Quelques résultats de simulation

Dans cette partie, nous allons étudier en simulation les deux différentiateurs par modes

glis-sants d’ordre supérieur (ST et DO2). Les critères choisis pour la validation de ces schémas de

différentiation sont les mêmes que ceux définis dans le paragraphe 1.2.3.1. Le signal donné

par la figure 1.1 est considéré comme le signal d’entrée des différentiateurs. Les résultats de

simulations sont réalisés pour une période d’échantillonnageT

_e

égale à10

⁻3

secondes.

1.4.3.1 Essai sans bruit

Le but de ce paragraphe est de quantifier les erreurs par rapport à l’amplitude ainsi que le

dé-phasage des signaux estimés par rapport aux dérivées théoriques. Il est nécessaire de préciser le

choix des valeurs des paramètres à imposer pour chacun des différentiateurs. Un des choix des

paramètres peut être fixé comme suit : ST (λ

₀

= 50, λ

₁

= 30) et DO2 (λ

₀

= 100, λ

₁

= 80,

λ

₂

= 10).

L’évolution des erreurs de chaque algorithme est donnée par les courbes ci-dessous.

L’algo-rithme ST est un différentiateur d’ordre un mais il est possible d’estimer la dérivée seconde

en mettant en cascade deux blocs ST. La figure 1.20(b) illustre le résultat obtenu dans ce cas.

En observant les figures 1.20 et 1.21, nous remarquons que l’erreur la plus faible est donnée

par la première sortie du DO2 (estimée de la dérivée première), ce qui est justifié par

l’équa-tion (1.181). Toutefois, quelques soient les sorties, les deux algorithmes donnent une erreur

relativement faible.

Le tableau 1.6 récapitule les valeurs des erreurs maximalese

_max

et les erreurs absolues

maxi-males e

_amax

relatives à chacune des sorties, erreurs déjà définies dans le paragraphe 1.2.3.1.

Nous pouvons conclure que les sorties des algorithmes modes glissants (ST et DO2) coïncident

très bien avec les dérivées analytiques. Toutefois, lorsque le ST est mis en cascade, l’erreur

|e

_max

| est10fois plus grande que celle donnée pour la deuxième sortie du DO2. Ceci permet

de conclure que l’estimation de la dérivée seconde par la méthode DO2 est plus précise qu’un

ST en cascade. Pour ce dernier, la valeur de |e

_amax

| est de 33%. Cette valeur de l’erreur est

importante, mais ceci est en grande partie dû au fait que la valeur de la dérivée théorique est

faible, l’erreur relative est elle tout à fait acceptable (0.196).

(a) Erreur de l’estimée de la dérivée1`eredu signal (b) Erreur de l’estimée de la dérivée seconde du signal

F

IGURE

1.20 – Evolution des erreurs avec le ST : signal d’entrée sans bruit.

(a) Erreur de l’estimée de la dérivée1^`eredu signal (b) Erreur de l’estimée de la dérivée seconde du signal

F

IGURE

1.21 – Evolution des erreurs avec leDO2: signal d’entrée sans bruit.

Tableau 1.6 – Erreurs d’estimation pour les algorithmes modes glissants.

Algorithme ST ST cascade DO2 : 1

`ere

sortie DO2 : 2

eme`

sortie

|e

max|

0.024 0.196 0.00019 0.016

|e

_amax

|(%) 1.95 33 0.098 7.2

Pour estimer le déphasage engendré par l’estimation de la dérivée pour chaque algorithme, des

courbes de Lissajous sont tracées (voir figures 1.22 et 1.23).

(a) Sortie du ST et1^`eresortie du DO2 (b) Zoom de la courbe

1.4. Différentiateurs via les modes glissants d’ordre supérieur 49

(a) Sortie du ST en cascade et2`emesortie du DO2 (b) Zoom de la coubre

F

IGURE

1.23 – Courbes de Lissajous relative à la deuxième estimée.

A partir de ces courbes, les valeurs du déphasage sont calculées et résumées dans le tableau 1.7.

Le plus grand déphasage est donné par le ST mis en cascade.

Tableau 1.7 – Déphasage engendré par les algorithmes modes glissants.

Algorithme ST ST cascade DO2: 1

`ere

sortie DO2: 2

eme`

sortie

Déphasage (

^◦

) 0.047 0.07 0.045 0.047

Toutefois, les déphasages donnés par les autres sorties sont relativement faibles. Nous pouvons

alors conclure que les algorithmes via les modes glissants n’introduisent quasiment pas de

dé-phasage pour le signal d’entrée considéré.

1.4.3.2 Essai avec bruit

Pour vérifier la robustesse de ce type de différentiateur par rapport au bruit, un deuxième essai

est effectué. Au cours de cet essai, nous utilisons le signal bruité de la figure 1.2 défini dans

le paragraphe 1.2.3.1. Pour ne pas trop amplifier le bruit au niveau du signal de sortie, il est

nécessaire de réduire les valeurs des paramètres par rapport à ceux déjà fixés pour le premier

essai. Dans ce cas, nous imposonsλ

0

= 12,λ

1

= 11pour ST etλ

0

= 8,λ

1

= 7,λ

2

= 4 pour

DO2.

A partir de la figure 1.24, nous pouvons calculer des critères qui permettent de nous donner une

idée quantitative de l’amplification du bruit suite à la différentiation. Ces critères sont résumés

dans le tableau 1.8.

Tableau 1.8 – Critères de comparaison pour la robustesse par rapport au bruit.

Algorithme ST DO2: 1

^ere`

sortie DO2 :2

^`eme

sortie

RSB(dB) 6.64 1.64 0.28

RB 4.05 16.4 94.23

Pour l’estimation de la dérivée première, nous pouvons conclure que ST présente une réduction

de l’amplification du bruit6fois plus grande que le DO2, voir le tableau 1.8. La deuxième sortie

du DO2 présente la valeur de RSB la plus faible. Pour l’estimation de la deuxième dérivée via

le DO2, le signal calculé est alors très dégradé (figure 1.24(c)).

(a) Sortie ST (b) DO2 : première sortie

(c) DO2 : deuxième sortie

F

IGURE

1.24 – Sorties des algorithmes modes glissants pour un signal d’entrée bruité.

Comme pour les dérivateurs algébriques, nous présentons dans le tableau 1.9 le temps de calcul

nécessaire pour chacun de ces algorithmes modes glissants. Ces valeurs ont été déterminées

pourT

_e

= 10

⁻3

secondes et pour un temps de simulation de10secondes.

Tableau 1.9 – Temps de calcul : Algorithmes modes glissants.

Algorithme ST DO2

Temps de calcul (s) 0.086 0.108

A partir du tableau 1.9, nous constatons que le temps de calcul donné par les algorithmes modes

glissants est très faible comparé aux dérivateurs algébriques. Pour l’estimation de la dérivée

pre-mière, nous remarquons que le rapport maximal du temps de calcul donné par les algorithmes

algébriques (DVAA : tableau 1.5) est de83fois plus grand que le ST. En comparant le temps

mis pour l’estimation de la dérivée seconde donnée par le TVAA et celui enregistré pour le

DO2, nous constatons que la valeur de ce rapport est de37.

A la fin de cette partie, nous pouvons conclure que les algorithmes modes glissants sont moins

robustes par rapport au bruit comparé à ceux basés sur l’approche algébrique. Ceci est dû à

l’hypothèse "forte" imposée sur le bruit pour de tels algorithmes. En pratique, il faut mieux

alors utiliser les différentiateurs modes glissants en utilisant un filtre passe bas en amont.

Dans le document Sur les différentiateurs en temps réel : algorithmes et applications (Page 77-80)