Illustration du régime de convergence et du régime glissant









h

⁻

(x), si x∈σ

−

αh

⁻

(x) + (1−α)h

⁺

(x), α∈[0,1], si x∈φ

h

⁺

(x), si x∈σ

₊

(1.83)

Comme nous l’avons précisé ci-dessus, l’existence de solution dépend de certaines conditions

sur H(x). Notamment, H doit être non vide, bornée, fermée, convexe et semi-continue

supé-rieurement (1.79) et Lipschitzien enx∈_R

n

|M.

1.3.1.6 Phénomène de réticence

Un mode glissant est une trajectoire d’un système dynamique caractérisée par une fréquence de

commutation théoriquement infinie. En pratique, la commutation se fait à très haute fréquence

qui peut être destructive, peut causer des résonances du système, ou encore solliciter des

dyna-miques hautes fréquences non modélisées. Ce phénomène est appelé "chattering" (ou réticence)

(voir figure 1.16), [14], [154], [58], [56].

F

IGURE

1.16 – Illustration du régime de convergence et du régime glissant.

Pour éliminer ce phénomène, plusieurs solutions ont été proposées. Parmi lesquelles celles qui

permettent de remplacer la fonction "_∼iðn(.)" présente au niveau du signal d’entrée par une

1.3. Introduction élémentaire sur les régimes glissants 31

fonction assurant une commutation progressive. Ce type de technique consiste à définir un

do-maine au voisinage de la surface de glissement et à l’intérieur duquel le signal d’entrée

dis-continu est linéarisé. Une technique très utilisée consiste à remplacer la fonction "sign(.)" par

la fonction de saturation, [128]. En effet, cette dernière revient à filtrer les composantes hautes

fréquences dans la région linéaire. D’autres fonctions peuvent aussi être utilisées telles que les

fonctions sigmoïdes. Il est vrai que ces techniques réduisent considérablement le phénomène de

réticence, mais en contrepartie elles présentent certaines limites. Lorsque l’on est proche dans la

"bande morte" de la surface de glissement, les conditions de convergence et donc la robustesse

de la méthode ne sont plus vérifiées.

Afin de remédier à ces difficultés, une méthode consiste à utiliser l’approche des modes

glis-sants d’ordre supérieur. Cette dernière permet de déplacer la commutation au niveau des

déri-vées d’ordre supérieur du signal d’entrée [46].

1.3.2 Régimes glissants d’ordre supérieur

Le principe de cette technique est une généralisation du mode glissant d’ordre un et surtout est

de préserver les mêmes propriétés de robustesse, tout en permettant une convergence plus

pré-cise, une réduction du phénomène de réticence ("chattering") et en s’affranchissant de la

condi-tion sur le degré relatif (par rapport le régime glissant d’ordre un). Nous présentons brièvement

la théorie sur laquelle se base cette technique. Plus de détails sont donnés dans [46], [94], [54].

1.3.2.1 Définitions et notations

Soit le système non linéaire incertain dont la dynamique est donnée par :

˙

x=f(x, t) +g(x, t)u (1.84)

oùx= [x

₁

, ..., x

_n

]

^T

∈_R

n

représente le vecteur d’état du système. Le signal d’entréeu∈_Rest

une fonction discontinue, bornée et dépendante de l’état et du tempst. Les champs de vecteurs

f etgsont considérés comme suffisamment différentiables mais incertains.

Dans le cadre des régimes glissants d’ordre supérieur, le problème posé reste toujours de contraindre

les trajectoires du système à évoluer sur la surface de glissement s(x, t) = s = 0. Cette

der-nière doit être suffisamment différentiable, telles que ses(r−1)premières dérivées par rapport

au temps soient des fonctions uniquement de l’étatx, ce qui veut dire qu’elles ne contiennent

aucune discontinuité. Par conséquent, la discontinuité agit directement sur la dérivée d’ordrer.

Dans le cas où le système est de degré relatif égale àppar rapport à la variable de glissement,

tel quep < r, la discontinuité générant le mode glissant d’ordrerest appliquée suru

(r−p)

. Dans

ces deux cas, la réduction du phénomène de réticence se traduit alors par le fait que le signal

d’entrée est toujours continu.

Définition 1.3. [94] Soit le système différentiel non linéaire (1.84) et soits(x, t)la variété de

glissement associée. L’ensemble de glissement d’ordrerpar rapport às(x, t)est défini par :

S

_r

={x∈_R

ⁿ

:s= ˙s = ¨s =...=s

^(r−1)

= 0}, o`u r ∈_N

^∗

(1.85)

Définition 1.4. [94] Supposons que l’ensemble de glissementS

_r

d’ordrersoit non vide et qu’il

définisse localement un ensemble intégrable au sens de Filippov, alors la dynamique satisfaisant

(1.85) est appelée mode glissant d’ordrerpar rapport à la fonction de glissements.

La convergence d’un algorithme d’ordre r s’obtient par une convergence en temps fini sur la

surface en forçant les trajectoires du système a être confinées au bout d’un temps fini dans

l’ensemble de glissementS

r

.

Définition 1.5. [94] On dit que la génération d’un mode glissant d’ordre r est idéal par

rapport àS

_r

, si la solution générée au sens de Filippov surS

_r

est donnée par :

s= ˙s= ¨s =...=s

^(r−1)

= 0 (1.86)

Définition 1.6. [94], [56] Soit γ() une fonction réelle telle que γ() tend vers 0si tend

vers0. Un algorithme à régime glissant réel surs = 0est dit d’ordrerpar rapport àγ(), si

pour tout ensemble compact des conditions initiales et pour tout intervalle[T

₁

, T

₂

], il existe une

constanteC >0, telle que l’état en régime permanent satisfait :

s(t, x(t, ))≤C|γ()|

r

, ∀t∈[T

₁

, T

₂

] (1.87)

Comme le régime glissant classique, un régime glissant qualifié idéal (voir définition 1.5) est

impossible à atteindre en pratique. De ce fait, le régime glissant ne prend place que dans un

voisinage de la surface de commutation. Ce comportement peut alors être qualifié de régime

glissant réel (voir définition 1.6).

Il en résulte qu’un algorithme de mode glissant d’ordrerpermettra, si la méthode d’intégration

est à pas variable majoré parτ, d’obtenir la précision de convergence suivante, [54] :

|s|= Θ(τ

^r

), |s˙|= Θ(τ

^(r−1)

), ...,|s

^(r−1)

|= Θ(τ) (1.88)

L’équation précédente indique que la précision de convergence d’un régime glissant d’ordre un

est de l’ordre deτ, alors qu’elle est de l’ordre deτ

^r

pour un régime glissant d’ordrer. Donc il

ne suffit pas de maintenir uniquement la fonction de glissement à zéro pour obtenir une bonne

précision de convergence mais également ses dérivées successives.

Afin de mieux illustrer les propriétés du régime glissant d’ordre supérieur, considérons le

pro-blème à l’ordre deux.

1.3.2.2 Mode glissant d’ordre deux

Dans toute la suite, nous considérons le système (1.84) donné dans le paragraphe 1.3.2.1.

L’ob-jectif est d’établir un régime glissant d’ordre deux par rapport às, en imposant aux trajectoires

d’état du système à évoluer au bout d’un temps fini sur l’ensemble S

2

et à ne plus le quitter

ensuite :

S

₂

={x:s = ˙s= 0} (1.89)

On définit donc un bouclage agissant sur la dérivée seconde de la fonction de glissement, qui

peut s’écrire sous la forme suivante sous condition que le système est de degré relatif un par

rapport à la fonctions:

¨

s=L

_u

L

_u

(s) + ^∂s˙

∂u^{u˙ (1.90)}

oùL

_u

est un opérateur définit par, [94] :L

_u

s(t, x) =

^∂s_∂t

(t, x) +

_∂x^∂s

(t, x) ˙x. Dans ce cas,u˙

repré-sente alors la nouvelle entrée du système.

Supposons qu’il existe des constantes positives C

₀

, K

_m

, K

_M

ets

₀

telle que si|s(x, t)| < s

₀

,

nous pouvons obtenir alors le système suivant [94] :

(

0≤K

m

≤ |

∂s˙

∂u

| ≤K

M

|L

u

L

u

(s)|< C

0

(1.91)

La première inégalité du système précédant est nécessaire puisque le terme

_∂u^∂s˙

ne doit pas

s’an-nuler afin d’assurer l’existence de l’entrée équivalente en régime glissant.

1.4. Différentiateurs via les modes glissants d’ordre supérieur 33

Soit l’ensembleE

_l

={t, x:|s(x, t)|< s

₀

}appelé région de linéarité, [94].

Les hypothèses énoncées ci-dessus impliquent que la dérivée seconde de la fonction de

com-mutationsest uniformément bornée dans un certain domaine (E

_l

) pour l’entrée considérée, [8].

En respectant les conditions déjà définies, nous pouvons écrire dans un cadre général :

¨

s=ϕ(t, x) +ψ(t, x)W (1.92)

Oùϕ(t, x)etψ(t, x)sont des fonctions bornées. Ce qui nous ramène à écrire que toute solution

relative à l’équation (1.92) satisfait l’inclusion différentielle suivante, [94] :

¨

s∈[−C

₀

, C

₀

] + [K

_m

, K

_M

]W (1.93)

Pour un mode glissant d’ordre deux, l’entrée du systèmeW dépend du degré relatif du système

et par conséquent pour un degré relatif égal à deux (respectivement à un) par rapport à la

fonc-tion de glissement s, le signal W est égal à u (respectivementu˙). Pour un degré relatif égal à

un, il faut donc ajouter un intégrateur à la commande réelleu.

Dans ce qui précède, ces rappels sur les principes des régimes glissants ont été exposés dans le

cadre général. Toutefois, cette technique a aussi été utilisée pour la construction des algorithmes

de différentiation, point que nous abordons dans la suite.

1.4 Différentiateurs via les modes glissants d’ordre supérieur

Dans cette partie, nous nous intéressons à l’étude de certains différentiateurs basés sur la

tech-nique des modes glissants d’ordre supérieurs [94], [93], [89]. Nous considérons les cas des

différentiateurs d’ordre un et d’ordre deux. Le principe de chaque algorithme sera introduit

avant de présenter un exemple illustratif ainsi que les caractéristiques fréquentielles de chacun

de ces algorithmes. Une description des problèmes de mise en oeuvre sera le but du dernier

paragraphe de cette partie.

1.4.1 Différentiateur d’ordre un : algorithme du Super Twisting

Basé sur le régime glissant d’ordre deux, l’algorithme de Super Twisting (ST) a été développé

pour des systèmes de degré relatif égal à1par rapport à la surface de glissement. Cet algorithme

a été appliqué au début pour des objectifs de commande, [93]. Toutefois, son utilisation en tant

que dérivateur est envisageable sous certaines hypothèses.

1.4.1.1 Présentation du principe de Super Twisting

Soit le signalf(t)une fonction bornée définie de_R

+

7→_Rmesurable au sens de Lebesgue.

Considéronsf(t)comme étant la somme de deux termes :

f(t) =f

0

(t) +η(t) (1.94)

où f

₀

(t) est le signal utile dont la dérivée seconde est bornée par une constante de Lipschitz

C > 0supposée connue. η(t)est un bruit dont on connaît uniquement une borne supérieure

telle que|η(t)|< , avec <<1.

L’utilisation du Super Twisting pour des applications de différentiation nécessite d’une part un

choix adéquat de la surface de glissement et d’autre part la prise en considération de certaines

hypothèses sur le signal d’entrée et le bruit, comme indiqué ci-dessus.

Soit l’équation auxiliaire suivante :

˙

z

₀

=v

₀

(1.95)

Considérons l’erreur entre l’étatz

₀

et le signal d’entrée du différentiateurf(t)comme étant la

surface de glissements=z

₀

−f(t).

L’implémentation de ce schéma de dérivation est simple puisqu’il ne dépend que des deux

équa-tions données (1.95),(1.96) et ne requiert l’information que pour la surface de glissement s et

non pas de sa dérivée.

Grâce à la discontinuité dev

₀

, un mode glissant d’ordre deux est généré, où théoriquement nous

obtenonss= ˙s = 0.

(

v

₀

=z

₁

−λ

₀

|s|

¹2

sign(s)

˙

z

₁

=−λ

₁

sign(s) ^(1.96)

z

₀

etz

₁

représentent les différents états de l’algorithme etv

₀

est sa sortie.λ

₀

etλ

₁

sont des gains

positifs assurant la convergence en temps fini de l’algorithme sous des conditions suffisantes

données dans [93] :

(

λ

1

> C

λ

²₀

≥4C

^λ1+C λ1−C

(1.97)

Un schéma de principe de cet algorithme est donné dans la figure 1.17

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