Croissance adiabatique d’une sph` ere

L’un des objectifs `a plus long terme est d’utiliser le calcul de la r´eponse du halo pour propager le comportement statistique des environnements mesur´e au rayon de Viriel aux r´egions proches du disque. Pour ce faire, la dynamique des r´egions les plus internes du halo doit ˆetre bien r´esolue, spatialement bien sˆur mais ´egalement temporellement, compte tenu des temps caract´eristiques plus courts dans ces r´egions. Pour tester la capacit´e du mod`ele `a pouvoir satisfaire ce cahier des charges, la r´eponse d’un halo `a la croissance d’une sph`ere plac´ee en son centre `a ´et´e calcul´ee via l’approche lin´eaire. Ce test ne constitue pas qu’une simple vue de l’esprit puisqu’il peut ˆetre ramen´e `a l’´etude de la contraction du halo de mati`ere noire sous l’influence de la croissance d’un disque en son centre. Ce sc´enario permet en particulier de produire des courbes de rotation plates `a partir de halos `a large coeur (par ex. Blumenthal et al. (1986)).

Les comparatifs ont ´et´e effectu´es `a l’aide de r´esultats fournis par John Magorrian et ceci de deux mani`eres diff´erentes. Les r´esultant non auto-consistants ont ´et´e com-par´es `a des simulations `a particules perturbatives (par exemple Leeuwin et al. (1993) et Leeuwin & Combes (1997)). Ce types de simulations repose sur un ´echantillonage non pas de l’ensemble de la fonction de distribution du syst`eme (comme les simula-tions N-Corps classiques), mais sur un ´echantillonage de la r´eponse du syst`eme par rapport `a l’´equilibre. En d’autres termes, ce type de simulations “peuple” les r´egions de l’espace des phases modifi´ees par l’´evolution du syst`eme. Ce type de simulations est ainsi particuli`erement appropri´e `a l’´etude de ph´enom`enes fins et peu ´eloign´es de solutions analytiques de l’´equation de Boltzmann.

D’autre part, J. Magorrian a fourni des pr´edictions analytiques `a ce probl`eme, bas´e sur la m´ethode de Young (1980) d´evelopp´ee pour pr´edire la r´eponse d’un syst`eme `a la croissance adiabatique d’un trou noir central. Il s’av`ere que cette m´ethode est extensible `

a des perturbateurs autres que des trous noir. Elle repose sur l’invariance de la fonction de distribution f (I_r, L) o`u I<sub>r</sub> = (2π)<sup>−1</sup>H v<sub>r</sub>dr d´esigne l’action radiale d´ej`a d´efinie au-paravant et L le moment angulaire, qui sont deux invariants adiabatiques du syst`eme. L’ajout d’un potentiel perturbateur va modifier l’´energie E d’une “´etoile” en E<sup>∗</sup> de telle fa¸con `a ce que I_r^∗(E^∗, L) = I_r^∗(E^∗, L). Compte tenu de f^∗(E^∗, L) = f (E, L), il d´ecoule le nouveau profile de densit´e ρ^∗. La solution ρ^∗ est obtenue par it´eration.

Mod`ele de Plummer

Le halo a d’abord ´et´e mod´elis´e par une sph`ere de Plummer (dont les caract´eristiques sont donn´ees par les ´equations 4.36 et 4.37), de rayon caract´eristique et de masse unit´e. Le perturbateur a ´et´e mod´elis´e par une sph`ere de rayon caract´eristique 0.4 et de masse 0.01, dans les unit´es du halo. Compte tenu de la sym´etrie du probl`eme, seule la r´eponse monopolaire a ´et´e calcul´ee (` = 0). La base radiale utilis´ee fut celle de Weinberg et le calcul porta sur 20 termes radiaux. L’espace (E, L) fut ´echantillonn´e sur une grille 60x60. La croissance temporelle du perturbateur fut de type 3(t/t_max)²− 2(t/t_max)³ o`u tmax= 20 (en unit´e depb3/GM avec G=1) sur 256 pas de temps. Le calcul fut conduit `

a la fois dans le r´egime auto et non auto-consistant.

Les comparatifs sont pr´esent´es dans la figure 4.5. La m´ethode lin´eaire parvient claire-ment `a reproduire les r´esultats obtenus avec les deux m´ethodes pr´ecit´ees. La simulation `

a particules perturbatives `a ´et´e r´ealis´ee avec 1 million de particules et bien qu’elle soit par nature plus `a mˆeme de mod´eliser cet croissance qu’une simulation classique, les

ef-4.3 Tests de l’impl´ementation 111

fets d’´echantillonnages se font tout de mˆeme sentir dans les r´egions les plus centrales. N´eanmoins, il apparaˆıt que cette m´ethode et la m´ethode lin´eaire sont en bon accord. Ceci valide `a nouveau la proc´edure de calcul du noyau de r´eponse K. Le r´egime auto-consistant a ´et´e compar´e avec le r´esultat obtenu par la m´ethode de Young. Bien que le r´esultat fourni par la m´ethode lin´eaire soit l´eg`erement en de¸c`a du r´esultat th´eorique, le d´esaccord est de l’ordre de 1% pour les r´egions centrales et quasi parfait pour les r´egions les plus externes. Cet accord valide la proc´edure de calcul auto-consistant qui n´ecessite un emploi correct de la m´ethode it´erative ou la m´ethode de Volterra, en plus d’un calcul pr´ecis du noyau. Seul la m´ethode de Volterra est pr´esent´ee ici, mais la m´ethode it´erative fournit le mˆeme r´esultat.

Mod`ele de Hernquist

Compte tenu de ces r´esultats tr`es encourageant, la mˆeme test auto-consistant `a ´et´e r´ealis´ee avec un mod`ele de Hernquist (Hernquist (1990)). Le potentiel de Hernquist est d´efini par :

Φ(r) = −^GM

r + a^{. (4.38)}

Ce potentiel est plus piqu´e que le pr´ec´edent, rendant critique l’´echantillonage en actions de ces r´egions pour le calcul de la r´eponse. Le halo est de masse M=1 et de rayon de coeur a=1. Le perturbateur fut choisi de masse M=0.01 et de rayon de coeur a=0.25. La base radiale adopt´ee fut celle de Hernquist car mieux adapt´ee `a la reconstruction du profil. Les calculs port`erent sur les 15 premiers termes de cette base. La r´eponse fut calcul´ee sur 512 termes pour 0 < t_max < 40. L’espace (E, L) fut ´echantillonn´e sur une grille 60 × 60 pour E > −0.95 en unit´e (G=1, M=1, a=1). La r´eponse auto-consistante fut `a nouveau compar´ee `a la pr´ediction de la m´ethode de Young. Le r´esultat est repr´esent´e par la courbe rouge de la figure 4.6 (figure du haut).

Le r´esultat n’est clairement pas `a la hauteur de la pr´ediction th´eorique. Si les r´egions externes ont l’air conformes `a la pr´ediction, il n’en est pas de mˆeme pour les r´egions les plus internes. Compte tenu de la nature tr`es piqu´ee de ce potentiel, il est probable que ce d´esaccord est le fait d’un mauvais ´echantillonage des r´egions centrales du halo. Pour confirmer cette hypoth`ese, l’´echantillonage en (E, L) pr´ec´edent s’est vu ´etendu au coeur en lui adjoignant une r´egion suppl´ementaire dont les ´energies sont caract´eris´ees par −0.99 < E < −0.95 et ´echantillonn´ee en 60×60 en ´energie-moment angulaire. Le r´esultat est repr´esent´e par la courbe bleue de la mˆeme figure 4.6 (figure du haut). L’augmentation tr`es significative de la r´eponse en densit´e au centre met en valeur l’importance d’un bon ´

echantillonage des r´egions centrales dans l’espace (E,L), et ceci mˆeme si leur contribution `

a la masse totale du halo est faible.

La meilleure reconstruction qui fut obtenue `a ce jour est repr´esent´ee dans la figure 4.6 (en bas). Celle-ci met en jeu un ´echantillonage (E,L) de taille 100x100x20, compos´e de 20 sous-espace de (E,L) distribu´e logarithmiquement en ´energie et pour E > −0.999. Un tel calcul n’est possible qu’en parall´elisant les tˆaches de calcul du noyau sur chacun de ces sous-espace. En d’autres termes, un degr´e de granulosit´e suppl´ementaire au calcul parall`ele a ´et´e ajout´e. La r´eponse en densit´e `a ´et´e calcul´ee seulement sur les 10 premiers ordres radiaux et compar´ee `a la formule de Young reconstruite `a partir des 10 premiers termes de sa propre d´ecomposition. La formule de Young est retrouv´ee `a une dizaine de pourcent pr`es, indiquant qu’une reconstruction parfaite est `a port´ee de main.

Figure 4.5: Calcul de la r´eponse d’une sph`ere de Plummer soumise `a la croissance d’une autre sph`ere de Plummer. En haut : calcul non auto-consistant. La r´eponse lin´eaire (courbes noires) est compar´ee au calcul obtenu `a partir de simulations aux “particules perturbatives” (histogramme bleu). La reconstruction du profil simul´e `a partir de sa d´ecomposition sur la base radiale est ´egalement montr´e (courbe tiret´ee). En bas : calcul auto-consistant. La r´eponse lin´eaire (courbe noire) est compar´e au mod`ele de Young (courbe rouge). L’´ecart au centre est de l’ordre de 1%.

4.4 Conclusions

Ce chapitre a pr´esent´e les d´etails pratiques de la mise en place du calcul de la r´eponse lin´eaire du halo `a un champ de mar´ee ext´erieur. La base biorthogonale de projection de la r´eponse a ´et´e explicit´e ainsi que le d´etails du passage `a la repr´esentation en angles-actions. Il aura ´egalement ´et´e expos´e les “astuces” num´eriques permettant de r´esoudre le probl`eme de l’int´egrand oscillant apparaissant dans le calcul du noyau, ainsi que les deux m´ethodes ´equivalentes permettant de calculer la r´eponse `a proprement dite. Enfin, l’impl´ementation `a fait l’objet d’une double validation, en parvenant `a reconstruire la d´erive d’une sph`ere de Plummer dans un champ de force homog`ene et la r´eponse d’une sph`ere de Plummer `a la croissance adiabatique d’une sph`ere en son centre. Ce dernier probl`eme a ´egalement ´et´e abord´e avec un mod`ele de Hernquist plus `a mˆeme de repr´esenter les halos de mati`ere noire et a permis de mettre en lumi`ere la n´ecessit´e de d´ecrire la fonction de distribution du mod`ele avec une grande pr´ecision.

A ce stade, une ´etude en convergence plus pouss´ee reste `a faire : influence de la r´esolution temporelle, influence des ordres radiaux maximum, influence de l’´echantillonage en (E,L), etc... De plus ces premiers calculs ont port´e sur des harmoniques de bas or-dres (` = 0, 1), hors il est entendu qu’`a terme les calculs de r´eponse devront porter sur des ´echelles plus petites. Enfin, le calcul des op´erateurs “source” et des op´erateurs non lin´eaires n’a pas ´et´e abord´e, bien qu’il ne diff`ere en principe que peu du calcul pr´esent´e ici.

4.4 Conclusions 113

Figure 4.6: Calcul de la r´eponse d’une sph`ere de Hernquist soumise `a la croissance d’une autre sph`ere de Hernquist. En haut : comparatif entre le r´esultat th´eorique obtenu par la formule de Young (courbe jaune), la r´eponse du mod`ele lin´eaire (courbe rouge) ´echantillonn´e `a des ´energies sup´erieures `a -0.95 et la r´eponse du mod`ele lin´eaire (courbe bleu) pr´ec´edent auquel un ´echantillonage suppl´ementaire du coeur a ´et´e ajout´e. Bien que la fraction de masse contenue dans le coeur est faible, sa contribution est cruciale pour le calcul de la r´eponse dans les r´egions les plus internes. En bas : comparatif entre le mod`ele de Young reconstruit avec i < 15 et la r´eponse du mod`ele lin´eaire. La r´eponse est retrouv´ee `a 10% pr`es.

N´eanmoins, les r´esultats sont prometteurs, y compris sur des mod`eles `a comporte-ment singulier dans les r´egions centrales. De plus, l’impl´ementation parall`ele autorise `a penser que des calculs tr`es pr´ecis peuvent ˆetre effectu´es sur les op´erateurs de r´eponse. Compte tenu du fait que les calculs d’op´erateurs ne doivent ˆetre faits qu’une seule fois, cet effort num´erique n´ecessaire pour parvenir `a de hauts niveaux de pr´ecisions apparaˆıt raisonnable compte tenu de la large gamme de probl`emes abordables par la suite, dont la propagation statistique des champs des mar´ees. Enfin, la mise en place du calcul lin´eaire pr´efigure la mise en pratique de calculs aux ordres sup´erieurs. Ces derniers re-posent sur les mˆeme concepts et m´ethodes que ceux expos´es dans ce chapitre, au nombre de couplages suppl´ementaires pr`es.

5

Simulations de mati`ere noire

Les chapitres 2 et 4 ont expos´e la th´eorie associ´ee `a l’´etude de la dynamique du halo “ouvert” ainsi que les premi`eres ´etapes d’une mise en place pratique de cette th´eorie. Cette th´eorie requiert des “entr´ees” d´ecrivant la statistiques des flux auxquels sont soumis les halos. Ces entr´ees sont fournies par les mesures dans les simulations cosmologiques.

L’un des premiers objectifs de cette th`ese fut de simuler un volume d’univers suff-isamment important pour r´eduire les effets de variance cosmique sur les mesures autour des halos. Le premier choix fut de produire des simulations constitu´ees uniquement de mati`ere noire. Ce type de simulations est simple `a mettre en place contrairement `

a des simulations contenant du gaz, ces derni`eres n´ecessitant de prendre en compte de nombreux effets tels que la formation d’´etoiles, la r´etroaction, le rayonnement UV (voir par ex. Ostriker (1999) pour une revue). L’introduction de ph´enom`enes baryoniques aurait significativement augment´e le niveau de complexit´e de fa¸con non n´ecessaire `a ce stade. L’emphase ´etant mise sur l’impact dynamique des flux sur les halos, la prise en compte de la mati`ere noire seule constitue une approximation raisonnable. De plus, le haut niveau de complexit´e des simulations baryoniques se traduit concr`etement par une augmentation du temps de calcul n´ecessaire `a leur production (d’un facteur 2 `a 10 selon le type de simulations) et le volume simul´e en aurait ´et´e r´eduit d’autant. Bien que l’utilisation de simulations baryoniques constitue un objectif `a terme, l’ensemble des raisons pr´ec´edentes ont amen´e `a consid´erer seulement la mati`ere noire.

Deux approches sont possibles : la g´en´eration d’un volume d’univers “monobloc” de tr`es grand volume ou la g´en´eration d’un grand nombre de simulations de volume plus modeste. La premi`ere approche poss`ede l’avantage de ne n´ecessiter que la production d’une seule simulation. Le grand volume permet d’avoir une tr`es bonne repr´esentativit´e de la r´epartition des vides et des zones surdenses dans l’univers. Enfin, un grand vol-ume limite naturellement l’influence des r´eplicats dus aux conditions limites p´eriodiques, commun´ement utilis´ees dans les codes actuels. Toutefois, la g´en´eration de grandes sim-ulations pose naturellement le probl`eme de la r´esolution en masse, qui n´ecessite un tr`es grand nombre de particules pour ne pas sacrifier cette r´esolution sur l’autel de la taille

de boˆıte. De telles simulations n´ecessitent des moyens mat´eriels tr`es importants, que ce soit dans leur production ou mˆeme leur analyse.

L’option retenue fut de produire une s´erie de simulations plus modestes, o`u le faible nombre de particules est compens´e par le petit volume simul´e. Plus de 500 simulations de 2 millions de particules de mati`ere noire ont ´et´e produites, avec une r´esolution en masse de 5 · 10⁹M. La production de ce jeu de simulations a ´et´e rendu possible en reliant trois codes publics au sein d’une chaˆıne de production automatique. Les conditions initiales furent g´en´er´ees `a l’aide de GRAFIC1 (Bertschinger (2001)). Le code N-corps utilis´e fut GADGET 1.1 (Springel et al. (2001)) dans sa version mati`ere noire pure. Enfin, le d´etecteur de halos HOP (Eisenstein & Hut (1998)) permit d’extraire les objets form´es dans les simulations. L’utilisation de codes publics implique une utilisation de type “boˆıte noire” de ces programmes, qui n’est pas sans poser de probl`emes. A contrario, outre le fait que ce choix poss`ede le m´erite d’ˆetre efficace, ces codes sont reconnus et intensivement utilis´es par la communaut´e garantissant leur fiabilit´e.

L’objectif de ce chapitre est dans un premier temps de d´ecrire les diff´erentes ´etapes de production, ainsi que les param`etres physiques et num´eriques qui ont ´et´e utilis´es. Dans un second temps, la proc´edure d’extraction des halos est d´ecrite, de mˆeme que quelques unes de leurs caract´eristiques g´en´eriques auxquelles il sera largement fait r´ef´erence dans l’ensemble des ´etudes d´ecrites dans ce manuscrit.

5.1 Chaˆıne de production des simulations

La production de simulations `a proprement dite se fait en deux ´etapes : g´en´eration des conditions initiales et int´egration dynamique. Ces deux ´etapes ont ´et´e r´ealis´ees respectivement `a l’aide des codes GRAFIC1 et GADGET, d´ecrits ci-apr`es.