d´ebits [3]. Le nombre optimal de d´ecompositions effectu´ees dans la TOD est, dans ce cas, souvent ´egal `a 4. L’algorithme d’allocation optimale d´ecide de coder la sous-image passe-bas sur un grand nombre de bits (en g´en´eral 8 bpp, qui correspond au nombre de bpp pour l’image initiale). Il aurait ´et´e peut ˆetre pr´ef´erable de rendre possible, pour cette sous-image, une quantification sur un nombre de bits sup´erieur `a 8 bpp (mais les programmes de simulations utilis´es auraient dues ˆetre partiellement r´e-´ecrites pour ce cas). Les autres sous-images sont cod´ees sur un nombre de bpp d´ecroissant au fur et `a mesure que le niveau de d´ecomposition j d´ecroˆıt (ou que la taille des sous-images croˆıt). En g´en´eral, les sous-images hhpasse-haut/passe-hautii sont cod´ees sur moins de bits que les autres sous-images au mˆeme niveau de d´ecomposition. Enfin, la sous- image hhpasse-haut/passe-hautii correspondant au premier niveau de d´ecomposition est souvent ignor´ee par l’algorithme (cod´ee sur 0 bpp).
8.1.5 Qualit´e visuelle et crit`ere quadratique
On a observ´e les r´esultats visuellement sur l’image reconstruite `a l’aide d’un moniteur/processeur TRIDYN (de la soci´et´e INFOROP) sp´ecialis´e pour le traitement d’images. En ce qui concerne la qualit´e visuelle de l’image reconstruite, on consid`ere g´en´eralement que le crit`ere d’erreur quadratique, que l’on utilise ici pour donner les r´esultats, est mal adapt´e au crit`ere visuel subjectif.
Cependant, les comparaisons effectu´ees ici sont faites sur des distorsions minimis´ees par rapport `a l’image et `a chacun des filtres. On a, dans ce cadre, constat´e que le crit`ere quadratique choisi est finalement unhhboniicrit`ere visuel. En effet, lorsqu’on observe les images reconstruites pour un d´ebit binaire permettant une distorsion tout juste perceptible pour l’image pr´esentant le meilleur rapport signal `a bruit, on constate que, d’une fa¸con g´en´erale, le crit`ere quadratique est la qualit´e visuelle vont dans le mˆeme sens, mˆeme pour des diff´erences en rapport signal `a bruit de 1 `a 2 dB, ou des diff´erences d’art´efacts sont tout juste visibles en effectuant un zoom sur des portions de l’image. En de¸c`a de 1 dB de diff´erence, il est tr`es difficile de percevoir une am´elioration sur une image ou sur l’autre si les filtres sont caract´eristiques comparables. (Par contre, des diff´erences de 5 dB hhsautent aux yeuxii.)
Comme la plupart des r´esultats d´ecrits ci-dessous diff`erent de quelques dB seulement en rapport signal `a bruit (pour un taux de compression donn´e), il est difficile de montrer, par des reproductions photographiques, des diff´erences notables dans le cas o`u l’on s’int´eresse `a des distorsions tout juste perceptibles sur ´ecran (diff´erences de 1 `a 2 dB autour de 30 `a 35 dB). On pourrait montrer les images pour des d´ebits plus faibles, conduisant `a des art´efacts bien visibles sur toutes les images compar´ees. Mais dans ce cas, on constate qu’il est parfois tr`es hasardeux d’affirmer que telle ou telle image est de plus grande qualit´e pour des diff´erences en dB aussi faibles. Pour ces raisons, on se limitera, dans ce chapitre, aux courbes qui donnent le rapport signal `a bruit en fonction du nombre final de bpp n´ecessaire pour coder l’image. N´eanmoins, il fallait souligner que ces courbes sont en bon accord avec la qualit´e visuelle observ´ee sur ´ecran.
8.2
Influence de la phase
La figure 8.1 compare les performances de codage pour diff´erents choix de phases dans le cas de filtres orthogonaux ayant la mˆeme r´eponse fr´equentielle. L’effet de la phase est presque imperceptible du point de vue de l’´energie de l’erreur `a la reconstruction, quel que soit le d´ebit binaire impos´e. On a observ´e des diff´erences de moins de 1 dB `a d´ebit binaire donn´e, ind´ependamment des autres param`etres des filtres (longueur, bande de transition, etc.), et ceci
(a)
(b)
Figure 8.1: Influence de la phase (cas orthogonal). (a) Courbes obtenues pour l’image BARBARA et pour les 4 solutions “filtres orthogonaux” de longueur L = 10, de degr´e de platitude K = 3, et de largeur de bande de transistion ∆ω = 0.1. Ces filtres ont les mˆemes r´eponses en fr´equence mais diff´erentes r´eponses de phase. (b) Courbes obtenues pour l’image LENA et pour les 8 solutions, ne diff´erant que par la phase, correspondant `a L = 14, K = 5 et ∆ω = 0.14. Les courbes obtenues sont quasiment indiscernables `a l’´echelle de la figure.
8.2. INFLUENCE DE LA PHASE 109
(a)
Figure 8.2: Influence de la phase (cas biorthogonal). En trait plein, courbe obtenue pour une solution biorthogonale (cf. chapitre 5) de param`etres L = 14, K = 5 (et donc L′ = 22),
∆ω = 0.14, d’ordre de r´egularit´e de H¨older r = 1.5 et r′ = 2.1. En trait pointill´e, courbe obtenue pour la solution orthogonale correspondant aux mˆemes param`etres (c’est `a dire une des courbes de la figure 8.1 (b)), ayant pour ordre de r´egularit´e r = 1.7 et quasiment la mˆeme att´enuation en bande passante (-25 dB).
sur plusieurs images. Selon le taux de compression, ceci correspond visuellement `a des diff´erences quasiment imperceptibles, ou pour lesquelles d´eterminer une pr´ef´erence serait hasardeux. Bien que ces filtres orthogonaux ne peuvent ˆetre `a phase lin´eaire (pour L > 2), un des filtres utilis´e pour produire la figure 8.1 a une variation maximale de retard de groupe ne d´epassant pas 1/2 ´echantillon, ce qui est tr`es proche de la phase lin´eaire.
On peut alors se demander si des filtres r´eellement `a phase lin´eaire peuvent am´eliorer la situation. Pour obtenir la phase lin´eaire, il est n´ecessaire de relˆacher la contrainte d’orthogonalit´e. A l’aide de la m´ethode d´ecrite au chapitre 5, on a calcul´e des solutions biorthogonales (G(z), G′(z)) `a phase lin´eaire en s’approchant le plus possible du cas orthogonal, o`u G(z) pr´esente quasiment le mˆeme gabarit que le filtre orthogonal calcul´e `a partir des mˆemes param`etres. Les r´esultats sont pr´esent´es `a la figure 8.2. On remarque, l`a encore, que le fait de disposer de filtres presque orthogonaux mais `a phase lin´eaire ne produit pas un r´esultat tr`es diff´erent du cas orthogonal correspondant, aussi bien pour la courbe de la figure 8.2 que pour la qualit´e visuelle observ´ee.
La conclusion, qui peut paraˆıtre surprenante pour une application de codage d’images, et qu’il n’est donc a priori pas justifiable, en tout cas vis-`a-vis du crit`ere de distorsion, de pr´ef´erer des filtres biorthogonaux `a phase lin´eaire `a des filtres orthogonaux qui ne sont pas `a phase lin´eaire. Dans toutes nos exp´erimentations, la phase des filtres n’a jou´e quasiment aucun rˆole. On en d´eduit que, si la phase a effectivement un rˆole `a jouer, c’est plutˆot en liaison avec des crit`eres perceptuels.
pour lesquels les m´ethodes de calcul d´evelopp´es au chapitre 5 sont bien maitris´es et fournissent un compromis r´eellement optimal entre r´egularit´e et s´electivit´e en fr´equence. (Arbitrairement, on prendra toujours comme solutions celles dont la phase est la plus proche de la phase lin´eaire.) De plus, en cons´equence de ce qui vient d’ˆetre dit, on peut penser que si la propri´et´e de r´egularit´e a effectivement une influence pour la suite des exp´erimentations, sa mesure ne devrait pas d´ependre de la phase du filtre : autrement dit, le param`etre important serait alors l’ordre de r´egularit´e au sens de Sobolev et non pas au sens de H¨older (cf. chapitre 4).