R´ eponse non lin´ eaire du halo sph´ erique

Discussion de l’approche “source”

La double description de l’environnement (champ de mar´ee + accr´etion) n’est en aucun cas une obligation pour d´ecrire la r´eponse lin´eaire du syst`eme. Ainsi, il n’est tenu compte `a aucun instant d’une quelconque r´etroaction de la r´eponse du halo sur les particules entrantes. Par cons´equent, le fait qu’une particule soit interne ou externe au halo n’influe en rien le calcul de la r´eponse. Il d´ej`a ´et´e fait mention d’une description en terme de propagateurs (voir les chapitres 2.1.2 pour le cas cubique et l’annexe A de l’article ci-jointpour le cas sph´erique) qui requiert de connaˆıtre la fonction de distribution du halo et de son environnement. L’addition d’un terme source peut ˆetre autrement ´

evit´ee, pour peu que le champ de mar´ee perturbateur contienne les contributions des particules qui sont entr´ees dans le halo. Les particules accr´et´ees n’interviennent plus que par le terme ψ^e de l’´equation de Boltzmann (voir l’´equation (2.78)). Ce type de description n´ecessite n´eanmoins de connaˆıtre `a chaque instant les positions-vitesses de la mati`ere entrante et donc de r´esoudre `a priori les trajectoires de particules entrant dans le halo non perturb´e. Cette contrainte n’est pas souhaitable puisqu’elle impose de connaˆıtre le mod`ele `a l’´equilibre du halo et ceci d`es la d´efinition du terme source. De plus, la m´ethode “source” d´ecrit naturellement le processus de m´elange des phases `a partir de la seule connaissance de la fonction de distribution de la mati`ere au rayon de Viriel. La m´ethode “potentielle” n´ecessite un calcul des trajectoires, particules par particules, pour pouvoir d´ecrire correctement ce processus, avant mˆeme de pouvoir d´eterminer la r´eponse du halo et tout en augmentant la quantit´e d’informations `a poss´eder sur l’accr´etion (puisqu’il faut son ´evolution temporelle). Pour ces premi`eres raisons, cette description dichotomique (champ de mar´ee + accr´etion) a ´et´e retenue. De plus, il est montr´e dans le chapitre suivant que la description “potentielle” ne peut ˆetre conserv´ee pour une approche non lin´eaire, d´esignant de fait la description “source” comme ´etant celle la plus `a mˆeme de d´ecrire correctement la dynamique du halo ouvert.

R´esum´e

Les calculs pr´ec´edents supposent un r´egime de perturbations de faibles amplitudes permettant la lin´earisation des ´equations de champs et d’´evolution (cf. les ´equations (8.2) et (2.62)). L’introduction d’un terme de source permet l’extension de ce formalisme au cas des syst`emes ouverts (cf. l’´equation (2.39)). Au final, la r´eponse d’un halo est d´eduite `a partir de deux entr´ees, le champ de mar´ee et l’accr´etion, sur lesquelles op`erent deux op´erateurs diff´erents (cf. l’´equation (2.84)). Outre sa simplicit´e, l’approche lin´eaire permet une propagation directe des fonctions de corr´elations des perturbations aux corr´elations de la r´eponse (´equation (2.93)).

2.4 R´eponse non lin´eaire du halo sph´erique

L’absence de r´etroaction implique que la trajectoire de la mati`ere accr´et´ee reste celle qu’elle aurait eu dans le halo `a l’´equilibre. En particulier, toute mati`ere entrante doit ressortir par simple conservation de l’´energie et du moment. Plus g´en´eralement, une perturbation entrante est en mesure d’orbiter au travers du halo sans ˆetre aucunement perturb´ee. Une telle situation n’est bien sˆur pas r´ealiste : par exemple, un satellite verra

sa trajectoire modifi´ee sous l’effet des forces de friction dynamique. D’un point de vue du calcul de la r´eponse, l’absence de friction implique une excitation r´ecurrente du halo sous-jacent et peut conduire `a de fortes r´eponse du halo pour peu qu’une excitation mette en jeu des r´esonances “critiques”. Ceci conduit naturellement `a consid´erer les effets non lin´eaires qui entrent en jeu dans le calcul de la r´eponse du halo. De plus, un halo excit´e par des fluctuations du champ de mar´ee tend `a d´evelopper des “modes” amortis, du fait du caract`ere stable du mod`ele `a l’´equilibre. N´eanmoins, certains de ces modes s’av`erent n’ˆetre que faiblement amortis et un halo soumis `a un champ perturbateur peut “osciller” durant de longues p´eriodes avant la r´eponse ne soit compl`etement dissip´ee. La prise en compte d’effets non lin´eaires doit ´egalement pouvoir influer sur ce ph´enom`ene, dans un souci de description coh´erente de la dynamique interne du halo. Enfin, le r´egime lin´eaire ne r´esout pas la gravit´e propre de la mati`ere entrante et par cons´equent ne permet pas d’aborder correctement les interactions entre objets et l’effeuillage des structures par effets de mar´ee.

Il faut noter que sous l’influence des couplages non-lin´eaires, les trajectoires sont modifi´ees, n´ecessitant de fait un traitement de type source, o`u la dynamique est r´esolue de fa¸con coh´erente `a partir des conditions initiales. Une description purement potentielle n´ecessiterait de connaˆıtre `a priori les trajectoires perturb´ees, chose impossible compte tenus des couplages qui apparaissent dans ce r´egime. Ceci justifie, `a posteriori cette fois, cette description s´epar´ee des perturbations externes et internes.

Calcul perturbatif

Le probl`eme non lin´eaire est abord´e via une description perturbative. Dans cette approche, la r´eponse du syst`eme `a un jeu de perturbations s’´ecrit sous la forme d’une somme de “corrections” `a l’ordre lin´eaire et d’amplitudes de plus en plus faibles:

F (r, v, t) = F (v) + f(1)(r, v, t) + ²f⁽²⁾(r, v, t) + . . . + ⁿf⁽ⁿ⁾(r, v, t),

= ^X

n

ⁿf⁽ⁿ⁾(r, v, t). (2.94)

L’utilisation d’une telle m´ethode sugg`ere que la s´erie d´ecrite par l’´equation (2.94) converge avec la prise en compte d’ordres de plus en plus ´elev´es. Cette propri´et´e n’est pas garantie `a priori. En toute g´en´eralit´e, un syst`eme est susceptible de d´evelopper des instabilit´es qui rendent caduque l’applicabilit´e de la m´ethode lin´eaire et `a fortiori l’approche perturbative non-lin´eaire. Pour cette raison, les propri´et´es de stabilit´e et de faibles non lin´earit´es seront suppos´ees par la suite. Dans les sections suivantes, les calculs seront effectu´es dans l’espace des fr´equences ω (apr`es transformation de Laplace) mais peuvent ˆetre conduits de fa¸con ´equivalente dans l’espace temporel (comme c’est le cas dans l’article ci-joint pour le cas sph´erique).

Le d´eveloppement perturbatif `a l’ordre (n) est inject´e dans l’´equation de Boltzmann et l’´equation de Poisson. En particulier l’´equation de Boltzmann de la solution `a l’ordre (n) (´equation 33 de l’article ci-joint) est donn´ee par:

∂f_k⁽ⁿ⁾ ∂t ^{+ ık · ωf} (n) k = ^∂F ∂I ^{· ık[ψ} (n) k + δ¹_nψ_k^e] − n−1 X k=1 {H(k), f^(n−k)}_k+ δ_n¹s^e_k ! .

Le champ de mar´ee externe et le terme source sont consid´er´es d’ordre (1) uniquement. Le syst`eme d’´equation est r´esolu ordre perturbatif par ordre perturbatif de fa¸con

ana-2.4 R´eponse non lin´eaire du halo sph´erique 53

logue au cas lin´eaire. Le caract`ere hi´erarchique des ´equations `a l’ordre (n) apparaˆıt explicitement via les crochets de Poisson en {H^(k), f^(n−k)}, faisant intervenir les solu-tions d’ordres inf´erieurs. Les r´eponses en potentiel et densit´e `a l’ordre (n) sont `a nouveau projet´ees sur la base biorthogonale :

ψ_k⁽ⁿ⁾(I, t) = ^X p a⁽ⁿ⁾_p (t)ψ_k^[p](I), (2.95) ρ⁽ⁿ⁾_k (I, t) = ^X p a⁽ⁿ⁾p (t)ρ^[p]_k (I). (2.96) La solution reliant a⁽ⁿ⁾_p `a ψe k, se

k et les ordres inf´erieurs de la r´eponse est obtenue en rappelant que ρ⁽ⁿ⁾_k = R dvf_k⁽ⁿ⁾ et utilisant les propri´et´es de biorthogonalit´e de la base de potentiel. En particulier la solution au second ordre est donn´ee parl’´equation 42 de l’article ci-joint, qui peut ˆetre formellement ´ecrite comme² :

a⁽²⁾p (t) = ^X q1 Z t −∞ dτ1(K1)p,q1(τ1− t)a⁽²⁾_q1(τ1) + X q1,q2 Z t −∞ dτ₁ Z τ1 −∞ dτ₂(K₂)_p,q1,q2(τ₁− t, τ₂− τ₁)(a⁽¹⁾_q1(τ₁) + b_q1(τ₁))(a⁽¹⁾_q2(τ₂) + b_q2(τ₂)) + X q1,q2 Z t −∞ dτ₁ Z τ1 −∞ dτ₂(Q₂)_p,q1,q2(τ₁− t, τ₂− τ₁)(a⁽¹⁾q1(τ₁) + b_q1(τ₁))c_q2(τ₂). (2.97)

Comme attendu, cette solution fait intervenir tous les couplages d’ordre (2) : la premi`ere int´egrale rend compte de l’auto-gravit´e de la r´eponse au deuxi`eme ordre, la deuxi`eme int´egrale rend compte du couplage entre les deux composantes “potentielles d’ordre (1) et la derni`ere rend compte du couplage entre la r´eponse du halo et la source, tous deux d’ordre (1). Ces couplages sont modul´e par des op´erateurs `a “2 termes”, K2 et Q2, qui ne sont fonction que de la fonction de distribution `a l’´equilibre et des bases d´ecrivant la source et la r´eponse (cf. ´equation 40 de l’article ci-joint).

Il faut noter que l’´equation (2.97) fait intervenir des int´egrales ordonn´ees dans le temps de type : Z t −∞ Z τ1 −∞ dτ1dτ2K2(τ1− t, τ₂− τ₁)(a(τ1) + b(τ1))(a(τ2) + b(τ2)). (2.98)

Qualitativement, ces int´egrales ordonn´ees traduisent qu’un “´ev`enement” (une fluctuation de potentiel par exemple) `a l’instant τ₁va ˆetre coupl´e `a l’´etat du halo `a ce mˆeme instant sachant ce dernier a ´evolu´e pendant ce temps (au cours de τ₂). D’o`u l’importance des phases relatives et le respect des contraintes de causalit´e, tel que le refl`ete le noyau qui n’est fonction que de ces derni`eres : c’est l’´ecart temporel entre deux ´ev`enements qui est d´eterminant pour leur couplage non-lin´eaire, en particulier dans des syst`emes pour lesquels les r´esonances jouent un rˆole crucial, comme celui ´etudi´e ici.

Le calcul non lin´eaire est ´egalement men´e jusqu’`a l’ordre (n) dans l’annexe D de l’article ci-jointet celui fait naturellement intervenir un nombre de couplages de plus en 2on notera que dans l’´equation (2.97), les termes q repr´esentent un nombre d’indices diff´erents selon qu’ils sont attribu´es aux coefficients b (d´ecrivant une quantit´e spatiale) ou c (d´ecrivant une quantit´e dans l’espace des phases).

Figure 2.3: Repr´esentation sch´ematique du calcul de la r´eponse au troisi`eme et qua-tri`eme ordre. Les boucles repr´esentent la calcul auto-gravitant. Les autres diagrammes sont `a double entr´ee, traduisant les couplages avec et sans le terme source. Les accolades repr´esentent l’ensemble des permutations possi-bles des termes, traduisant la non commutativit´e des couplages.

plus important entre les diff´erents ordres de la r´eponse. Ces couplages sont “modul´es” par des op´erateurs de type K_n et Q_n, dont la forme g´en´erique reste conforme `a cer-taines sym´etries, impliquant que leur expression peut ˆetre pr´edite `a n’importe quel ordre. L’article ci-joint pr´esente une diagrammatique qui synth´etise ces sym´etries et permet de rendre compte ais´ement des types de couplages qui sont `a l’oeuvre dans un calcul `a un ordre arbitraire (figures 3, 4 et D1 de l’article ci-jointet la figure 2.3).

Effets non-lin´eaires

La description non lin´eaire de la dynamique du halo doit pouvoir d´ecrire toute une s´erie d’effets inaccessibles au calcul lin´eaire, dans lequel les trajectoires rentrantes restaient non perturb´ees. Le calcul aux ordres sup´erieurs prend en compte explicitement la r´etroaction de la r´eponse sur “elle-mˆeme” et la mati`ere entrante n’est, de fait, plus ´etrang`ere au milieu dans lequel elle se propage.

La friction dynamique est par essence la cons´equence d’une r´etroaction du milieu sur la perturbation. La pr´esence de termes de couplages entre r´eponse et perturbation dans l’´equation (2.97) sugg`ere que l’approche perturbative permet de rendre compte de cet effet. Cette hypoth`ese n’a toutefois pas ´et´e verifi´ee quantitativement `a ce stade. Par

2.4 R´eponse non lin´eaire du halo sph´erique 55

ailleurs, il n’est pas clair que l’ordre (2) soit suffisant pour d´ecrire de mani`ere satisfaisante la friction, bien qu’il soit d’usage de s’arrˆeter au premier ordre perturbatif non nul.

De plus, la gravit´e propre des objets entrants est prise en compte dans l’approche non lin´eaire, au mˆeme titre que la gravit´e propre de la r´eponse ´etait d´ej`a prise en compte dans le r´egime lin´eaire. Par cons´equent, le m´elange de phases (qui intervient mˆeme en l’absence d’auto-gravit´e) va se trouver en comp´etition avec la tendance des objets `a rester coh´erents sous leur propre gravit´e. De la mˆeme fa¸con, un objet ´etendu subira une friction dynamique ou un champ de mar´ee diff´erent en ses diff´erents points. La comp´etition entre ces effets et l’auto gravit´e des objets est dor´enavant prise en compte. Pratiquement, cela n´ecessite de pouvoir d´ecrire ces objets de fa¸con suffisamment pr´ecise dans l’espace des phases. En particulier, si les bases de projection ne poss`edent pas une r´esolution suffisante, l’impact d’une “diffusion num´erique” li´ee au lissage de ces objets pourrait devenir important et de tels effets devront ˆetre ´etudi´es `a terme.

Enfin, diff´erents objets rentrant successivement `a l’int´erieur du halo sont susceptibles de s’influer l’un l’autre. A nouveau, le traitement auto-consistent de l’accr´etion dans le r´egime non lin´eaire permet d’aborder ces ph´enom`enes, l`a o`u ces objets s’ignoraient dans la description au premier ordre. Il est faut noter par ailleurs que les phases relatives de ces objets vont n´ecessairement entrer en jeu dans un tel ph´enom`ene et que ces phases (ou temps relatifs) interviennent explicitement dans l’´equation (2.97).

Suivi des sous-structures

La prise en compte des effets de friction, d’auto-gravit´e et d’interactions mutuelles autorise une description coh´erente de la dynamique des sous-structures dans l’espace des phases. Par cons´equent, le formalisme non lin´eaire peut ˆetre particuli`erement adapt´e `a l’´etude de leur dynamique au cours de leur accr´etion.

Se pose la question de l’identification des sous-structures au sein du halo. Par d´efinition, la m´ethode propos´ee ici r´esout l’´evolution de la fonction de distribution in-duite par l’accr´etion d’objets. Cons´equence de la description de l’accr´etion en termes de fonction de distribution advect´ee, les satellites n’apparaissent que comme des structures particuli`eres de l’espace des phases “accr´et´e”. De fait, les sous-structures ou ce qu’il en reste doivent apparaˆıtre comme des r´egions particuli`eres de l’espace des phases d´ecrit par la r´eponse du halo. Cette image n’est pas qu’une vue de l’esprit. Arad et al. (2004) ont par exemple montr´e que les sous-structures des halos simul´es correspondent aux r´egions de haute densit´e dans l’espace des phases, permettant une extraction particuli`erement efficace de ces objets fondus dans le profil du halo hˆote, y compris dans les r´egions de tr`es haute densit´e. Ceci sugg`ere qu’un suivi des objets accr´et´es serait probablement plus simple et plus efficace dans l’espace des phases, tel qu’il est propos´e dans le formalisme pr´esent, que dans l’espace des positions. De plus, ces objets ne s’y manifestent que dans la r´eponse `a la fonction de distribution, ´eliminant d’entr´ee le probl`eme d’extraction au sein d’un halo dominant. A terme, les probl´ematiques telles que l’effeuillage progressif des objets ou la distributions des restes d’objets accr´et´es au sein du halo doivent pouvoir ˆ

etre abord´es dans le formalisme d´evelopp´e ici. A l’inverse, ce genre d’´etude doit pouvoir fournir des crit`eres d’identification des sous-structures ou des restes de ces objets dans des r´egimes extrˆemes (haute densit´e de l’hˆote, d´echirement par effet de mar´ee), via leur propri´et´es dans l’espace des phases.

Corr´elations non lin´eaires

L’approche non lin´eaire perturbative n’a pas ´et´e impl´ement´ee. Au vu de la th´eorie seule, elle permet n´eanmoins de se faire une premi`ere id´ee du type de statistiques qu’il est n´ecessaire de connaˆıtre sur les perturbations. La prise en compte d’effets non lin´eaires modifie naturellement les propri´et´es statistiques de la r´eponse. Par exemple, la fonction de corr´elation `a deux points de la r´eponse en densit´e du halo peut s’´ecrire sous la forme (´equation 52 de l’article ci-joint):

hρ(x₁)ρ(x₂)i = ε^{2 X}

q1,q2

ρ^[q1](r₁)ρ^[q2](r₂)^hC₂^{2}+ εC₂^{3}+ . . .ⁱ, (2.99)

o`u x<sub>1,2</sub> d´esigne la position dans l’espace et dans le temps de deux points appartenant au halo. Le premier terme de la s´erie est d’ordre deux et correspond `a la fonction de corr´elation d´ej`a d´eduite de la description lin´eaire (voir aussi l’´equation 53 de l’article ci-joint). Les effets de la non lin´earit´e ne se font qu’au troisi`eme ordre, via la quantit´e C₂^{3} donn´ee par l’´equation 54 de l’article. Il apparaˆıt donc que les premiers effets de la non-lin´earit´e sur la fonction de corr´elation `a deux points se feront sentir au travers de la fonction de corr´elation `a trois points des propri´et´es de l’environnements, via des quantit´es de type hc ⊗ c ⊗ ci pour la source ou hb ⊗ b ⊗ bi pour le potentiel. Ce r´esultat est d’importance dans l’optique d’une mesure de propri´et´es des perturbations dans les simulations : de fa¸con g´en´erale, un traitement non lin´eaire n´ecessite de connaˆıtre les corr´elation `a trois points des perturbations. Compte tenu de la plus lente convergence de ces statistiques (par rapport `a celle `a deux points), il apparaˆıt clairement qu’un traitement non lin´eaire de la dynamique du halo implique une excellente connaissance statistique de l’environnement, via un grand nombre de ses r´ealisations.

Il faut toutefois noter que si la statistique des perturbations est gaussienne, alors l’effet de la non-lin´earit´e ne se fera sentir que via des corr´elations “paires” et les cor-r´elations d’ordres sup´erieurs s’expriment en fonction de corr´elation `a deux points. Par cons´equent, l’´etude des effets non lin´eaires sur la fonction de corr´elation `a deux points ne n´ecessiterait pas d’embl´ee le calcul de corr´elations d’ordres sup´erieurs, rendant la tˆache plus accessible. Il s’av`ere que la statistique des coefficients c est quasi-gaussienne et non centr´ee(voir l’annexe de Pichon & Aubert (2005)), laissant supposer qu’une application du th´eor`eme de Wick reste possible, facilitant d’autant la tˆache. En revanche, pour des ´etudes portant uniquement sur l’effet non-lin´eaire du champ de mar´ee, la situation peut s’av´erer plus d´elicate. En premi`ere approximation, le potentiel ext´erieur est isotrope, auquel cas le champ est quasi-gaussien (voir annexe de Pichon & Aubert (2005)) mais centr´e et par cons´equent, les corr´elations `a trois points sont nulles. Les effets non lin´eaires sur la corr´elation de la r´eponse ne se font donc sentir que si le d´eveloppement de la corr´elation de la r´eponse est pouss´e jusqu’`a des ordres en O(<sup>2</sup>). Ceux-ci font intervenir des corr´elations de type ha<sup>(3)</sup>a<sup>(1)</sup>i impliquant des calculs de r´eponses au troisi`eme ordre. Pour ce cas tr`es pr´ecis, la n´egligence de l’anisotropie conduit `a rendre le calcul non-lin´eaire plus complexe. Plus g´en´eralement, la n´ecessit´e d’avoir recours `a des statistiques d’ordre sup´erieur `a deux ou `a des calculs au troisi`eme ordre r´esulte clairement du souci de coh´erence globale du formalisme d´evelopp´e ici.