Une requête sur les premiers nombres 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870 de classes de π-équivalence obtenus pour π ∈ {a, ¯a, b, ¯b} donne deux séquences A000984 et A071976, qui diffèrent à partir de n = 9. Or, le temps de calcul du nombre de classes d’équivalence pour la taille 9 pour ces motifs devient déraisonnable. Cette limitation n’a cependant pas été un obstacle pour établir les résultats de la partie 7.3 par le raisonnement. Nous avons ensuite constaté que la fonction génératrice du nombre de classes d’équivalence pour ces motifs correspond à la séquence A000984.
Une requête sur les premiers nombres 1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610 de classes de π- équivalence obtenus pour π ∈ {¯aa, ¯bb} donne 2 séquences : A001519 et A011783. Or la deuxième se nomme "Duplicate of A001519". Il n’y a donc aucune ambigüité pour identifier la bonne séquence A001519.
Une requête sur les premiers nombres 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597 de classes de π- équivalence obtenus pour π ∈ {a¯a, b¯b} donne la seule séquence A122367, qui est un décalage vers la droite de 1 de la séquence A001519 comptant le nombre de classes de π-équivalence pour π ∈ {¯aa, ¯bb}.
Une requête sur les premiers nombres 1, 1, 2, 5, 12, 31, 81, 216, 583 de classes de π- équivalence obtenus pour π ∈ {aa, ¯a¯a, bb, ¯b¯b} ne donne pas une séquence répertoriée mais uniquement les termes de rang pair de la séquence A191385. La séquence A191384 ap- paraît également, mais c’est une séquence bidimensionnelle T pour laquelle il est précisé que T (n, 0) = A191385(n).
Une requête sur les premiers nombres 1, 1, 2, 4, 9, 20, 47, 109, 262 de classes de π- équivalence obtenus pour π ∈ {ab, ba, ¯a¯b, ¯b¯a} donne la seule séquence A138164.
La même procédure a été utilisée pour mettre en évidence les premiers nombres de classes d’équivalences des mélanges appartenant à S, en utilisant le générateur sé- quentiel de mélanges présenté dans la partie 6.5 du chapitre 6. Les positions des oc- currences du motif π sont alors stockées dans un tableau stat de longueur 6 952 660, qui est le nombre de mélanges de taille 8 (= A000108(8) × A000108(9)). Nous avons alors pu constater que ces nombres étaient identiques à ceux des mélanges appartenant à NCS. Ce résultat expérimental a entraîné la conjecture du théorème 3. Ce théorème permet d’établir les raisonnements exposés dans les parties suivantes sur des mélanges de S, qui sont des objets plus simples que les mélanges de NCS, et donc de simplifier sub- stantiellement les preuves des théorèmes 5, 6, 7 et 8. Le travail décrit dans les parties suivantes aurait été beaucoup plus difficile sans cette phase expérimentale cruciale.
7.2 R
ÉSULTATS PRÉLIMINAIRESDans cette partie nous prouvons que, pour certains motifs π, le nombre de classes de π-équivalence dans S et NCS sont les mêmes.
Lemme2. Si w = α¯aβγ est un mot de Dyck de D
atel que βγ appartient à {a, ¯a}∗, alors le
mot w′= αβ¯aγ appartient également àDa.
Démonstration. Le mot de Dyck w′ est obtenu à partir de w par un décalage sur la droite
de la lettre ¯a. Le nombre de a et le nombre de ¯a restent donc constants dans w′. De plus,
propriété est également satisfaite dans w′. La caractérisation d’un mot de Dyck donnée
dans la proposition 2 du chapitre 6 permet de conclure que w′ est dans D
a.
Lemme3. Si w = αaβ¯aγ est un mot de Dyck de D
atel que β = β1β2. . . βkappartient à Da,
alors, pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ k, le mot w′ = αaβ1. . . βi
−1¯aβi. . . βkγ appartient également
à Da.
Démonstration. Comme w appartient à Da, (i) le nombre de a et le nombre de ¯a sont
égaux dans w, et (ii) le nombre de a est supérieur ou égal au nombre de ¯a dans tout préfixe. Comme β appartient à Da, le nombre de a de tout préfixe de αaβ1. . . βi−1 est
strictement supérieur au nombre de ¯a. Cela signifie que αaβ1. . . βi−1¯asatisfait la condition
(ii). Ainsi, w′satisfait (ii) ce qui implique que w′appartient à D
a.
Il est évident que ces deux lemmes restent vrais si nous remplaçons la lettre a par b. Nous les utiliserons donc indifféremment pour a ou b.
Théorème3. Soit s un mélange de S et π un motif de longueur au plus deux n’apparte-
nant pas à {a¯b, ¯ab, ¯ba, b¯a}. Il existe un mélange s′de NCS ayant la même longueur que s
tel que s et s′ sont π-équivalents.
La preuve de ce théorème s’obtient en exhibant une transformation permettant d’obtenir un mot s′ ne contenant pas de motif croisé à partir d’un mot s contenant au moins un
motif croisé ba¯b¯a. Une transformation possible est l’échange des lettres ¯a et ¯b dans les occurrences du motif croisé dans le mot, qui le fait disparaître du mot s. Par exemple, le mot s = bba¯aaa¯b¯a¯b¯a (dont le motif croisé apparaît en gras) donne le mot s′ = bba¯aaa¯a¯a¯b¯b
qui ne comporte plus de motif croisé après l’échange ¯a ↔ ¯b.
Cette transformation ne peut cependant pas s’appliquer si π contient ¯a ou ¯b, puisque les occurrences de π dans s ne seraient pas conservées dans s′. Dans ce cas, une autre
transformation possible serait de changer toutes les lettres de s (sauf celles constituant les occurrences du motif π) de manière à ce que la restriction de s′ à ces lettres soit un
mot de Dyck de la forme bℓ¯bℓpour un certain entier naturel ℓ. Ainsi, si le motif est π = a¯a et
le mot est par exemple s = ba¯aaba¯a¯b¯b¯a (dont le motif croisé apparaît en gras), on obtient par cette transformation le mot s′ = ba¯abba¯a¯b¯b¯b (qui ne contient plus le motif croisé) tel
que wb(s′) = bbb¯b¯b¯b.
Le même principe est utilisé si le motif est π = ¯aa, mais en remplaçant cette fois-ci toutes les lettres de s (sauf celles constituant les occurrences du motif π) par a ou ¯a (car π commence par ¯a). Par exemple, si le mot est s = ba¯aaa¯aa¯b¯a¯a (dont le motif croisé apparaît en gras), on obtient le mot s′ = aa¯aaa¯aa¯a¯a¯a, qui ne contient plus le motif croisé et dont
la restriction aux lettres ne composant pas le motif π est égale à aaa¯a¯a¯a. A partir de ces considérations, nous pouvons maintenant énoncer la preuve complète de ce théorème. Démonstration. Soit s un mélange de S n’appartenant pas à NCS, c.a.d. contenant une paire de matchings croisés. Le mot s peut alors s’écrire s = αbβaγ¯bδ¯aη avec α, β, γ, δ et η appartenant à {a, ¯a, b, ¯b}∗, le motif croisé ba¯b¯a se trouvant le plus à gauche possible dans
s.
Nous distinguons ici trois cas : (i) π ∈ {a, aa, ab, ba} ; (ii) π = a¯a ; et (iii) π = ¯aa. Les autres cas sont facilement obtenus par des symétries classiques sur les mélanges (a ↔ b et miroir).
7.3. EQUIVALENCE MODULO π ∈ {A, B, ¯A, ¯B} 109