Degr´e de platitude variable

Nous commen¸cons par faire varier le degr´e K de hhplatitudeii des filtres (c’est `a dire le nombre de z´eros `a la fr´equence de Nyquist dans le filtre passe-bas), les autres param`etres (longueur et bande de transition) ´etant fix´es. Des r´esultats sont montr´es dans la figure 8.3 pour des filtres orthogonaux calcul´es avec le crit`ere de Tchebichev (chapitre 5) et en restant en quantification scalaire.

Clairement, le compromis r´egularit´e/s´electivit´e en fr´equence influe sur les r´esultats de compression, pour de nombreux d´ebit binaires impos´es. On observe en fait que le choix de filtres plus r´eguliers, et donc, moins s´electifs en fr´equence, est meilleur pour une longueur donn´ee. Ceci peut sembler surprenant, mais a ´et´e observ´e sur diff´erentes images, en utilisant diff´erents crit`eres pour le d´ebit binaire final, et en se basant `a la fois sur les courbes et sur la qualit´e visuelle de l’image reconstruite. En fait, ces observations sont en accord avec la remarque faite notament par Kronander [4] qu’une hhbonneii s´electivit´e en fr´equence n’est pas essentielle pour les performances de codage, tout au moins dans ce cadre pr´ecis de compression d’image fixes.

En regardant de plus pr`es la figure 8.3, on s’aper¸coit qu’il apparait deux cat´egories bien distinctes de filtres :

1. Ceux dont la r´eponse fr´equentielle ne s’annule pas `a la fr´equence de Nyquist (cas o`u K = 0). Les filtres sont alors tr`es s´electifs en fr´equence, mais pas r´eguliers du tout (le processus d’it´eration des filtres diverge – cf. chapitre 4). La courbe de rapport signal `a bruit obtenue se trouve en dessous des autres avec une diff´erence de l’ordre de 5 `a 10 dB. Dans ce cas, un art´efact gˆenant apparaˆıt tr`es visiblement sur l’image reconstruite, mˆeme pour des filtres tr`es att´enu´ees dans la bande passante (jusqu’`a 40 dB). Ce type d’art´efact a ´et´e ´egalement observ´e dans [4]. Il peut s’interpr´eter en disant qu’une partie de l’information passe-bas, qui est essentielle pour coder l’image, passe dans les coefficients en ondelettes (sous-images passe-bande), qui, eux, sont parfois quantifi´es tr`es grossi`erement afin de r´eduire le d´ebit. 2. Les filtres r´eguliers (K > 0). Les performances pour tous ces filtres ne comportent que

des diff´erences de l’ordre de 1 `a 2 dB. N´eanmoins, on a observ´e que la qualit´e visuelle augmente effectivement avec K (c’est `a dire lorsque la s´electivit´e en fr´equence d´ecroˆıt). Dans la plupart les cas observ´ees, ce sont donc les filtres de Daubechies (valeur de K maximale) qui donnent les meilleures performances.

8.3. INFLUENCE DE LA R ´EGULARIT ´E/S ´ELECTIVIT ´E EN FR ´EQUENCE 111

(a)

(b)

Figure 8.3: Influence de la r´egularit´e (platitude). L’image cod´ee est ici BARBARA, avec quan- tifiaction scalaire uniquement. (a) Courbes obtenues pour les 3 familles de filtres orthogonaux de longueur L = 10 et largeur de bande de transition ∆ω = 0.0625, correspondant aux valeurs K = 1, 3 et 5. (b) Courbes obtenues pour les 4 familles de filtres orthogonaux de longueur L = 12 et largeur de bande de transition ∆ω = 0.0625, correspondant aux valeurs K = 0, 2, 4 et 6. On observe, dans tous les cas, que le rapport signal `a bruit augmente globalement avec K.

(a)

(b)

Figure 8.4: Influence du type de quantification. L’image cod´ee est LENA, et les 4 filtres utilis´ees sont orthogonaux, de longueur L = 12, de largeur de bande de transition ∆ω = 0.0625, correspondant `a K = 0, 2, 4 et 6. (a) Quantification scalaire. (b) Quantification vectorielle sur le r´eseau D4 (pour certaines sous-images).

8.3. INFLUENCE DE LA R ´EGULARIT ´E/S ´ELECTIVIT ´E EN FR ´EQUENCE 113

Figure 8.5: Influence du crit`ere d’optimisation des filtres. Ces courbes, obtenues sur l’image LENA, correspondent `a des filtres calcul´es grˆace au crit`ere hhquadratiqueii du chapitre 5. Les param`etres sont L = 12, ∆ω = 0.0625, K = 0, 2, 4 et 6. Les courbes sont donc `a comparer avec la figure 8.4 (a), o`u les filtres sont calcul´es avec un crit`ere de Tchebichev.

Des comportements similaires ont ´et´e observ´es dans le cas d’une quantification vectorielle sur r´eseau (figure 8.4). La quantification vectorielle, bien qu’apportant un int´erˆet potentiel du point de vue du gain apport´e par les quantificateurs et surtout par les codeurs entropiques (cf. chapitre 7), r´eagissent de la mˆeme fa¸con du point de vue des param`etres de la transform´ee, qui est celui consid´er´e ici. Dans la suite, on se limitera donc au cas de la quantification scalaire.

Les mˆemes comportements ont ´et´e observ´es ´egalement pour des filtres calcul´es avec un autre crit`ere d’optimisation (figure 8.5). Comme on l’a vu au chapitre 5, ces filtres sont globalement plus r´eguliers, mais moins s´electifs en fr´equence, que les filtres (calcul´es avec le crit`ere de Tchebichev) utilis´es dans les autres figures.

Comparons la figure 8.5 avec la figure 8.4 (a) : dans le cas de la figure 8.5, les courbes, pour K < 6, sont globalement plus ´elev´ees que dans la figure 8.4 (a), et correspondent `a des r´egularit´es plus ´elev´ees et une s´electivit´e en fr´equence plus faible (Les courbes les plus ´elev´ees dans chacune des figures (correspondant `a K = 6 = L/2) sont les mˆemes, car les filtres co¨ıncident avec celui de Daubechies de longueur 12, qui ne d´epend pas du crit`ere d’optimisation consid´er´e pour le calcul des filtres.) De plus, l’influence des valeurs de K strictement positives les unes par rapport aux autres est moins nette, ce qui correspond `a des valeurs de r´egularit´e plus proches que dans le cas de la figure 8.4 (a). L`a encore, les observations faites plus haut se refl`etent sur les courbes obtenues. Dans la suite, on se contentera de consid´erer des filtres calcul´es avec le crit`ere de Tchebichev.