que le nombre de cartes générales étiquetées générées correspond à la formule gm(d) = (d− 1)!A140456(d)
et que le nombre de cartes ordinaires étiquetées générées correspond à la formule om(2e) = (2e− 1)!A000698(e + 1).
Le cas des cartes locales à e arêtes est différent, car les brins 2i et 2i + 1 (pour 0 ≤ i < e) y constituent chaque arête. Il existe deux manières de placer les étiquettes des deux brins sur chaque arête (sauf sur l’arête comportant la racine 2e − 1), et il existe (e− 1)! isomorphismes enracinés renommant chaque arête (l’arête comportant la racine
6 7 8 9 10 11 12 100 101 102 103 104 105 106 Nombre de brins d Durée (ms .) hm(d) gm(d) om(d) lm(d)
étant fixée). Ainsi, le nombre de cartes locales à e arêtes est égal au nombre de cartes ordinaires non étiquetées à e arêtes multiplié par 2e−1(e− 1)!, d’où la formule
lm(2e) = 2e−1(e− 1)!A000698(e + 1).
La figure 5.3 représente graphiquement les durées de génération pour chaque famille d’(hyper)cartes, en fonction du nombre de brins, sur une échelle logarithmique en ordon- née. Pour les cartes dont le nombre de brins est inférieur à 6, cette durée est infime et n’est pas représentée. Le nombre élevé de cartes et d’hypercartes générées permet de renforcer la confiance dans la correction de nos générateurs. Nous visualisons ici l’un des intérêts des cartes locales qui sont moins nombreuses que les cartes ordinaires et peuvent ainsi être générées dans un temps raisonnable jusqu’à 6 arêtes, au lieu de 5 pour les cartes ordinaires.
5.8 S
YNTHÈSE ET PERSPECTIVESDans ce chapitre, nous avons présenté un générateur efficace original d’involutions sans point fixe, nous avons défini la notion de carte locale, et nous avons implémenté différents générateurs séquentiels de cartes et hypercartes étiquetées.
Une perspective possible serait de mener une étude de complexité algorithmique du gé- nérateur séquentielEFFI.
Une génération exhaustive des cartes non étiquetées, par filtrage parmi les cartes étique- tées, est possible, mais est plus coûteuse algorithmiquement. Une carte non étiquetée est une classe d’équivalence de cartes étiquetées. Pour définir le filtrage, on doit dis- tinguer un représentant unique dans chaque classe d’équivalence, en considérant par exemple la liste des brins obtenus lors d’un parcours en largeur d’abord ou en profon- deur d’abord. Cette option n’a pas été menée à son terme, car nous disposons d’autres moyens, plus efficaces, d’obtenir des (hyper)cartes non étiquetées, présentés dans les chapitres 6, 9 et 10.
Conformément aux objectifs fixés au départ, nous abordons maintenant l’étude des cartes non étiquetées, mais d’abord par un moyen détourné. En effet, au lieu de consi- dérer ces cartes à travers leur définition mathématique, nous utilisons une autre manière de les représenter, par des mots. Cette approche est détaillée dans le chapitre 6.
6
CODAGE DES CARTES PLANAIRES
ENRACINÉES PAR DES MOTS
Les générateurs séquentiels de cartes présentés dans le chapitre 5 sont fondés sur des permutations, et énumèrent des cartes étiquetées. Pour l’étude des propriétés des cartes, il suffit souvent d’ignorer leurs étiquettes, c’est-à-dire de considérer leurs classes d’équi- valence modulo renommage de leurs étiquettes, appelées cartes enracinées (définition 10 du chapitre 2). Ce sont des cartes non étiquetées. Ce chapitre est le premier consacré à l’énumération des cartes enracinées.
Ce chapitre présente des codages de cartes enracinées par des mots. Nous considérons plus particulièrement ici les cartes planaires enracinées à n arêtes, représentées par des mots à 2n lettres, issues d’un alphabet à 4 lettres. Ce codage est un cas particulier d’un codage des cartes enracinées de tout genre qui sort du cadre de ce mémoire. Ce chapitre présente les mots codant les cartes planaires enracinées, ainsi qu’un générateur séquentiel de ces mots. Ce générateur servira notamment dans une étude combinatoire de motifs apparaissant dans ces mots, présentée dans le chapitre 7.
Après un rappel historique sur la représentation des cartes par des mots dans la par- tie 6.1, la partie 6.2 définit les différentes familles de mots étudiées dans ce chapitre. Ces définitions sont fondées sur la notion de mot de Dyck. La partie 6.3 présente une for- malisation des mots de Dyck utile pour concevoir un générateur séquentiel de tableaux représentant ces mots détaillé dans la partie 6.4. Ce dernier sert de base pour implémen- ter un générateur séquentiel de couples de tels tableaux, puis des mots codant les cartes planaires enracinées, présentés respectivement dans les parties 6.5 et 6.6. La partie 6.7 donne des statistiques de validation par test de ces générateurs.Enfin, la partie 6.8 établit une synthèse de ce chapitre et donne les perspectives de cette étude.
Les fichiers sources des générateurs présentés dans ce chapitre sont disponibles dans les répertoires generation/height/ et generation/ncs/ de la bibliothèque enum.
6.1 H
ISTORIQUEDes liens entre cartes et mots sont connus depuis la fin des années 60. Nous présentons dans cette partie un bref historique de travaux sur deux familles combinatoires liées aux cartes.
En 1967 R. C. Mullin définit les cartes planaires enracinées avec arbre couvrant distingué, 83
appelées cartes arborées enracinées(tree-rooted maps) [Mullin, 1967]. Il montre que le nombre de cartes arborées enracinées de taille n est CnCn+1, où
Cn= 1 n + 1 2n n ! = (2n)! n!(n + 1)!
désigne le n-ième nombre de Catalan, donné par la séquence A000108 de l’OEIS [The OEIS Foundation Inc., 2010]. Les nombres de Catalan apparaissent dans de multiples domaines de la combinatoire. Ils comptent notamment les arbres binaires et les mots de Dyck de taille n. Cette découverte suggérait donc qu’il pouvait exister des bijections structurelles entre cartes arborées enracinées et certains arbres ou mots. Une bijection entre cartes arborées enracinées et mélanges de mots de Dyck est exposée par A. B. Lehman et T. Walsh dans [Walsh, 1971, Walsh et al., 1972b]. En 1986, R. Cori, S. Dulucq et G. Viennot présentent une bijection entre mélanges de mots de Dyck et certains couples d’arbres [Cori et al., 1986], définie par récurrence sur la longueur du mélange. En 2007, O. Bernardi complète ces résultats avec une bijection directe et non récursive entre cartes arborées enracinées et couples composés d’un arbre et d’une par- tition non croisée (non-crossing partition) [Bernardi, 2007]. Il montre de plus que cette bijection peut se ramener à celle de [Cori et al., 1986] via un codage des cartes arborées enracinées par des mélanges de mots de Dyck.
Dans [Walsh, 1971, Walsh et al., 1972b], A. B. Lehman et T. Walsh abordent également une autre famille combinatoire. Ils exhibent une bijection, cette fois-ci entre cartes pla- naires enracinées et mélanges de mots de Dyck excluant un certain motif. Plus récem- ment, A. Giorgetti et V. Senni [Giorgetti et al., 2012] ont introduit des méthodes formelles pour valider des algorithmes générant ces mots.
6.2 M
OTS CODANT LES CARTES PLANAIRES ENRACINÉESLes mots constitués de parenthèses bien emboîtées, appelésmots de Dyck, sont présen- tés dans la partie 6.2.1. Nous définissons ensuite la notion de mélange de mots de Dyck dans la partie 6.2.2. Ils servent de base pour construire des mots codant les cartes pla- naires enracinées, présentés dans la partie 6.2.3. La bijection avec les cartes planaires enracinées est expliquée dans la partie 6.2.4.
6.2.1 MOTS DE DYCK
Définition 20 : Mot de Dyck
Un mot de Dyck sur l’alphabet {a, ¯a} est un mot généré par la grammaire S →
ε| aS ¯aS où ε est le mot vide.
Soit Dal’ensemble de tous les mots de Dyck sur l’alphabet {a, ¯a}. Tout mot de Dyck non
vide w ∈ Dapossède une unique décomposition de la forme w = aα¯aβ, où α et β sont deux
mots de Dyck appartenant à Da [Deutsch, 1999]. Un mot de Dyck comporte un nombre