Le transfert thermique reçu pendant la durée τ de la part des 20 personnes est τ
=20Pc
Q .
La masse m d’air dans la pièce est m=(P0V/RT0)M, où V, volume d’air, s’obtient en retranchant du volume de la pièce le volume occupé par les personnes invitées, soit
m3
6 , 173 07 , 0 . 20 5 , 2 . 7 . 10
V= − = . Finalement, l’expression littérale de l’élévation de température est :
τ τ =
=
∆ c
0 0 c
0
0 P
V P 8 T 2 / R 5
P 20 V P T RT
Applications numériques : pour τ=15min, on obtient ∆T1 =3,4°C et pour τ=1h, C
5 , 13 T2 = °
∆ ! Voilà pourquoi, dans ces pièces de réception et, accessoirement dans les salles de cours après 2 heures de travail studieux, l’atmosphère semble irrespirable et suffoquant : heureusement qu’une ventilation est généralement installée, soit automatique (climatisation, ventilation mécanique contrôlée, …), soit simplement manuelle (par simple ouverture de fenêtres par exemple). Par ailleurs, cet exercice ne tient pas compte des pertes de chaleur vers l’extérieur, qui peuvent être modélisées comme le montre l’exercice suivant sur la loi de Newton de la convection, intitulé
« Régulation du chauffage d’un local ».
R
EGULATION DU CHAUFFAGE D’
UN LOCALApplications du 1er principe
Enoncé :
On se propose de maintenir un local à température constante Tc. La température extérieure est uniforme et vaut Te < Tc. À l'instant t, la température du local est notée T et l'on admet que la déperdition d'énergie thermique est proportionnelle à la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur. Le volume du local est constant et le coefficient calorimétrique global à volume constant, encore appelé capacité thermique du local, est noté C. La puissance thermique fournie à l'extérieur (ou flux thermique sortant, noté δQ / dt) s'exprime alors sous la forme δQ/dt =αC(T −Te), où α est un coefficient positif constant (loi de Newton16).
1. Pour déterminer les déperditions thermiques, on arrête le chauffage pendant une durée ∆t, durant laquelle la température du local passe de Tc à Tf. Calculer la valeur de α avec ∆t =3h, Tc = 294 K, Tf = 286 K et Te = 281 K.
2. Quelle est la puissance de chauffe Pc,0 nécessaire au maintien du local à la température Tc = 294 K ? On donne C =107 J.K−1.
16 Il s’agit ici d’un premier type de transfert thermique appelé convection, qui correspond à un déplacement macroscopique de matière ; par exemple, au-dessus d’un radiateur en fonctionnement, l’air chaud a tendance à s’élever alors que l’air froid aura tendance à descendre et se réchauffer au contact du radiateur (entraînant l’apparition de rouleaux de convection). Les deux autres types de transferts thermiques sont la conduction et le rayonnement.
Thermodynamique 151 La température du local est maintenue dans l'intervalle de régulation
[
TR −θ,TR +θ]
au moyen de relais thermostatiques du type « tout ou rien ». Ces derniers mettent en route le dispositif de chauffage dès que T atteint la valeur TR −θ et l'arrêtent dès que T atteint la valeur TR +θ par valeur croissante. Les grandeurs TR et θ sont respectivement la température de régulation et l'amplitude de régulation ; notant Pc la puissance de chauffe (indépendante du temps), on pose aussi TRM =Te +Pc /αC. 3. Quel est le sens physique de TRM ? Montrer qualitativement que, lorsque le système fonctionne normalement (TR =Tc =294K), la température T du local est une fonction périodique du temps. Montrer alors que l'intervalle (D) des valeurs possibles de TR est Te +θ ≤TR ≤TRM −θ. Calculer numériquement l’intervalle (D) pour Pc =15kW et θ =0,1K.
4. Exprimer la période τ et donner sa valeur numérique pour Tc = 294 K.
5. On note δt la durée, au sein de la période τ, pendant laquelle le système de chauffage est actif. Etablir l'expression du facteur de forme de la source η =δt/τ. Calculer sa valeur numérique. En déduire la puissance moyenne de chauffe (TR =Tc =294K).
6. Que se passe-t-il si, la température de régulation étant toujours fixée à K
294
TR = , la température extérieure s'abaisse de Te =281K à Te' =271K ? Que devient alors la température du local en régime stationnaire ?
Solution :
1. Entre les instants t et t + dt, la température du local varie de T à T + dT et le bilan d’énergie (purement thermique ici) s’écrit, pour le local :
dt ) T T ( C dT
C =−α − e soit dt T
T dT
e
α
−
− =
Par intégration, on en déduit
−
−
=∆ α
e f
e c
T T
T ln T
t
1 , soit numériquement α=0,32h−1.
2. Pour que la température du local reste constante (égale à Tc =294K), il est nécessaire que la puissance de chauffe Pc,0 compense rigoureusement la puissance thermique perdue par convection, soit :
kW 5 , 11 W 10 . 15 , 1 ) T T ( C
Pc,0 =α c − e = 4 =
3. Lorsque la puissance de chauffe Pc est maintenue suffisamment longtemps pour que le régime stationnaire soit atteint (indépendant du temps), la température du local atteint une valeur constante limite, notée T , donnée par : l
) T T ( C
Pc =α l − e soit Tl=TRM =Te+Pc/αC
TRM apparaît ainsi comme étant la température maximale atteinte par le local lorsqu’on lui fournit une puissance de chauffe Pc. Avec Pc =15kW, TRM =298K.
Le schéma ci-dessous montre qualitativement que la température du local est une fonction périodique du temps (de période τ, déterminée à la question suivante).
152 Chapitre 3
Par ailleurs, la température minimale du local est nécessairement la température extérieure Te alors que la température maximale est TRM. Par conséquent, la valeur
4. Un bilan thermique appliqué au local lors de la 1ère phase, entre les instants t et t + dt s’écrit :
Thermodynamique 153 Numériquement, avec Tc = 294 K, TRM = 298 K, Te = 281 K et θ = 0,1 K, on obtient
min 12 h 2 ,
0 =
≈
τ .
5. L’inverse du facteur de forme se calcule facilement :
θ
−
− θ +
−
− θ
−
− θ + +
δ =
= τ
η RM c
c RM e
c
e c
T T
T ln T
T T
T ln T
t 1 1
Soit, numériquement, 1/η=1,31 d’où η=0,76. La puissance moyenne Pc de chauffe vaut :
kW 5 , 11 t P
P période
période une
sur reçue énergie
Pc c =η c =
τ
= δ τ
= τ
On remarque que Pc =Pc,0 =11,5kW, où Pc,0 représente la puissance de chauffe qui permettait, lorsque le chauffage marchait en permanence, d’obtenir une température constante de 294 K au sein du local. L’intérêt de la régulation est double :
• La température du local peut être choisie dans un large domaine calculé à la question (3), (D)=
[
281,1K;297,9K]
et apte à satisfaire tout consommateur exigeant.• Le choix d’une puissance de chauffe supérieure à Pc,0 (puisque Pc =15kW) permet d’anticiper les variations de la température extérieure Te. En particulier, tant que celle-ci reste supérieure à Tc −Pc/αC=277K, la température du local pourra être maintenue à la température escomptée de 294 K.
6. La température maximale atteinte en régime stationnaire vaut désormais K
288 C / P T
TRM' = e' + c α = . Par conséquent, la température de régulation n’est désormais jamais atteinte et le chauffage, qui pourtant marche en permanence, ne peut fournir guère mieux qu’une température de 15°C ! Il semble alors judicieux de changer de chaudière tout en améliorant l’isolation du local à chauffer !