8.3 Influence de la r´egularit´e/s´electivit´e en fr´equence
8.3.3 Bande de transition variable
On compare ici les performances du codage pour diff´erentes bandes de transition impos´ees sur les filtres. La figure 8.7 montre qu’il se produit une certaine am´elioration lorsque l’on augmente la largeur de bande de transition ∆ω, en supposant qu’il y ait suffisamment de degr´es de libert´e dans le calcul des filtres pour que ce param`etre ait une influence (nous avons vu au chapitre 5 que les filtres de Daubechies, par exemple, ne d´ependent pas de ∆ω). La d´ependance de ∆ω sur les performances est en fait d’autant plus importante que le nombre de degr´e de libert´e, L/2 − K, est grand.
Or, faire croˆıtre ∆ω am´eliore l’att´enuation dans la bande passante, mais provoque ´egalement un hh´ecrasementii plus important de la r´eponse fr´equentielle du filtre passe-bas autour de la fr´equence de Nyquist si K > 0, ce qui fait en g´en´eral croˆıtre l’ordre de r´egularit´e. Il semble donc qu’ici, la propri´et´e utile est l’aptitude de la r´eponse fr´equentielle du filtre passe-bas `a venir s’hh´ecraserii `a cette fr´equence de Nyquist. Une bonne mesure pour quantifier ce ph´enom`ene est pr´ecis´ement la r´egularit´e (au sens de Sobolev).
La s´electivit´e en fr´equence, quant `a elle, demande que la r´eponse fr´equentielle soit att´enu´ee sur toute la bande passante, sans se pr´eoccuper particuli`erement du comportement `a la fr´equence de Nyquist, et demande ´egalement que la bande de transition soit la plus ´etroite possible. La discussion qui pr´ec`ede montre que cette propri´et´e n’est pas particuli`erement utile pour notre ´etude.
8.4
Conclusion
Les r´esultats obtenus soulignent, par des mesures objectives, l’importance de la propri´et´e de r´egularit´e des filtres pour la compression d’images hhpar ondelettesii, en comparaison avec la s´electivit´e en fr´equence et la phase, tout du moins pour des filtres relativement courts (L ≤ 12). Dans nos exp´erimentations, la r´egularit´e joue une rˆole surtout pour des ordres de r´egularit´e ≤ 1, et par cons´equent, il est probablement inutile d’augmenter cet ordre de r´egularit´e et du mˆeme coup, la longueur des filtres.
L’origine de l’importance de la r´egularit´e ´etait auparavant attribu´e `a des consid´erations de type psychovisuel (cf. les a priori sur l’utilit´e de la r´egularit´e pr´esent´es au chapitre 4). Les r´esultats pr´esent´es confirment les observations d´ej`a faites, mais ont ´et´e ´etablis de fa¸con plus rigoureuse, en se basant sur une notion math´ematique et des crit`eres objectifs.
Bien entendu, les r´esultats pr´esent´es ici ne sont valables que sous les hypoth`eses faites sur le calcul de filtres et pour le sch´ema simple de compression d’images fixes utilis´e. Nous n’en sommes encore qu’aux pr´eliminaires, et il est possible d’´etendre l’approche effectu´ee ici pour d’autres types de transform´ees en ondelettes, de quantification et de codage. N´eanmoins, dans le cadre restreint choisi, l’´etude est suffisamment exhaustive pour servir de la valeur de r´ef´erence.
(a)
(b)
Figure 8.7: Influence des largeurs de bandes de transition. L’image cod´ee est BARBARA, les filtres orthogonaux utilis´es ont pour largeur de bande de transition ∆ω = 0.0625, 0.1, et 0.14. (a) Filtres de longueurs L = 8 et K = 2. (b) Filtres de longueurs L = 12 et K = 2. Les courbes s’´el`event globalement au fur et `a mesure que ∆ω croˆıt.
BIBLIOGRAPHIE 117
Bibliographie
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[2] J. D. Johnston, “A filter family designed for use in quadrature mirror filter banks,” in Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, Signal Processing, Apr. 1980, pp. 291–294.
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[4] T. Kronander, Some aspects of perception-based image coding, PhD thesis, Link¨oping University, Sweden, 1989.
Chapitre 9
Conclusion g´en´erale et perspectives
A conclusion is a place where you got tired of thinking. — MATZ’S MAXIM You always have to give up something you want for something you want more. — CHRIS’ COMMENT When there’s a will, there’s a won’t. — GUALTIERI’S LAW OF INERTIA
L
e mot-cl´e de ce m´emoire de th`ese est hhr´egularit´eii. La plupart des ´etudes que nous avons men´ees porte sur ce concept. Ce nouveau crit`ere sur les filtres utilis´es dans un syst`eme de compression par ondelettes/banc des filtres a connu r´ecemment un int´erˆet grandissant. Nous avons reli´e, par une approche th´eorique de la d´ecomposition multi-r´esolution, la th´eorie des bancs de filtres et celle des ondelettes, afin de se convaincre que ce crit`ere consitue a priori l’apport pratique essentiel des ondelettes dans le domaine du codage. La r´egularit´e est pressentie importante, parce que reli´ee `a des probl`emes perceptuels par des arguments heuristiques.Afin d’´etudier de fa¸con la plus objective possible cette notion de r´egularit´e en rapport avec d’autres propri´et´es de filtres, nous avons cherch´e tout d’abord `a la quantifier pr´ecis´ement, en se basant sur des d´efinitions math´ematiques. Nous avons trouv´e des estimations de r´egularit´e optimales et insist´e sur leur application pratique, en proposant un certain nombre de m´ethodes de calcul de filtres r´eguliers, qui permettent d’exploiter des bons compromis entre r´egularit´e et s´electivit´e en fr´equence.
L’´etude s’est orient´ee ensuite vers la r´ealisation pratique d’un sch´ema de codage, o`u l’on a tent´e de mesurer, `a l’aide d’un crit`ere objectif et bien d´efini (distorsion quadratique), l’influence de la r´egularit´e sur le gain de compression. A cette fin, nous avons cherch´e `a effectuer une ´etude aussi exhaustive que possible, en faisant varier chaque propri´et´e des filtres de la transform´ee plus ou moins ind´ependamment les unes des autres. Nous avons ainsi pu montr´e, d’une fa¸con la plus objective possible, l’utilit´e de la r´egularit´e dans certains cas de figure.
Cette ´etude a soulev´e de nombreuses orientations et extensions possibles pour chacun des points ´etudi´es. Elles ont ´et´e regroup´ees `a la fin de chaque chapitre, et l’on ne s’´etendra pas `a nouveau sur celles-ci.
En ce qui concerne l’application du concept de r´egularit´e et d’autres propri´et´es de filtres `a la compression d’images fixes, l’approche effectu´ee dans cette th`ese s’est donn´e un cadre relativement restreint, mais donne les outils de base permettant d’´etendre cette ´etude `a des syst`emes de compression plus g´en´eraux. Par cons´equent, comme perspective, l’utilisation de
transform´ees offrant plus de flexibilit´e d’analyse que la TOD s´eparable nous paraˆıt int´eressante `
a ´etudier par une approche similaire.
On pense en particulier aux d´ecompositions multi-r´esolution li´ee aux bancs de filtres/ ondelettes non-s´eparables, mais aussi aux d´ecompositions en bancs de filtres `a changements d’´echantillonnage rationnels et aux paquets d’ondelettes, qui offrent suffisamment de souplesse pour s’adapter ´eventuellement `a des crit`eres psycho-visuels. Ceux-ci pourraient, grˆace `a la th´eorie des ondelettes, ˆetre reli´es `a des notions math´ematiques du type hhr´egularit´eii.
Partie IV
Appendices
Appendice A
Articles
Nothing ever goes away. — COMMONER’S LAW OF ECOLOGY If it’s imcomprehensible, it’s mathematics. — CERF’S 4TH EXTENSION TO THE HANDY GUIDE TO MODERN SCIENCE