L’ EXPERIENCE DE R ÜCHARDT

0 =

≈

τ .

5. L’inverse du facteur de forme se calcule facilement :









θ

−

− θ +

 −









− θ

−

− θ + +

δ =

= τ

η _{RM c}

c RM e

c

e c

T T

T ln T

T T

T ln T

t 1 1

Soit, numériquement, 1/η=1,31 d’où η=0,76. La puissance moyenne P_c de chauffe vaut :

kW 5 , 11 t P

P période

période une

sur reçue énergie

P_c ^c =η _c =

τ

= δ τ

= τ

On remarque que P_c =P_c,0 =11,5kW, où Pc,0 représente la puissance de chauffe qui permettait, lorsque le chauffage marchait en permanence, d’obtenir une température constante de 294 K au sein du local. L’intérêt de la régulation est double :

• La température du local peut être choisie dans un large domaine calculé à la question (3), (D)=

[

281,1K;297,9K

]

et apte à satisfaire tout consommateur exigeant.

• Le choix d’une puissance de chauffe supérieure à Pc,0 (puisque P_c =15kW) permet d’anticiper les variations de la température extérieure Te. En particulier, tant que celle-ci reste supérieure à T_c −P_c/αC=277K, la température du local pourra être maintenue à la température escomptée de 294 K.

6. La température maximale atteinte en régime stationnaire vaut désormais K

288 C / P T

T_RM^' = _e^' + _c α = . Par conséquent, la température de régulation n’est désormais jamais atteinte et le chauffage, qui pourtant marche en permanence, ne peut fournir guère mieux qu’une température de 15°C ! Il semble alors judicieux de changer de chaudière tout en améliorant l’isolation du local à chauffer !

L’

EXPERIENCE DE

R

ÜCHARDT

Gaz parfaits, loi de Laplace

Enoncé :

La méthode de Rüchardt permet de déterminer le rapport γ = CP / CV des capacités thermiques d’un gaz parfait à pression et à volume constants, en étudiant (voir figure) le mouvement d’une bille dans un tube en verre. La bille métallique, de diamètre très voisin de celui du tube, se comporte comme un piston étanche. On néglige les frottements. Lorsqu’on lâche la bille dans le tube de section s, on observe des oscillations autour d’une position d’équilibre. La méthode consiste à mesurer la période des oscillations τ de la bille dans le tube ou, ce qui est équivalent, la période τ des oscillations de la pression de l’air contenu à l’intérieur de la bouteille. Pour cela, on enregistre la pression à l’aide d’un capteur de pression pendant ≈ 25 s. L’air est assimilé à un gaz parfait.

154 Chapitre 3 On note x la position du centre de la bille à l’instant t (l’origine x = 0 est choisie à la position d’équilibre de la bille) ; T et P désignent la température et la pression de l’air à l’intérieur de la bouteille.

Données : m = 20 g (masse de la bille), P0 = 1 bar et T0 = 293 K (pression et température de l’air atmosphérique), s = 2 cm ² (section intérieure du tube), g = 9,8 m.s^{− 2} (champ de pesanteur terrestre) et V₀ = 10 L (volume total, pour x = 0).

urx

0 x

Capteur de pression Bouteille de

10 L Air (gaz

parfait) Bille

Tube

(T,P)

(T0,P0) Air atmosphérique O

1. Citer quelques exemples de méthodes de mesures de pression.

2. En appliquant le théorème du centre d’inertie à la bille, établir l’équation différentielle du mouvement de la bille. Quelle est la pression Péq à l’équilibre ?

3. D’un point de vue thermodynamique, les compressions et détentes du gaz à l’intérieur de la bouteille sont considérées comme pratiquement réversibles et adiabatiques. Les écarts de pression et de volume étant faibles, on approxime dV par V − V₀ = sx et dP par P − P_éq. En déduire alors P − P_éq en fonction de x.

4. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la variable x. Quelle est la période τ des oscillations de pression ? On mesure τ = 1,2 s. Déterminer la valeur de γ. Commenter la valeur obtenue. Quels peuvent être les problèmes d’ordre expérimental rencontrés ?

Solution :

1. Les méthodes de mesures de pressions sont très nombreuses et diffèrent selon le domaine de pressions que l’on veut mesurer (qui peut s’étendre des basses pressions,

bar 10⁻¹³

≈ , aux hautes pressions, ≈10⁴bar). La mesure des pressions moyennes (quelques dixièmes de bar à quelques bars) peut s’effectuer à partir de manomètres à dénivellation qui consistent à équilibrer une colonne de liquide (comme le baromètre de type Torricelli ou celui de Huygens, dont le principe est donné page 116). Les baromètres anéroïdes (c’est-à-dire sans liquide) permettent également la mesure de ces pressions. La surpression (ou la dépression) à mesurer produit sur une membrane métallique élastique une déformation plus ou moins grande, que l’on amplifie par un système de leviers qui agit, par exemple, sur une aiguille indicatrice. C’est un instrument à lecture directe, étalonné par comparaison avec un baromètre à mercure.

Les baromètres vendus dans le commerce sont très souvent basés sur ce principe.

Afin de réaliser un capteur de pression pouvant être utilisé dans l’expérience proposée dans cet exercice, il est nécessaire de transformer l’effet d’une contrainte de pression en un signal électrique pouvant être acquis par un ordinateur. L’utilisation d’une

Thermodynamique 155

« jauge de contrainte » permet de réaliser un tel capteur ; une jauge de contrainte est constituée d’un dépôt semi-conducteur placé sur un substrat mince. Soumis à une surpression ∆P, le substrat se déforme entraînant une variation de résistance de la jauge, fonction de ∆P, qui peut être mesurée par l’intermédiaire par exemple d’un pont de Wheastone (voir l’exercice « Régulation automatique de température ; utilisation d’une thermistance », page 82). Après étalonnage du pont, on peut en déduire ∆P à partir d’une simple mesure de résistance.

Manomètre anéroïde (à gauche) et manomètre enregistreur (à droite) : l’élément sensible est une capsule dont les déformations élastiques, en fonction des variations de pression, sont amplifiées. La capsule est reliée à un stylet encreur qui laisse une inscription sur une

feuille millimétrée effectuant un tour hebdomadaire.

Certains corps piézo-électriques comme le quartz par exemple, peuvent être utilisés comme capteurs de pressions ; en effet, l’apparition d’une tension électrique aux bornes de ces corps par application d’une contrainte ∆P, surpression ou dépression (effet piézo-électrique) peut être mesurée et fournir, après étalonnage préalable, une mesure de ∆P.

2. Le théorème du centre d’inertie appliqué à la bille dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen s’écrit ma mg f f₀

r r r

r= + + , avec a xur_x

&

&

r= (accélération de la bille), mgr mgur_x

−

= et où f r

et f₀ r

désignent les forces de pression exercées respectivement par l’air dans la bouteille et l’air atmosphérique sur la bille. La force exercée par l’un des deux gaz (air dans la bouteille ou air atmosphérique) est, en norme, de la forme (Pression).(Section du tube). Ce résultat se démontre de la manière suivante :

La demi-sphère supérieure (Σ) est soumise, toute entière, à la pression atmosphérique P0. La force exercée par l’air atmosphérique s’écrit alors :

156 Chapitre 3

∫∫

_Σ

−

=

) ( 0

0 P dSn

f r

r

où nr

est le vecteur unitaire normal à dS, orienté vers l’extérieur de (Σ). Par raison de symétrie, f₀

r

est parallèle au vecteur unitaire ur_x

. Il suffit donc d’intégrer la seule coordonnée selon l’axe (Ox), qui vaut :

∫∫

_Σ

−

=

=

)

( x

0 x 0

0 f .u P dSn.u

f r r rr

Or, dSnr.ur_x

représente l’aire de la projection dS’ de la surface élémentaire dS sur le plan équatorial (π) de la bille. Comme dS' s

) (

∫∫

_π = , il vient finalement f₀ =−P₀s.

Par conséquent, en projection sur l’axe (Ox), on obtient finalement l’équation différentielle du mouvement de la bille :

s P Ps mg x

m&&=− + − ₀ soit mx&&=sP−s

(

P₀ +mg/s

)

A l’équilibre, x&&=0 et la pression Péq vaut P_éq =P₀ +mg/s ; l’équation précédente peut alors s’écrire sous la forme :

(

P Péq

)

s x m&&= −

Le terme s

(

P−Péq

)

apparaît comme une force de rappel ; en effet, lorsque la bille est au dessus de sa position d’équilibre O, la force ^s

(

^P−^Péq

)

<⁰, tendant à ramener la bille vers O. Lorsque la bille est en dessous de sa position d’équilibre, alors

(

^{P P}

)

⁰

s − _éq > et la bille est de nouveau attirée vers O.

3. On suppose que la bille oscille suffisamment rapidement pour que l’air compris dans la bouteille n’ait pas le temps de recevoir de transfert thermique de la part de l’extérieur (mais néanmoins suffisamment lentement pour que cette transformation puisse être considérée comme étant réversible !). Au bout du compte, la transformation est considérée comme adiabatique réversible (soit isentropique). Par conséquent, la loi de Laplace est applicable et s’écrit PV^γ =P_éqV₀^γ, ou encore, sous forme différentielle :

V 0 dV P

dP +γ =

Si l’on assimile dV à sx et dP à P−P_éq, alors, au voisinage de V0 et de Péq : V 0

sx P

P P

0 éq

éq +γ =

− soit _éq

0

éq P

V P sx

P− =−γ

4. L’équation différentielle du mouvement de la bille devient alors :

( )

_







−γ

=

−

= _éq

0

éq P

V sx m

P s m P x& s

& soit x

mV P x s

0 éq 2

γ

−

=

&

&

x

Air à la pression P0

Tube Bille

(Σ)

(ππππ) dS

dS’

nr

O ur^x x

Thermodynamique 157

C’est l’équation différentielle caractéristique d’un oscillateur harmonique de pulsation

0 éq 2

0 = γs P /mV

ω et de période τ=2π/ω₀ =2π mV₀/γs²P_éq . Le coefficient γ s’exprime donc en fonction de la période mesurée des oscillations de pression dans la bouteille :

) s / mg P ( s

mV 4 P

s mV 4

0 2 2

0 2

eq 2 2

0 2

+ τ

= π τ

= π γ

Application numérique : on trouve γ≈1,36. La valeur expérimentale obtenue est conforme à la valeur théorique attendue (soit γ=7/5=1,4) pour l’air qui est composé de molécules diatomiques (dioxygène et diazote).

La méthode expérimentale proposée dans cet exercice a été développée initialement par le physicien Rüchardt en 1929. Cette méthode a ses limites car elle repose sur trois hypothèses (gaz assimilé à un gaz parfait, frottements négligeables entre la bille et le tube de la bouteille et transformations adiabatiques réversibles du gaz¹⁷) qui ne sont pas nécessairement vérifiées. Néanmoins, elle fut améliorée dans les années qui suivirent et permit alors d’obtenir de très bons résultats expérimentaux proches des résultats théoriques attendus comme, par exemple, γ=1,659 pour l’argon (gaz monoatomique), γ=1,404 pour l’air et γ=1,300 pour le dioxyde de carbone (gaz triatomique).

L

E LUDION

Gaz parfaits, loi de Laplace

Enoncé :

Un ludion est un petit personnage (P) solide, solidaire d’une petite sphère (S) imperméable de volume variable, renfermant de l’air ; il est placé dans une éprouvette cylindrique verticale (C), de hauteur très supérieure aux dimensions du ludion (les échelles ne sont pas respectées sur la figure), remplie d’eau sur une hauteur h et fermée dans sa partie supérieure par une membrane souple imperméable (Σ).

Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, le ludion est en équilibre en un point voisin de la surface de l’eau (figure (1)). Lorsqu’on appuie sur la membrane (Σ), on constate que le ludion tombe au fond de l’éprouvette (figure (2)). On se propose d’interpréter sommairement cette observation.

17 On pourra consulter l’article « Aux confins de la mécanique et de la thermodynamique à travers l’expérience de Rüchardt », paru dans le numéro de novembre 1998 du BUP (Bulletin de l’Union des Physiciens), qui présente une discussion critique de l’expérience de Rüchardt réalisée avec des moyens actuels.

158 Chapitre 3

Figure (1) Figure (2) urz

gr Personnage (P)

Sphère souple (S) remplie d’air

Membrane souple (Σ)

Interface air-eau (z = 0)

Air (A) à la

pression Pa1 Membrane souple (Σ)

Air (A) à la pression Pa2

eau Eprouvette

0

z

h

Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen et le champ de pesanteur gr gur_z

= est uniforme avec g =10m.s⁻². Un point M dans l’eau est repéré par sa cote z, comptée positivement sur la verticale descendante, l’origine étant prise à l’interface air-eau supposée fixe. On note P1(z) la pression dans l’eau lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane ; on note P₂(z) sa valeur lorsqu’on appuie sur la membrane. L’eau est supposée incompressible et homogène, de masse volumique µ =10³ kg.m⁻³. L’air contenu entre l’eau et la membrane (Σ) forme un système fermé (A). Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, l’air contenu dans (A) est en équilibre dans l’état E1 ; il occupe un volume initial V_a1 =100cm³, sa température vaut T_a1 =300K et sa pression est égale à P_a1 =1,0bar. Lorsqu’on appuie sur la membrane, l’air contenu dans (A) atteint un nouvel état d’équilibre E2 ; sa pression prend la valeur

bar 0 , 2

Pa2 = , sa température devient

a2

T et le volume occupé devient

a2

V .

L’air, contenu dans la sphère (S) ou dans le système (A) est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M =29g.mol⁻¹, dont le rapport des capacités calorifiques à pression et à volume constants vaut γ =C_p /C_v =1,40. On rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits, R =8,31J.K⁻¹.mol⁻¹.

1. Champ de pression dans l’eau : on considère le dispositif en l’absence de ludion, c’est-à-dire plus précisément lorsqu’on remplace le ludion immergé par un volume équivalent d’eau. Exprimer à l’équilibre, les pressions P1(z) et P2(z) dans l’eau en fonction de P , _a1 P , g, _a2 µ et z.

2. Mouvement du ludion : on admet que le champ de pression déterminé à la question précédente est effectivement le champ de pression en présence du ludion, que celui-ci soit au repos ou en mouvement. Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, la sphère souple (S), solidaire du ludion, est immergée en équilibre, à la cote z = 0. Cette sphère, remplie d’air à la température T 300K

a1 = et à la pression bar

0 , 1

P_a1 = occupe alors un volume VL = 1 cm ³.

On admet que lorsque le centre d’inertie G du ludion est à la cote z, on peut déterminer approximativement le volume de (S) en considérant que l’air qu’elle contient est à la pression uniforme P1(z) ou P2(z) suivant qu’on appuie ou non sur la membrane.

Thermodynamique 159 a) En traduisant l’équilibre du ludion dans l’état initial et en négligeant le volume du personnage (P) devant celui de la sphère (S), calculer sa masse m.

b) En adoptant un modèle d’évolution adiabatique et réversible pour l’air contenu dans la sphère (S), exprimer son volume V(z) lorsqu’on appuie sur (Σ) et que le centre d’inertie G du ludion est à la cote z, en fonction de P , _a1

a2

P , g, µ, z, γ et VL.

c) Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont est solution la fonction z(t) en négligeant les frottements. En déduire la vitesse (dz / dt) en fonction de z et des données. Calculer la vitesse avec laquelle le ludion atteint le fond du récipient (z = h = 1 m).

d) Discuter brièvement en quoi le comportement du ludion serait qualitativement changé ou inchangé si sa masse diminuait de 5 %. Même question si elle augmentait de 5%.

Solution :

1. Dans le cas où la pression à la surface de l’eau est P , la relation fondamentale _a1 de l’hydrostatique des fluides (gradP gr

µ

=

→

) donne directement, puisque l’eau est incompressible, P (z) P gz

a1

1 = +µ . De même lorsque l’on appuie sur la membrane, gz

P ) z (

P2 = a2 +µ .

2-a) Le ludion est soumis à son poids (mgur_z

) et à la poussée d’Archimède, force égale au poids du volume d’eau déplacé et dirigée de bas en haut ( V_Lgur_z

µ

− ). A

l’équilibre, mgu_z V_Lgu_z 0 r r

r −µ = et ainsi m=µV_L =1g.

b) Dans l’état initial, le ludion occupe un volume VL lorsque la pression est

a1

P . A la cote z où la pression est

a1

2(z) P

P > , le ludion occupe le volume V(z)<V_L : la poussée d’Archimède voit son intensité diminuer et le ludion se met effectivement en mouvement vers le bas de l’éprouvette. Si l’on modélise la transformation thermodynamique de l’air compris dans la sphère (S) du ludion par une transformation adiabatique réversible, alors l’application de la loi de Laplace permet d’écrire :

γ γ =P (z)V(z) V

P_{a L 2}

1 soit _L

/ 1

a

a V

gz P

) P z ( V

2 1

γ











 µ

= +

c) Le théorème du centre d’inertie, appliqué au ludion dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, donne, en projection sur l’axe (Oz) :

g ) z ( V mg z

m&&= −µ soit g

V ) z ( g V z

L

−

=

&

&

Finalement, en utilisant l’expression de la loi de Laplace :

























µ

− +

=

γ / 1

a a

gz P

1 P g z

2

& 1

&

160 Chapitre 3 la pratique (présence de frottements), elle est évidemment plus faible !

d) Si la masse du ludion diminuait légèrement (par exemple de 5%), le ludion serait partiellement immergé initialement mais continuerait à s’enfoncer dans l’eau lors de la compression de la membrane. Par contre, si sa masse devait augmenter, le ludion tomberait au fond de l’éprouvette alors même que la membrane n’est pas comprimée.

Dans le document TThheerrmmooddyynnaammiiqquuee CChhaappiittrree 33 (Page 39-46)