles et l’aspect non lin´eaire qui rend ces sc´enarios tr`es complexes. A titre d’exemple, une description pr´ecise de l’onde hybride basse n´ecessite sans nul doute un trac´e de rayons [138] permettant de rendre compte des diff´erents effets gouvernant l’interaction onde-plasma [118]. Cependant, l’utilisation d’un mod`ele plus simple, bas´e sur le domaine de propagation de l’onde, autorise la description du comportement du d´epˆot de puissance vis-`a-vis du profil de temp´erature, de densit´e ´electroniques et de facteur de s´ecurit´e [126]. D’autre part, les effets MHD ne sont pas pris en compte dans le mod`ele, de mˆeme que les effets du cisaillement de rotation, la justification de ce point ´etant que les ondes utilis´ees interagissent avec les ´electrons du plasma et se traduisent donc par un transfert global d’impulsion tr`es faible. Il est important de souligner cependant que l’aspect modulaire de ce mod`ele autorise l’inclusion future de sources suppl´ementaires de non-lin´earit´e (passage du r´egime multipassage au r´egime simple passage pour l’onde hybride basse, par exemple).
6.2.1 Aspect cin´etique
Le but du code cin´etique utilis´e dans le mod`ele est le calcul de la fonction de distri-bution f (p, r, t). L’utilisation des sym´etries permet de r´eduire le nombre de dimension de l’espace des impulsions `a 2 (voir section 4.1). Il s’agit toutefois du minimum possible, puisque l’onde hybride basse agit dans la direction parall`ele (voir section 4.3) alors que l’onde cyclotronique ´electronique influence surtout la dynamique perpendiculaire de la fonction de distribution (voir section 4.2).
2Dans toute la suite et pour ´eviter certaines lourdeurs de langage, le terme “d´echarge combin´ee” sera utilis´ee pour d´esigner une d´echarge r´eunissant les ondes hybride basse et cyclotronique ´electronique.
L’´equation de Fokker-Planck `a r´esoudre peut ˆetre ´ecrite sous la forme g´en´erale ∂f ∂t = h ˆCf i + * eEk ∂f ∂pk + + * ∂ ∂p = Drf ∂f ∂p + + * 1 r ∂ ∂rrDt ∂f ∂r + (6.1)
Les crochets se rapportent `a la moyenne sur le rebond (voir section 4.1.1) et les termes du membre de droite d´ecrivent respectivement les collisions coulombiennes, le champ ´
electrique statique, la diffusion quasilin´eaire induite par les ondes dans l’espace des vi-tesses et la diffusion radiale des ´electrons rapides (voir section 4.1.3).
Les diff´erents mod`eles pour chacun de ces ´el´ements ont ´et´e largement discut´e dans le chapitre 5 :
1. L’op´erateur de collisions ˆC est sous sa forme haute vitesse (voir expression 4.31). 2. L’onde hybride basse est d´ecrite par l’interm´ediaire d’un coefficient de diffusion
qua-silin´eaire ˆDlh appropri´e `a la description du r´egime multipassage (voir section 4.3). L’utilisation d’un code de trac´e de rayon ne poserait pas de probl`eme technique par-ticulier, mais pour des raisons de temps de calcul et dans un souci de compr´ehension des caract´eristiques principales de l’interaction onde-plasma, un mod`ele simple a ´et´e pr´ef´er´e.
3. Le coefficient de diffusion de l’onde cyclotronique ´electronique est donn´e par l’expres-sion (4.40). Dans les simulations r´ealis´ees ici, on consid´erera uniquement des cas o`u la propagation de l’onde a lieu dans le plan ´equatorial et par cons´equent, un mod`ele slab sera utilis´e. Le principal effet toro¨ıdal (la conservation de l’invariant nkR o`u nk est l’indice de r´efraction parall`ele et R la distance `a l’axe du tore) est pris en compte en utilisant l’expression nk = nk0(R0+ x0)/(R0+ x) o`u x est la coordonn´ee hori-zontale, x0 la localisation de l’injecteur et nk0 l’indice parall`ele caract´erisant l’onde envoy´ee dans le plasma (voir la section 3.4 du chapitre 3 pour une discussion plus approfondie de ce point).
4. La diffusion radiale est suppos´ee caus´ee par les champs magn´etiques turbulents pr´esents au sein du plasma (voir section 4.4). Etant donn´ee la difficult´e d’obtenir des mesures ou de mod´eliser cette turbulence magn´etique [139], le mod`ele n’int`egre pas les d´ependances du coefficient de diffusion radiale vis-`a-vis de l’´evolution des param`etres du plasma. En d’autres termes, la forme de ce coefficient de diffusion est Dt= 2πR0˜b2|vk| o`u R0 est le grand rayon du tokamak, ˜b est le niveau de turbulence magn´etique, suppos´e constant et vk est la vitesse ´electronique parall`ele.
Un point important est que le code utilis´e peut inclure, outre les effets des fluctua-tions du champ magn´etique, les fluctuations du champ ´electrostatique. Cependant, il est reconnu que les ´electrons suprathermiques subissent surtout l’influence de la turbulence d’origine magn´etique, du fait de la d´ependance de Dtvis-`a-vis de la vitesse parall`ele (voir chapitre 5, section 4.4). Il faut toutefois noter que le transport thermique est bien caus´e par la turbulence ´electrostatique due aux instabilit´es d’ondes de d´erive [175]. Le choix de consid´erer uniquement la turbulence magn´etique du point de vue des ´electrons rapides n’est donc absolument pas en contradiction avec le mod`ele utilis´e pour la description du transport de la chaleur.
6.2. Pr´esentation du mod`ele 153
6.2.2 Equations de transport
D´ecrire l’´evolution des grandeurs macroscopiques de la d´echarge implique l’utilisation d’un syst`eme d’´equations `a une dimension (radiale). Dans ce mod`ele, la densit´e est sup-pos´ee invariante dans le temps, ce qui est une approximation raisonnable ´etant donn´e le faible effet observ´e sur cette densit´e en pr´esence d’onde hybride basse et cyclotronique ´
electronique, dans les conditions d’op´eration courantes.
Le courant total est la somme du courant ohmique obtenu `a partir de la r´esistivit´e n´eoclassique, du courant g´en´er´e par les ondes radiofr´equences et du courant de bootstrap, calcul´e `a partir du mod`ele pr´esent´e dans la r´ef´erence 13.
En pr´esence d’un champ ´electrique r´esiduel (lorsque Vloop 6= 0) et d’ondes radio-fr´equence, il est n´ecessaire de corriger la conductivit´e afin de prendre en compte un terme crois´e proportionnel `a la tension par tour et `a la puissance radiofr´equence. Cette correc-tion, appel´ee conductivit´e chaude peut ˆetre ´evalu´ee analytiquement [79] ou `a partir du code Fokker-Planck lui-mˆeme et est donc incluse dans le mod`ele. Il faut souligner toute-fois que dans les simulations pr´esent´ees plus loin dans ce chapitre, ce terme s’est r´ev´el´e n´egligeable, puisque le champ ´electrique r´esiduel est g´en´eralement tr`es faible.
Les temp´eratures ´electroniques et ioniques sont calcul´ees `a l’aide du mod`ele Bohm-gyroBohm [9, 170]. L’id´ee de base est que le transport de la chaleur est le r´esultat de la turbulence des ondes de d´erive dont la longueur de corr´elation L varie entre petites ´
echelles (rayon de Larmor ionique, ρi) et grandes ´echelles ((ρia0)1/2) selon l’intensit´e du couplage toro¨ıdal entre les diff´erents modes de d´erive [176]. Plus sp´ecifiquement, ce cou-plage augmente avec le cisaillement magn´etique sm ≡ d ln(q)/d ln(r), ce qui implique un transport de type Bohm (grandes ´echelles) pour sm ´elev´e et gyroBohm (petites ´echelles) pour sm faible ou n´egatif. A la transition entre ces deux r´egions (autrement dit `a l’endroit d’inversion du cisaillement magn´etique), une barri`ere de transport interne3 s’´etablit. Les expressions pour les diffusivit´es thermiques ´electronique (χe) et ionique(χi) sont
χe = χBohm αBq 2 L∗ p fs(q) + αgB ρ ∗ L∗T ! + χneoe χi = χBohm 2αBq 2 L∗p + αgB ρ∗ L∗T ! + χneoi (6.2) o`u χBohm ≡ Te[eV] B0[T] (6.3) et L∗p ≡ p a0∇p, L ∗ T ≡ Te a0∇Te, ρ ∗ = (miTe) 1/2 eB0a0 (6.4)
Dans ces expressions, p est la pression totale, a0 le petit rayon, Te la temp´erature ´
electronique et mi la masse de l’ion majoritaire au sein du plasma. χneoi (resp. χneoe ) est la diffusivit´e n´eoclassique ionique (resp. ´electronique) et il convient de souligner que ces deux quantit´es d´ependent elles-mˆemes de q.
3
Il est clair que la question du choix de la fonction de cisaillement fs et des coefficients empiriques αBet αgB est une question centrale conditionnant largement le comportement d’un tel mod`ele. Dans ce travail, les param`etres choisis correspondent `a des valeurs pu-bli´ees, grˆace auxquelles il a ´et´e possible de reproduire le comportement d’un grand nombre de d´echarges sur plusieurs machines, dont Tore Supra et FTU [9,172,173]. Ces param`etres sont
fs(q) = 1
1 + exp(20(0.05 − sm)), αB = 0.0033 et αgB = 0.035 (6.5) Sur la figure 6.3, on a repr´esent´e un profil de q invers´e, ainsi que la fonction de cisaille-ment correspondante (a) et la diffusivit´e ´electronique calcul´ee par le code ASTRA [174] (b) avec ses diff´erentes contributions : Bohm, gyroBohm et n´eoclassique
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/a0 0 1 2 3 4 5