3. La pression partielle de la vapeur d’eau au sein de la bulle ainsi que la pression de vapeur saturante de l’eau diminuent toutes les deux avec la température. Lorsque ces deux pressions deviennent identiques, apparaissent des gouttelettes de liquide en suspension dans l’atmosphère : un nuage s’est formé ! La figure ci-dessus de gauche représente l’apparition d’un soulèvement d’air chaud par convection thermique. Ce phénomène est typique en été ; il apparaît surtout en cours d’après-midi lorsque le sol est bien chauffé par le Soleil et conduit à la formation de nuages de beau temps, les cumulus.
La figure de droite montre, quant à elle, l’apparition d’un nuage de condensation à l’ouverture d’une bouteille. En effet, quand on décapsule par exemple une bouteille de bière, le gaz dans le goulot se détend alors rapidement de manière pratiquement adiabatique : la température diminue brutalement, entraînant la condensation de la vapeur d’eau présente dans le goulot en un brouillard constitué de minuscules gouttelettes.
M
OTEUR A REACTIONApplications des 1er et 2nd principes
Enoncé :
Dans un moteur à réaction, un gaz (assimilé à l’air supposé parfait) parcourt un cycle que l’on considérera tout d’abord comme étant réversible. Il pénètre dans le réacteur à la pression P1 et à la température T1 (état (1)). Il est ensuite comprimé adiabatiquement jusqu’à la pression P2 et la température vaut alors T2 (état (2)). Il rentre alors dans une chambre de combustion où sa température passe de T2 à T3, la pression restant égale à P2 (la sortie de la chambre de combustion est représentée par l’état (3)). Le gaz subit ensuite une détente adiabatique dans une turbine jusqu’à P4 et T4 (état (4)). Cette détente est telle que la puissance fournie à la turbine compense exactement celle que
consomme le compresseur entre les états (1) et (2). Enfin, le gaz se détend dans une tuyère adiabatique sans
Etage
compresseur Chambre de combustion
Etage turbine-tuyère
Tuyère Schéma d’un moteur à réaction.
164 Chapitre 3 parties mobiles jusqu’à P1 et T5 (état (5)). Le gaz est rejeté avec la vitesse c (ce qui assure la propulsion) dans l’atmosphère extérieure où il se refroidit à la pression constante P1 de T5 à T1. On considère que la vitesse du gaz est partout négligeable sauf à la sortie de la tuyère.
Données numériques : T1 =290K, P1 =1bar , P2 /P1 =5. La température du gaz à l’entrée de la turbine est T3 =1300K . L’air est considéré comme étant un gaz diatomique de masse molaire M =29g.mol−1. La constante R des gaz parfaits vaut
1 1.mol K . J 31 , 8
R= − − .
Les applications numériques demandées sont relatives à l’unité de masse (ici, 1 kg) et les grandeurs extensives correspondantes seront notées par des lettres minuscules (sm pour l’entropie, hm pour l’enthalpie, ecm pour l’énergie cinétique macroscopique,…).
1-a) Quelle est l’équation d’une transformation isobare réversible (de pression P1) dans le diagramme entropique (T,sm) ? Comment se situe l’isobare P2 par rapport à l’isobare P1 si P2 >P1 ?
b) Représenter l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron (P,vm) puis dans le diagramme entropique (T,sm).
Dans les questions suivantes, on établira d’abord l’expression littérale puis on donnera la valeur numérique des résultats demandés.
2. Déterminer l’expression de T2 en fonction des données. Quelle est l’énergie fournie à l’unité de masse de gaz qui traverse le compresseur ?
3. Quels sont les échanges d’énergie par unité de temps et par unité de masse dans la chambre de combustion ?
4. Déterminer T4 et T5. Quelle est la vitesse c du gaz à la sortie de la tuyère ? 5. Quel est le rendement ρ du moteur ?
6. En réalité, la tuyère n’a pas un fonctionnement réversible. Le gaz sort de la tuyère à une température T . On définit le rendement de la tuyère par rapport à 5' l’isentropique par η =(h'm,5 −hm,4)/(hm,5 −hm,4)=90%.
a) Quelle est alors la nouvelle température de sortie T des gaz de la tuyère ? 5'
b) Quelle est la nouvelle vitesse de sortie c’ des gaz ? Calculer le nouveau rendement '
ρ du cycle.
c) Quelle est la variation d’entropie massique du gaz à la traversée de la tuyère ?
Thermodynamique 165
Par conséquent, l’équation dans le diagramme isentropique (T,sm) d’une isobare (de pression P1) est :
augmente avec celle-ci). Les isobares correspondant aux deux pressions P1 et P2 >P1 sont représentées sur la figure ci-dessus.
P
b) Les allures, en coordonnées de Clapeyron (P,vm) et en coordonnées (T,sm), du cycle suivi par l’air dans le moteur sont données ci-dessus.
2. La détente étant supposée réversible et adiabatique dans le compresseur, l’application de la loi de Laplace permet de déterminer la température finale T2 :
γ
L’unité de masse d’air qui rentre dans le compresseur ne reçoit, de la part de celui-ci, qu’un travail mécanique noté wm (avec wm >0). On considère à l’instant t le système fermé constitué du gaz compris dans le compresseur et de la masse dm de gaz (dans l’état P1 et T1) qui va rentrer, pendant l’intervalle de temps dt, dans le compresseur. A l’instant t + dt, ce système est constitué de la même quantité de gaz comprise dans le compresseur et de la même masse dm de gaz qui est sortie, étant désormais dans les conditions P2 et T2. Le 1er principe appliqué à ce système (en négligeant l’énergie cinétique macroscopique) s’écrit :
( ) ( )
166 Chapitre 3 Avec :
• Ugazdanslecompresseur, l’énergie interne du gaz constamment contenu dans le compresseur ; elle est constante en régime stationnaire.
• um,1 et um,2 désignent les énergies internes massiques et vm,1 et vm,2 les volumes massiques de l’air dans les états (1) et (2) respectivement.
• la quantité P1(dmvm,1)−P2(dmvm,2) représente le travail des forces de pressions extérieures au système, à l’entrée et à la sortie de la machine (encore appelé travail de transvasement).
• Enfin, le transfert thermique reçu par le système est nul puisque, d’une part, le compresseur est calorifugé et, d’autre part, il n’y a pas de transfert de chaleur par conduction entre la masse qui rentre ou qui sort de la machine et son environnement immédiat puisque les températures sont identiques (et égales à T1 ou T2).
En remarquant que hm =um +Pvm représente l’enthalpie massique, on aboutit finalement au bilan énergétique suivant :
m 1 , m 2 ,
m h w
h − =
Sachant que l’enthalpie massique d’un gaz parfait est de la forme hm =cP,mT (avec 2
/ r 7
cP,m = , où r=R/M), on en déduit l’expression du travail massique reçu par l’air :
1 1
2 1 1
2
m 1 T
P r P 2 ) 7 T T ( 2r w 7
−
=
−
= γ
γ
−
Numériquement, on trouve wm =169,8kJ.kg−1.
3. Un bilan énergétique similaire à celui réalisé à la question précédente conduit à :
(
3 2)
2 , m 3 , m
m r T T
2 h 7 h
q = − = −
où qm représente le seul terme énergétique reçu, sous forme de transfert thermique massique, par l’air dans la chambre de combustion. Numériquement, on obtient
1 m 843,2 kJ.kg
q = − .
4. Le travail massique w reçu par l’air dans la turbine, opposé à celui reçu lors du 'm passage dans le compresseur, est par ailleurs donné par w'm =hm,4 −hm,3. Par conséquent :
(
4 3)
m(
2 1)
3 , m 4 , m '
m r T T
2 w 7
T T 2r h 7 h
w = − = − =− =− −
Soit :
Compresseur Gaz en écoulement
P1 T1 P2 T2
Masse dm à l’instant t A
B
A’
B’
Masse dm à l’instant t + dt
Thermodynamique 167 macroscopique en sortie ecm,5 n’est plus négligeable (et avec des notations semblables à celles de la question (2)) : Le nouveau rendement du moteur étant alors :
%
c) L’expression analytique de l’entropie massique d’un gaz parfait étant connue (voir question (1-a)), la variation d’entropie massique du gaz à la traversée de la tuyère s’en déduit directement :
168 Chapitre 3 La pression à l’entrée de la tuyère P4 (égale à celle à la sortie de la turbine) est donnée par la loi de Laplace (voir question (4)) :
γ γ
− γ γ
− 3 = 41 4
1
2 T P T
P soit P 3,07bar
T
P T 1 2
4 3
4 =
= −γ
γ
On en déduit numériquement ∆sm,4→5' =37,4J.K−1.kg−1. La tuyère étant isolée thermiquement de l’extérieur (le terme d’entropie d’échange est nul), cette variation d’entropie s’identifie à l’entropie de création Scr. On vérifie bien que, conformément au 2nd principe, Scr >0 : il y a eu création d’entropie par irréversibilité interne dans la tuyère (viscosité du fluide et existence de forces dissipatives le long des parois de la tuyère).
Complément : interprétation statistique de l'entropie
L’exemple de la détente de Joule-Gay-Lussac d’un gaz parfait permet de préciser, de manière simple, l’interprétation statistique de
l’entropie. Cette détente peut se réaliser de la manière suivante (voir figure) : un récipient indéformable et adiabatique est divisé en deux compartiments de volumes Vl et V2 par une plaque de verre. Le compartiment (1) contient n moles d'un gaz parfait à la température Tl. Le compartiment (2) est vide.
On coupe l'électroaimant : la bille tombe et casse la paroi de verre. Le gaz se détend
alors dans le volume V = Vl + V2 qui lui est offert. A l'équilibre, l'état final du gaz est caractérisé par le volume V et par la nouvelle température T2.
La détente de Joule-Gay-Lussac est un phénomène irréversible : le gaz ne peut, sans intervention extérieure, occuper le compartiment (1), en laissant (2) vide !
Calculs de ∆∆∆∆U et de ∆∆∆∆S :
Le gaz est isolé adiabatiquement et mécaniquement (parois rigides) de l'extérieur. Par conséquent, le premier principe donne ∆U=0. Une détente de Joule-Gay-Lussac se fait donc à énergie interne constante, autrement dit :
) V V , T ( U ) V , T (
U 1 1 = 2 1+ 2
Pour un gaz parfait, on déduit T1=T2, puisque l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température.
L'entropie d'un gaz parfait s'écrit, en variables T et V (pour n moles) :
∫
+ += nRln(V) cste T
)dT T ( C n ) V , T (
S V
Par conséquent :
+
=
∆
1 2 1
V V ln V
nR S
On vérifie bien que ∆S > 0, puisque le gaz constitue un système isolé (principe d’évolution, ∆S s’identifie à l’entropie de création).
Quelques définitions de physique statistique :
Electroaimant
Plaque de verre Bille
Gaz (V1,T1)
Vide (V2)
Thermodynamique 169
• Etat macroscopique (ou macro-état) : un état macroscopique d'un système est défini par la connaissance de paramètres macroscopiques mesurables. Par exemple, l'état macroscopique d'un gaz est défini par la donnée de deux paramètres (appelés variables d’état), tels que pression, volume ou température.
• Etat microscopique (ou micro-état) : un état microscopique d'un système est défini par la connaissance de la position, de la vitesse, de l’énergie, …, à un instant donné, de toutes les particules constitutives du système (par exemple, les molécules d’un gaz).
• Etats accessibles : soit un système ayant une énergie interne et un volume constants.
Ce système doit être nécessairement dans un état microscopique compatible avec les contraintes macroscopiques imposées au système (énergie interne et volume) : un tel état microscopique est appelé état accessible.
• Postulat fondamental de la physique statistique : tous les états microscopiques accessibles d'un système isolé à l'équilibre sont équiprobables.
Entropie statistique et désordre moléculaire :
La détente de Joule-Gay-Lussac d'un gaz parfait permet en effet, de manière simple, d'aboutir à la définition statistique de l'entropie. Comme la température reste constante, le nombre d'états microscopiques accessibles par le gaz subit une variation due uniquement à la modification du volume occupé par le gaz.
Soit Ωi(V1) le nombre d'états microscopiques accessibles par le gaz, compte tenu des contraintes macroscopiques V1 et T1, dans l'état initial (état (1) sur la figure ci-dessous).
Le nombre d'états microscopiques accessibles dans l'état final est noté Ωf(V1+V2) (état (2)). La contrainte due au volume étant moins restrictive dans l'état final que dans l'état initial, on a certainement :
) V ( ) V V
( 1 2 i 1
f + >Ω
Ω
V1
Vide (V2) (1)
V1 + V2
(2) (2 bis)
V1
Vide (V2)
Déterminons la probabilité P pour que le gaz parfait occupe spontanément la partie supérieure du récipient (de volume V1) dans l'état final (état (2bis)). La probabilité a priori pour qu'une particule se trouve dans le volume V1 est V1/(V1+V2). Par conséquent, si N est le nombre de particules (supposées indépendantes) :
P
N
2 1
1
V V
V
= +
N est de l'ordre du nombre d'Avogadro (NA = 6,02.10 23 mol − 1). Par conséquent, P << 1 : le gaz a une probabilité pratiquement nulle de revenir dans son état initial (la détente est irréversible).
La probabilité P peut s'exprimer en fonction du nombre d'états accessibles. Le postulat fondamental de la physique statistique permet d'écrire que, dans l'état final, tous les états accessibles sont équiprobables. Par conséquent, la probabilité de trouver le gaz dans chacun de ses états accessibles vaut 1/Ωf(V1+V2). Ainsi P, qui est également la
170 Chapitre 3 probabilité pour que le gaz occupe, dans l'état final, l'un de ses Ωi(V1) états accessibles caractérisés par les paramètres macroscopiques V1 et T1, s'écrit :
P classiquement au début de ce complément, peut s’écrire :
N
On définit alors l’entropie statistique18 par la relation : ) détente de Joule-Gay-Lussac, est tout à fait générale. Elle permet de construire un pont entre le monde microscopique (représenté par le nombre d’états microscopiques accessibles Ω) et le monde macroscopique (représenté par la fonction entropie S, préalablement définie notamment par l’étude des machines thermiques et, par exemple, par l’impossibilité de transformer intégralement de la chaleur en travail dans une machine thermique fonctionnant de manière cyclique).
18 Pour davantage de compléments sur l’entropie statistique, on pourra consulter l’ouvrage « Chaleur et désordre, le deuxième principe de la thermodynamique » de P.W. Atkins, Pour la science (diffusion Belin).
Thermodynamique 171
L’entropie du bureau d’un étudiant se rapproche-t-elle plutôt de celle du bureau de gauche ou de celle du bureau de droite ?
L’entropie apparaît ainsi, en quelque sorte, comme une mesure du degré de désordre moléculaire (ou particulaire) d’un système. Ce système sera d’autant plus désordonné (et donc son entropie d’autant plus élevée) que le nombre d’états microscopiques accessibles sera grand ; autrement dit, plus l’entropie d’un système augmente et plus la structure microscopique de celui-ci devient indéterminée.
Par ailleurs, le 2nd principe est un principe d’évolution : il stipule que la transformation qui, pour un système isolé thermiquement, correspond au passage à un nouvel état d’équilibre après suppression d’une contrainte, a pour effet d’augmenter l’entropie du système et donc le désordre de celui-ci (Ωf >Ωi). On peut ainsi dire que les transformations spontanées sont celles qui s’effectuent vers les états les plus probables, même si, au niveau microscopique, aucune transformation inverse n’est impossible, mais simplement franchement improbable !