R´egularit´e locale et “fractale”

Jusqu’a pr´esent, toutes les d´efinitions de r´egularit´e que l’on a vues sont hhglobalesii, c’est `a dire qu’on estime lehhpireii(minimum) ordre de r´egularit´e que l’on observe sur tous les points d’une courbe. Mais il est ´egalement possible d’estimer un ordre de r´egularit´e h¨olderienne hhlocalii, qui refl`ete le comportement des pentes infinit´esimales de ϕ(t) autour d’un point donn´e t.

On peut penser que l’´etude de la r´egularit´e locale nous permetterait de quantifier plus pr´ecis´ement l’hhallureii de la courbe limite obtenue, afin d’obtenir une nouvelle mesure qui dis- tinguerait deux courbes ayant la mˆeme r´egularit´e globale mais, par le jeu des comportements lo- caux, ont des allures tr`es diff´erentes. Autrement dit, on s’approcherait plus de des consid´erations subjectives sur l’allure des fonctions limites obtenues.

Dans leur article [4], Daubechies et Lagarias ont ´etendu leurs r´esultats au cas de la r´egularit´e locale. La mˆeme extension est possible dans l’approche pr´esent´ee ici. (Les ordres α d´ependent alors de t, et on consid`ere |gn+1j − g

j

n| lorsque n est, par exemple, le plus proche entier de 2jt,

au lieu de maxn|gjn+1− g j

n|.) Cependant, elle conduit `a des r´esultats tellement similaires que je

Figure 4.5: Bornes inf´erieures et sup´erieures de r´egularit´e. En trait pointill´e, bornes fournies par l’algorithme 3 (estimations optimales au sens de Sobolev). En trait plein, bornes fournies par les algorithmes 1 et 2 (estimations de la r´egularit´e h¨olderienne).

Consid´erons le cas N = 1 (ordre de r´egularit´e compris entre 0 et 1). Le cas o`u les ordres de r´egularit´e sont sup´erieurs `a 1 peut se traiter de la mˆeme mani`ere en consid´erant des d´eriv´ees. Dˆu `a la structure particuli`ere du sch´ema d’it´eration des filtres, la r´egularit´e `a l’endroit t ne d´epend que de sa partie d´ecimale, et on peut supposer 0 ≤ t ≤ 1. D´ecomposons t en base deux, t = P

j≤1εj2−j, o`u εi = 0 ou 1. Le nombre n que l’on doit prendre pour calculer la somme

apparaissant en (4.15), `a savoir P

k|f j

n+2j_k|, est donc n = ε1· · · εj, ´ecrit en base deux, ce qui correspond `a un chemin particulier dans l’arbre binaire de la figure 4.4 (d). Rappelons que dans le cas de la r´egularit´e globale, la maximum de cette somme sur n tend, lorsque j → ∞, vers 2−α o`u α est la r´egularit´e (globale) optimale. Grˆace `a la formulation matricielle de Daubechies et Lagarias [4], on peut plus g´en´eralement, borner cette somme par une expression de la forme

c 2−(Piεi)β₂−(j−Piεi)γ_{. (4.16)} Il faut noter que (4.16) n’est qu’une majoration, qui va donc conduire `a des estimations sous- optimales.

En faisant tendre j vers l’infini, Daubechies et Lagarias obtiennent un ordre de r´egularit´e locale ´egal `<sub>a λβ + (1 − λ)γ autour de t, si t a la propri´et´e particuli`ere que la proportion de</sub> hh1iidans son d´eveloppement en base deux converge vers λ. Puisque les nombres correspondant `

a λ = 1/2 poss`edent un sous-ensemble de mesure 1, ceci permet de dire que la r´egularit´e est presque partout ´egale `a (β + λ)/2, ce qui est sup´erieur ou ´egal `a la r´egularit´e globale [4]. On a donc ici une nouvelle notion de r´egularit´e globale (presque partout), qu’on pourrait ´etudier dans le cadre de cette th`ese. Malheureusement, en revenant `a l’approche temps-discret, on s’apercoit que de telles valeurs de t ne sont obtenues qu’`a l’infini, il n’est donc pas justifi´e que la notion de r´egularit´ehhpresque partoutii ait un int´erˆet particulier.

4.4. CAS PARTICULIERS ET EXTENSIONS 59

dyadiques t = n2−j uniquement, et les valeurs de ϕ(t) ne sont accessibles qu’en ces points [1]. Il se trouve que ces points dyadiques sont pr´ecis´ement tr`es particuliers du point de vue de la r´egularit´e locale [4], car on peut approcher un point dyadique de deux fa¸cons (de la gauche ou de la droite), o`u les expansions binaires nous donnent respectivement β et γ comme ordres de r´egularit´e `a gauche et `a droite de t. Le minimum des deux correspond souvent `a l’ordre de r´egularit´e global, alors que l’autre correspond `a une r´egularit´ehhmaximaleii des points de la courbe.

Toutes ces d´efinitions de r´egularit´e locale reposent donc principalement sur deux valeurs, l’une correspondant `a la r´egularit´e minimale (globale) et l’autre `a la r´egularit´e maximale que l’on peut atteindre sur la courbe limite. Du point de vue de l’aspect visuel des courbes, il n’est pas ´evident de r´ealiser si ces notions ont un int´erˆet particulier.

C’est pourquoi je propose une autre d´efinition de r´egularit´e, qui est li´ee `a la dimension fractale (au sens de Hausdorff) de la courbe limite. Il s’agit d’une r´egularit´e locale moyenn´ee : Au lieu de maxn|gn+1j − gjn|, on consid`ere la hhmoyenneii 2−jP

n|gn+1j − gjn| et on ´etudie son

comportement lorsque j → ∞. En fait, on peut montrer que, par exemple, les approximations en escalier des r´eponses it´er´ees gnj trac´ees en fonction de n2−j, ont une longueur totale ´egale, `a

une constante pr`es, `a Lj =Pn|gjn+1− gnj|.

La dimension fractale de Hausdorff de la courbe limite se d´efinit alors par la formule d = log2(2

j_L j)

j

et la r´egularit´e locale moyenn´ee ¯α peut donc se d´efinir par ¯

α = 2 − d.

On peut montrer facilement, grˆace `<sub>a l’in´egalit´e |gn+1</sub>j <sub>− g</sub>nj| ≤ c maxnP<sub>k</sub>|f<sub>n+2</sub>j j<sub>k</sub>| [1], que ¯α ≥ α, o`u α est la r´egularit´e globale. Ainsi, si ϕ(t) est continˆument d´erivable, sa dimension fractale est n´ecessairement ´egale `a 1 (ce qui correspond bien `a l’intuition). Par contre, si ϕ(t) a un ordre de r´egularit´e optimal α = ε (o`u ε est tr`es petit), la dimension fractale de ϕ(t) peut s’approcher de 2 : la courbe deviendrait tellement oscillante qu’ellehhcouvrirait presque tout le planii.

Grˆace au majorant (4.16) ´etabli pour la r´egularit´e locale, on peut ´egalement trouver un autre minorant de ¯α. On a : Lj ≤ c X n=ε1···εj 2−(Piεi)β₂−(j−Piεi)γ ≤ cX l Cl_j2−lβ2−(j−l)γ ≤ c (2−β+ 2−γ)j

Je conjecture qu’on a en fait ´equivalence, et donc que la r´egularit´e locale moyenn´ee s’exprime en fonction de β et γ par la formule

2−¯α= 2−β+ 2−γ

2 .

ce qui permetterait de trouver des algorithmes d’estimation pr´ecise de ¯α.

Nous nous trouvons donc devant un certain nombre de notions diff´erentes de r´egularit´e. Le probl`eme de savoir laquelle est r´eellement utile pour les applications reste ouvert. Dans la suite de la th`ese, on se consacrera uniquement aux notions de r´egularit´e globale, que l’on maˆıtrise mieux.