R´eseaux de Klumpenhouwer

Nous pr´esentons ce proc´ed´e analytique transformationnel qui fait appel `a la structure de graphe.

D´efinition 1 La d´efinition formelle d’un graphe est un couple (S,A) o `u on a : – Un ensemble de sommets S

– Un ensemble d’arc ou arˆetes A avec a ∈ Aet a =(sd,sa) ∈ SxS

Lorsque qu’on prend en compte l’ordre des sommets dans A, alors le graphe est orient´e, sinon il est non-orient´e.

Parmi les repr´esentations issues de cette d´efinition, on trouve bien entendu la plus usuelle constitu´ee par des nœuds repr´esentant les sommets et les arcs repr´esentant les liens. Une autre possibilit´e courante est la matrice d’adjacence du graphe, o `u l’intersection des lignes et colonnes de la matrice. Ces deux points de vue d´ecrivent le mˆeme graphe sur la figure 3.13.

Un K-r´eseau, ainsi nomm´e en r´ef´erence `a son cr´eateur Henry Klumpenhouwer, est un graphe connexe dont les sommets sont les classes de hauteurs et les arˆetes les op´erations de transposition et d’inversion. C’est donc un graphe valu´e et orient´e. Un exemple reliant les classes de hauteur {0, 1, 3} apparaˆıt figure 3.14.

L’application des K-r´eseaux comporte un niveau sup´erieur qui est la propri´et´e d’isographie (positive et n´egative) entre deux K-r´eseaux.

Figure 3.14 – Un K-r´eseau repr´esentant l’ensemble {0,1,3}.

– la disposition des relations de transposition et d’inversion est la mˆeme ; – les valeurs des transpositions sont les mˆemes ;

– il existe un unique k sup´erieur `a 0 tel que pour toute inversion Inpr´esente dans un

graphe, l’inversion correspondante Ip dans l’autre v´erifie : Ip = In+k(pour k = 0, on

parle de relation d’isographie forte).

Cet indice k permet de d´efinir un hyper-op´erateur entre K-r´eseaux. Pour deux r´eseaux R et S on note ainsi : < Tk > (R) = S si et seulement R et S sont positivement

isographes, avec k = n − p mod 12.

D´efinition 3 Deux K-r´eseaux sont dits n´egativement isographes si :

– la disposition des relations de transposition et d’inversion est la mˆeme ;

– les valeurs des transpositions sont inverses, i.e. pour toute transposition Tnpr´esente

dans un graphe, la transposition correspondante Tmdans l’autre v´erifie : Tm= T12−n

(graphiquement, les transpositions gardent les mˆemes indices mais leur orientation est invers´ee) ;

– il existe un unique k sup´erieur `a 0 tel que pour toute inversion Inpr´esente dans un

graphe, l’inversion correspondante Ip dans l’autre v´erifie : Ip= I12−n+k.

D’une mani`ere analogue, pour deux r´eseaux R et S on note ainsi : < Ik > (R) =

S si et seulement R et S sont n´egativement isographes, avec k = 12 − n + p mod 12. Une r´eflexion et mise en perspective du concept des hyper-op´erateurs (notam- ment de la dualit´e entre les objets et les transformations) est largement discut´ee au sein des analystes utilisant cet outil analytique [Nol07]. Nous verrons plus loin les exemples d’application et les difficult´es qui en r´esultent.

Deuxi`eme partie

Contributions

4

Mod´elisation informatique de

l’analyse cr´eatrice par l’interm´ediaire

des

Structures Ia de Boulez et vision

diagrammatique de l’analyse

4.1

Introduction : la mod´elisation, entre analyse et

composition

Ce chapitre s’int´eresse `a la mod´elisation d’une composition dod´ecaphonique de Pierre Boulez dont les rouages ont ´et´e d´ecrits par une analyse de Ligeti. Nous ´etudions la reconstruction de ce sch´ema compositionnel, `a l’aide d’une machi- nerie qui peut g´en´erer d’autres pi`eces selon des param`etres laiss´es au choix de l’utilisateur. Avant d’´evoquer en quels termes l’analyse peut servir de base `a la composition, et la mani`ere dont nous allons le r´ealiser dans un cadre informatique, nous discutons la notion de mod`ele.

Nous avons ´evoqu´e auparavant cette modification du statut du compositeur qui doit d´esormais faire face `a la mise en place d’un syst`eme (qui n’est pas cens´e expliquer la composition enti`ere) et que G´erard Assayag montre :

≪La mutation du compositeur en bˆatisseur de syst`eme formel est

notamment illustr´ee par la r´evolution dod´ecaphonique et s´erielle, dans laquelle les axiomes ne sont pas des objets directement dict´es par la perception (ils acc`edent alors par leur arbitraire mˆeme au statut in- discutable d’axiomes) et les r`egles de construction s’´emancipent du pass´e. La mutation est men´ee `a un stade proche de la saturation dans la p´eriode contemporaine, o `u ce m´ecanisme de refondation formelle se voit mis en œuvre avec une granularit´e de temps qui ne ressort plus de l’´echelle historique et se r´eduit quelquefois `a la p´eriode de gestation d’une seule œuvre. Ces deux ´evolutions de la logique et de la musique vers la notion de syst`eme (ou de calcul) formel sont quasiment conco- mitantes, et ´eclairent d’un jour singulier la relation de la musique `a l’informatique1_≫[Ass09].

Le compositeur Hugues Dufourt lui mˆeme avance les avantages du mod`ele (ici dans le cadre de la musique ´electroacoustique) :

≪En exp´erimentant sur des mod`eles, l’informatique musicale

r´ealisait un progr`es d´ecisif, celui qui consiste `a ´elaborer une repro- duction artificielle des ph´enom`enes que l’on d´esirait observer. Tr`es vite, la simulation num´erique d´epassait en effet le stade de l’analogie entre le mod`ele et le ph´enom`ene [. . . ] La mod´elisation a donc jou´e dans l’´elaboration de la th´eorie un r ˆole `a la fois critique et prospectif. [. . . ] Le mod`ele a jou´e un r ˆole organisateur par rapport `a la th´eorie qui le g´en´eralisait. En ce cas, le mod`ele sert d’´epreuve et de contrepartie objective `a la th´eorie. Il fournit une r´ealisation et un paradigme plus concrets de ses raisons d´eductives. Cependant, le propre d’un mod`ele est de d´eborder le strict domaine d’application de ce qu’on lui assigne. Le mod`ele ne constitue pas la simple illustration de la th´eorie, mais son extension. Ainsi un mod`ele est-il aussi bien un moyen de recherche qu’un proc´ed´e de validation≫[Duf91].

Figure 4.1 – L’espace de mod´elisation, pont entre l’espace conceptuel et l’espace d’´ecriture, tir´e de [Mal03].

Tout comme la partition fixe le ph´enom`ene musical, la mod´elisation repr´esente la passerelle entre l’id´ee et le r´eel, entre un espace conceptuel et l’espace d’´ecriture. D’apr`es Mikhail Malt, l’espace de mod´elisation est le lieu o `u s’´etablissent les sch´emas qui permettront au compositeur de repr´esenter concr`etement ou musi- calement ses concepts abstraits (musicaux ou extra-musicaux), C’est l’espace o `u il effectue ses choix et il est montr´e sur le sch´ema en figure 4.1 auquel s’ajoute l’interpr´etation pouvant s’op´erer `a tous niveaux.

Nous prenons alors une composition, ou plus exactement son analyse qui en d´etaille la conception, qui d´efinit notre espace de mod´elisation. Nous effectuons alors deux impl´ementations sous OpenMusic et Rubato [Ahn07], en s’appuyant sur la sp´ecificit´e de chaque logiciel afin d’´etendre le sch´ema musical initial.