Ce terme source est d´efini de fa¸con continue dans l’espace des phases, sous la forme d’un champ `a 5 dimensions, se(Ω, v, t), o`u Ω d´esigne une direction sur la sph`ere de Viriel.
le potentiel ext´erieur
De fa¸con plus classique, le potentiel ext´erieur, ψe(r, t), trace les forces de mar´ees exerc´ees par le milieu ext´erieur sur le halo. Ce potentiel est cr´ee par la disposition `a grande ´echelle de la mati`ere ainsi que par le passage `a distance de satellites ou de halos voisins. Bien qu’´etant par essence tridimensionnel, le potentiel dans le halo cr´e´e par la mati`ere externe est compl`etement d´ecrit par la mesure de ψe(Ω, t) sur la sph`ere du Viriel (en vertu du th´eor`eme de Gauss). Le potentiel ext´erieur n’est pas `a proprement parler un fluide, mais sa description sous la forme d’un champ de mar´ee sur la sph`ere de Viriel est analogue `a la description fluide du terme source.
8.2 Des simulations `a une mesure de l’environnement
La donn´ee des deux champs se et ψe permet de d´ecrire compl`etement les inter-actions d’un halo avec son environnement. La mise de contrainte sur les conditions aux bords des halos consiste `a caract´eriser statistiquement ces deux champs : valeurs moyennes, moments d’ordres deux (corr´elations est cross-corr´elations), voire moment d’ordre sup´erieurs. A cette fin, les deux champs ψe(Ω, t) et se(Ω, v, t) doivent dans un premier temps ˆetre mesur´es `a partir des halos d´etect´es dans les simulations. Dans un second temps, les caract´eristiques statistiques de ces champs sont contraintes en profi-tant du grand nombre de r´ealisations d’environnements, via une projection sur une base de fonction appropri´ee.
L’algorithme HOP extrait les halos des simulations. Pour chaque halo d´etect´e `a redshift z = 0, le rayon de “Viriel” R200 est mesur´e, ainsi que la vitesse circulaire V200 `a ce rayon. La sph`ere de rayon R200tient lieu d’interface entre le halo et le milieu externe, au travers de laquelle l’accr´etion s’effectue et sur laquelle le potentiel sera mesur´e.
Toutes les mesures se font en coordonn´ees physiques et non comobiles, afin de sim-plifier les applications futures sur la dynamique interne du halo, sachant que ces ´etudes sur la dynamique galactique (au sens large) se font habituellement hors expansion.
De plus, la sph`ere du Viriel est maintenue rigide au cours du temps. En particulier, la valeur de R200 n’est pas actualis´ee en remontant le cours de l’´evolution du halo et doit s’entendre au sens de R200 `a z = 0. Pour un halo dont la masse augmente au cours du temps, ceci implique que le rayon de mesure tend `a ˆetre plus grand que le R200 effectif. N´eanmoins, le choix d’un R200 non statique n´ecessiterait de prendre en compte un flux inertiel, induit non pas par l’accr´etion mais par le d´eplacement de la fronti`ere o`u se fait la mesure. Toutefois, ce choix de rayon de Viriel constant constitue une approximation raisonnable : la variation entre z = 1et z = 0 du rayon de Viriel comobile est majoritairement inf´erieure `a 30% (voir lafigure 2de l’article ci-joint).
8.2.1 Terme source
L’histoire d’accr´etion du halo est reconstruite en remontant le temps en suivant le plus gros prog´eniteur (PGP) du halo final et ceci `a chaque pas de temps. Le sph`ere de rayon R200 est centr´ee sur le centre de masse du PGP. Les vitesses des particules sont mesur´ees par rapport `a la vitesse moyenne du PGP. Les particules se trouvant `a l’int´erieur de la sph`ere de Viriel au redshift zn sont identifi´ees et compar´ees aux partic-ules se trouvant `a l’int´erieur au redshift zn+1. Les positions-vitesses des particules ayant travers´e la sph`ere de Viriel entre les deux pas de temps sont stock´ees.
Effets d’´echantillonage temporel
Notons que les sorties des simulations cosmologiques ne sont g´en´eralement pas es-pac´ees r´eguli`erement dans le temps. Or, la mesure d’une quantit´e li´ee `a la source `a chacun de ces pas de temps peut ˆetre alt´er´ee par un ´echantillonnage non r´egulier. Par exemple, si l’on suit au cours du temps un objet passant au travers de la sph`ere, l’´echelle angulaire associ´ee `a cet objet va ˆetre d´ependante de l’´echantillonnage temporel. Ainsi, si le pas d’´echantillonage est plus grand que le temps de passage d’une structure au travers de la sph`ere, celle-ci va apparaˆıtre comme projet´ee sur la sph`ere et pr´esenter une taille caract´eristique sup´erieure `a celle obtenue pour un ´echantillonage plus fin (voir aussi la figure 8.1 et la figure 4de l’article ci-joint). Un cas extrˆeme consisterait en un pas d’´echantillonage suffisamment long pour qu’il y ait confusion entre deux structures passant successivement dans la mˆeme direction au travers de la sph`ere. Ceci implique que le terme source tel qu’il est mesur´e dans les simulations doit ˆetre r´e´echantillonn´e r´eguli`erement en temps.
Interpolation
La r´esolution temporelle li´ee aux instantan´es des simulations ´etant finie, il est im-possible d’avoir acc`es `a l’instant exact de travers´ee t200 d’une particule au travers de la sph`ere de Viriel. Le temps de passage est obtenu en interpolant lin´eairement l’´evolution de la distance au centre r entre deux redshifts :
t200 = t(zn) + t(zn+1) − t(zn)
r(zn+1) − r(zn)× (R200− r(zn)). (8.6) De mˆeme, les positions r200 et vitesses v200 de la particule `a cet instant de passage sont interpol´ees lin´eairement. Ce type d’interpolation constitue clairement une approx-imation. En particulier, elle suppose que le mouvement est purement balistique (i.e. `a vitesse constante) et radial, deux hypoth`ese qui ne sont pas rigoureusement exactes.
N´eanmoins, l’´echantillonage des simulations est suffisamment fin pour que l’effet de l’interpolation soit faible. De plus, cette interpolation n’introduit pas de vitesses “anor-males” l`a o`u d’autres sch´emas d’interpolations attribuent des vitesses radiales positives `
a des particules d´etect´ees comme entrantes (cf. la figure 3 de l’article ci-joint). Enfin, l’hypoth`ese de vitesses `a forte tendance radiale sera v´erifi´ee `a posteriori. En r´esum´e, le sch´ema d’interpolation pr´ec´edent a ´et´e conserv´e par souci de simplicit´e et les mesures faites sur la sph`eres ne semblent pas indiquer de relicats dus `a cette fa¸con de proc´eder.
8.2 Des simulations `a une mesure de l’environnement 187
Connaissant l’instant de passage au travers de la sph`ere de chaque particule, le r´e´echantillonage r´egulier peut ˆetre effectu´e. Aucun `a priori ferme ne peut ˆetre pos´ee sur la bonne taille de pas de temps et l’´echantillonage choisi est en grande partie arbitraire. Pratiquement, l’´echantillonage retenu fut de 15 pas de temps r´eguli`erement espac´es entre z = 0 et z = 1 (voir la figure 8.2), tous les ∼ 500 Myrs. Cet ´echantillonage particulier est suffisamment fin tout en permettant `a suffisamment de particules d’ˆetre accr´et´ees entre deux pas de temps au travers de la sph`ere, limitant ainsi le bruit d’´echantillonage.
Construction du terme source
Bien que dor´enavant r´egulier, l’´echantillonage temporel est toujours de r´esolution finie. Pour cette raison, le terme source effectivement mesur´e `a zn+1/2 est moyenn´e entre zn et zn+1 : se(Ω, v, zn+1/2) = 1 ∆T Z t(zn+1) t(zn) dtse(Ω, v, t). (8.7)
Ces pr´ecautions sur l’´echantillonage temporel ´etant prises, le terme source est approxim´e par : se(Ω, v, zn+1/2) ∼ 1 R2002 ∆T X i δD(v − vi) v2 δD(Ω − Ωi) sin Ω1 δD(Γ − Γi) sin Γ1 wi, (8.8)
o`u l’indice i d´ecrit les particules passant au travers de la sph`ere entre les redshifts zn et zn+1, s´epar´es de ∆T en temps. Le poids wi d’une particule est de +1 si celle-ci rentre `a l’int´erieur de la sph`ere et de −1 si celle-ci est sortante. Par cons´equent, les diff´erents flux qui peuvent ˆetre extraits de sedoivent ˆetre entendus comme des flux nets. Par exemple, deux particules localis´ees en un mˆeme point de la sph`ere de Viriel, mais ayant des poids oppos´es, auront une contribution nulle `a la densit´e de flux mesur´ee `a R200. Ce cas de figure reste n´eanmoins exceptionnel et l’utilisation d’une source nette ne devient critique que lorsque la fraction de mati`ere ´eject´ee n’est plus n´egligeable et que l’on marginalise fortement la fonction source (par exemple en moyennant sur toute les positions et orientations de la vitesse).
Les fonctions δD sont des fonctions de Dirac, ce qui implique que les particules des simulations sont assimil´ees `a des points dans l’espace des phases. Cette repr´esentation constitue une approximation d’un point de vue physique (une particule poss`ede une masse qui n’est clairement pas r´eductible `a un point) mais ´egalement d’un point de vue de la “coh´erence num´erique” car le potentiel des particules est liss´e lors de l’int´egration cosmologique. Ceci implique que la contribution des petites ´echelles tend `a ˆetre sures-tim´ee dans la mesure du terme source. Cette description ponctuelle a ´et´e conserv´ee par simplicit´e, tout en gardant `a l’esprit que les particules de mati`ere noire ne sont pas rigoureusement des masses ponctuelles.
8.2.2 Potentiel ext´erieur
La mesure du potentiel ext´erieur au halo est plus simple que celle du terme source. La quantit´e ψe(r) est mesur´ee directement `a partir de la position des particules se trouvant dans une sph`ere de rayon physique ´egal `a 4 Mpc, tout en ayant une distance au centre,
Figure 8.1: Effet d’´echantillonage sur la taille caract´eristique des structures. Un ´
echantillonnage temporel tr`es espac´e est ´equivalent `a consid´erer les particules dans une coquille ´epaisse, un ´echantillonage fin est ´equivalent `a une coquille fine. A gauche, une vue projet´ee d’une ellipse passant au travers de la sph`ere de Viriel, `a droite, la projection sur la sph`ere de la fraction de l’ellipse se trouvant dans la coquille. En haut l’´echantillonage temporel est `a plus faible r´esolution que pour le cas pr´esent´e en bas.
8.2 Des simulations `a une mesure de l’environnement 189
Figure 8.2: Redshift en fonction du temps (exprim´e en milliards d’ann´ees). Les points symbolisent l’´echantillonage original des simulations. Les traits en tiret´es montre l’´echantillonnage r´egulier en temps qui a ´et´e retenu pour la mesure du potentiel et du terme source. Les trois derniers pas de temps sur´echantillonne la distribution originale des instantan´es, et ont ´et´e moyenn´es dans l’ensemble des r´esultats suivants.
ri(t), sup´erieure `a R200 : ψe(r, t) = N X i ψp(r, ri(t)). (8.9)
L’indice i d´esigne une particule r´epondant aux crit`eres de distance. Le potentiel d’une particule est celui d’une masse ponctuelle en ψp(ri(t)) ∼ 1/r et ceci constitue `a nouveau une approximation du v´eritable potentiel utilis´e lors de l’int´egration. Toutefois au vu des distances consid´er´ees et compte tenu que le potentiel est par nature une fonction lisse, la masse ponctuelle constitue une approximation raisonnable. L’´echantillonage temporel en z est le mˆeme que celui utilis´e pour le terme source et les positions des particules externes `a ces instants sont d´eduites par interpolation en suivant la mˆeme proc´edure que pour se(Ω, v, t). Il est `a noter que le volume de simulation trait´e par halo est important. Par cons´equent, bien que conceptuellement plus simples que pour le terme source, les calculs de potentiels restent des op´erations coˆuteuses en temps de calculs. Les passage du potentiel tridimensionnel ψe(r, t) au potentiel sur la sph`ere ψe(Ω, t) est expliqu´e dans la section suivante.