Modélisation de la partie statique

La fidélité de la représentation des caractéristiques statiques est sans doute le point le plus

cri-tique du point de vue de la modélisation des modulateurs de puissance. Celle-ci nécessite la

représentation fidèle de plusieurs caractéristiques telles que la caractéristique de gain en

dé-bit, la caractéristique de gain en pression et la caractéristique de débit de fuite

¹

. En effet selon

la configuration du tiroir (tiroir en découvrement ou en recouvrement ou encore en position

centrale

2

), la forme de ces caractéristiques change. Ainsi, une configuration de découvrement

engendre des débits importants, ce qui conduit à une augmentation de la pente du gain en débit

1. voir annexe E pour les 3 caractéristiques

3.3. Modélisation du système 133

au voisinage de la position centrale. Au contraire, une configuration en recouvrement entraîne

la présence d’une zone morte dans la caractéristique de gain en débit. Si ces effets ne sont pas

bien reproduits en simulation, le comportement statique est erroné et les erreurs en simulation

sont rapidement significatives.

Revue de la littérature :

Dans [87], [103], [XuSid10] des modèles non linéaires précis mais complexes, ont été proposés.

Ces modèles font intervenir les éléments géométriques du composant tels que le jeu fonctionnel

du tiroir, la largeur de la fente mais aussi le rayon d’arrondi des arrêtes du tiroir et du fourreau.

Les modèles d’écoulement dépendent également de la configuration des orifices du distributeur

fonction du déplacement du tiroir (pour une ouverture positive, on parle alors de

"découvre-ment", pour une ouverture négative on est en "recouvrement"). Les débits sont calculés à partir

des différentes lois issues de la mécanique des fluides. Toutefois, une étape d’ajustement

para-métrique reste nécessaire afin de reproduire le plus fidèlement possible les caractéristiques.

L’écoulement en configuration de recouvrement est considéré comme laminaire (Poiseuille)

dans [103], ce régime prenant naissance dans le jeu qui existe entre le tiroir et le fourreau. Un

autre modèle, défini dans [87], suppose qu’en position de recouvrement on a un régime

turbu-lent dans la zone d’entrée avant d’observer un régime laminaire au niveau du recouvrement.

Dans [118], l’auteur a proposé un modèle intermédiaire entre les deux classes déjà citées [87]

et [103], permettant de reproduire fidèlement le gain en pression et la caractéristique de débit

de fuite tout en restant utilisable pour la synthèse de commande. En effet, l’auteur considère le

modèle classique d’une restriction en recouvrement, puis celui d’une restriction en

découvre-ment comme dans [87]. Afin d’assurer la continuité de l’expression de débit entre les deux cas

de configuration, l’auteur ajoute alors à l’expression associée dans le cas de découvrement un

terme qui décroît rapidement avec la longueur de recouvrement. Toutefois ce modèle devient

rapidement complexe dans le cas d’un modulateur dissymétrique.

Dans la littérature, on trouve d’autres approches qui se basent sur des modèles empiriques ou

semi-empiriques. Nous pouvons citer les travaux réalisés au sein de notre laboratoire dans le

cadre des distributeurs pneumatiques [122], [12]. En effet, cette approche consiste à obtenir le

modèle des débits sous la forme de courbes construites à partir des données expérimentales. A

partir de ces données, une caractéristique 3D peut être tracée. Cette caractéristique correspond

à la mesure du débit en régime stationnaire en fonction de la tension d’entrée et des pressions.

Cette caractérisation globale peut être approximée afin d’avoir pour les débits des relations

po-lynomiales affines en la commande.

Une deuxième approche semi-empirique est présentée dans [116]. Elle exploite d’une part la

structure des équations théoriques du débit et d’autre part, des mesures expérimentales du gain

en débit, du gain en pression et du débit de fuite pour construire une pseudo-section et une

conductance hydraulique de chaque restriction. Le modèle ainsi construit se base sur

l’hypo-thèse que les mesures de la courbe de gain en pression et du débit de fuite correspondent à un

écoulement laminaire. En revanche, ce type de modèle est trop complexe pour qu’il soit

exploi-table pour la synthèse de contrôleur.

Bien que généralement les modèles d’écoulement utilisés ( [87] et [103]) dépendent de la

confi-guration (découvrement et recouvrement), dans [5] et [XuSid10] a été élaboré un modèle

pa-ramétrique de l’écoulement dans le distributeur basé sur une forme générale du débit dans un

orifice. Ce modèle assure donc la continuité entre le recouvrement et le découvrement des

ori-fices et reste valable quelque soit le type d’écoulement. Toutefois, cette approche utilise encore

différentes grandeurs géométriques et reste difficile à exploiter pour l’élaboration de lois de

commande.

Approche retenue :

Initialement, nous avions choisi de réaliser l’identification d’un modèle statique du

servodis-tributeur dans lequel les caractéristiques en débit aurait été approchées par une fonction

poly-nomiale dépendant de la pression et affine en la commande. Cette approche analogue à celle

développée au laboratoire pour les distributeurs pneumatiques ne peut aboutir qu’avec un

tra-vail important de mesure s’appuyant sur des bancs d’essais spécifiques. Un certain nombre de

ces essais a déjà été effectué chez MOOG et les résultats ont été publiés dans un rapport interne

au laboratoire [Sidhom09b]. Toutefois, des essais supplémentaires doivent être réalisés afin de

pouvoir tracer la caractéristique bidimensionnelle globale.

Pour cela, nous avons choisi de décrire le modèle statique du servodistributeur par les équations

physiques [XuSid10]. Soit l’ouvertureX

_i

de l’orifice i du tiroir donnée par :

X

_i

=X

_i0

+ε

_i

X

_t

(3.26)

avecX

_t

la position du tiroir,X

_i0

l’ouverture de l’orifice i lorsque le tiroir est au centre critique

etε

i

paramètre prenant la valeur1si l’ouverture de l’orifice i augmente avec l’augmentation de

X

_t

, sinon sa valeur est égale à−1.

Lors du déplacement du tiroir, l’ouverture de passage du fluide, de forme annulaire, de largeur

X

_si

et de longueurl

_f

est exprimée par l’équation suivante :

X

_si

=

q

X

2

i

+ (X

₀

+c)

2

−X

₀

(3.27)

oùX

₀

diamètre d’arrondi des arêtes des restrictions etcle jeu radial entre le tiroir et la chemise.

Notons que selon la direction du déplacement du tiroir, le passage du fluide est décrit par deux

modes : un mode de découvrement (ouverture positive : X

_i

> 0) ou un mode de

recouvre-ment (ouverture négative : X

_i

≤ 0). Selon le mode, la surface de passage du fluide prend des

expressions différentes. Ainsi, en cas de découvrement ("dec"), cette surface est donnée par :

S

_dec

=n

_f

l

_f

X

_si

(3.28)

n

_f

est le nombre de fentes etl

_f

est la largeur d’une fente.

En cas de recouvrement, X

_si

devient égale à la valeur du jeu radialcet dans ce cas la surface

est exprimée comme suit :

S

rec

=n

f

l

f

c (3.29)

Pour exprimer l’équation de débit, nous considérons aussi les deux configurations possibles.

Donc lorsque l’orifice est en configuration de découvrement, l’équation qui modélise

l’écoule-ment dans cet orifice, peut être exprimée par, [108] :

Q

_dec

=C

_d

S

_dec

r

2

ρ|∆p|sign(∆p), X

_i

>0 (3.30)

Le coefficient de débit C

_d

, dépend du régime de l’écoulement (laminaire ou turbulent), il est

essentiellement lié à la valeur du nombre de ReynoldsRe. Ce coefficient est décrit par la relation

3.3. Modélisation du système 135

ci-dessous [108] :

C

_d

=

(

δ√

Re, si Re < Re

_t

C

_d∞

, si Re≥Re

_t

^(3.31)

avec δ constante du débit laminaire et Re

_t

le nombre de Reynolds de transition défini par

C_d∞ δ

2

.

En recouvrement, le débit peut être considéré inversement proportionnel à la longueur de

recou-vrementL

_t

et ceci reste valable pour les grands recouvrements. Pour considérer aussi le cas de

faible recouvrement et afin d’assurer la continuité de coefficient de débit entre les deux modes

de fonctionnement (découvrement et recouvrement), l’expression du débit dans ce cas peut être

donnée par [XuSid10] :

Q

_rec

= ⁿ

^f

^l

^f

^c

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