Résultats

Les simulations numériques sont réalisées dans le but d’obtenir le champ de perturbation s. L’intégration de s sur Σ permet ensuite de construire la réactivité effective keff de la paroi effective. Dans les résultats présentés, la surface a une réactivité kf pour x < 0.5 l et km pour x > 0.5 l. Dans l’ensemble de l’étude

présentée ici, nous fixons la fraction de surface ayant la réactivité kf à la valeur

φf = 0.5.

Champs de la variable s

La variable de fermeture s est la différence entre le champ détaillé c et le champ moyen C normé par cette moyenne. Lorsque s est positif, le champ de concentration est localement supérieur à sa moyenne :

s > 0 ⇒ c > C (3.74)

La variable s représente une perturbation de c, |s| est donc maximal sur Σ. Dans les cas où le nombre de Péclet est nul, le champ de s est symétrique par rapport au point médian x = 0.5, s = 0. Le profil de s sur Σ est donné en figure 3.5 pour différents Da. Les comportements asymptotiques sont les suivants :

– Da → 0 donne une perturbation nulle s(x) = 0 ;

– Da → ∞ amène à une fonction créneau sur Σ dont l’amplitude croit avec eK. La variation du champ de s sur le domaine fluide est donnée par la figure 3.6. On y représente les iso-contours, |s| = 10−3, 10−2, 10−1en fonction du nombre de Damköh- ler pour P e = 100, Rex = 100 fixes. On observe alors que lorsqu’on augmente le

nombre de Damköhler , la perturbation augmente en intensité (iso-contours plus haut) mais ne change pas significativement de profil. Sur la figure 3.7, on se propose de faire varier le nombre de Péclet avec Da = 1, Re = 10. On observe alors que, lorsque le nombre de Péclet augmente, les contours sont de plus en plus plaqués à

la parois. Enfin, à Péclet et Damköhler fixés lorsqu’on fait varier le nombre de Rey- nolds comme représenté figure 3.8, on augmente l’intensité des perturbations dans le domaine fluide mais les contours proches de la paroi restent inchangés.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x/l Da = 1E − 1 Da = 1E + 0 Da = 1E + 1 Da = 1E + 2 Da = 1E + 3

Fig. 3.5 – Profil de la variable s sur Σ avec P e = 0 et φf, eK = 3

Fig. 3.6 – Iso-contours |s| = 10−3, 10−2, 10−1 pour Da = 0.1, 1, 10, 1000 avec P e = 100, Rex = 100 et φf = 0.5, eK = 3.

Nous avons obtenu la variable de fermeture s sur Ω. Il est, à ce stade, difficile de prévoir l’effet des différents paramètres sur la réactivité effective. Pour cela, il faut calculer keff par intégration sur Σ à partir de l’équation 3.67.

Effets des paramètres du modèle sur la réactivité keff

Les champs de la variable s ont été présentés en fonction des nombres, de Rey- nolds, Damköhler et Péclet. Pour un fluide donné, le rapport P e/Re égal au nombre de Schmidt varie peu en fonction de la pression et de la température. On définit ici le nombre de Schmidt local Sc = P e/Rex. Nous recherchons tout d’abord l’influence

3.1 Surface lisse

Fig. 3.7 – Iso-contours |s| = 10−3, 10−2, 10−1 pour P e = 0.1, 10, 100, 1000 avec Da = 1, Rex = 100 et φf = 0.5, eK = 3.

Fig. 3.8 – Iso-contours |s| = 10−3, 10−2, 10−1 pour Rex = 0.01, 1, 10, 104 avec P e =

100, Da = 1 et φf = 0.5, eK = 3.

obtenues sont présentées figure 3.9.

Lorsque le nombre de Damköhler est faible, la perturbation s tend vers zéro. On retrouve, comme attendu pour une perturbation nulle, que la réactivité effective est égale à la moyenne hki et cela quelle que soit la valeur du nombre de Péclet. Lorsque le régime est diffusif, Da  1, la réactivité effective keff tend vers une autre valeur limite, qui est elle aussi indépendante de Rex. Nous notons que cette limite n’appa-

raît pas dans Wood et al. (2000). Cette remarque et la valeur de cette limite seront rediscutées par la suite.

Pour mieux observer l’impact du nombre de Reynolds, les variations de keff sont cette fois représentées en fonction de Rexpour différents nombres de Damköhler et de

Schmidt sur la figure 3.10. Nous obtenons comme Juhasz and Deen (1991) un impact relativement faible du Rexjusqu’à Rex = 100. On observe ensuite une augmentation

de la réactivité effective avec le nombre de Rex. En effet, lorsque Rex augmente à Sc

fixé, la vitesse proche de la paroi augmente et uniformise la concentration au-dessus des différentes phases. Il en résulte une baisse de la limitation par la diffusion. On note cependant que, pour que cet effet se produise, il faut que hDa = O(1)i. Ainsi, si le nombre de Damköhler est petit devant l’unité, la concentration est uniforme dans toute la phase fluide. Le champ de vitesse ne joue alors aucun rôle sur la concentration à la paroi. De même, quand le nombre de Damköhler est grand devant l’unité, la concentration pariétale est nulle indépendamment du nombre de Péclet.

Fig. 3.9 – Effets des nombres de Damköhler et Reynolds sur la réactivité effective pour eK = 3, Sc = 1 et φf = 0.5.

On observe de plus que, tout étant égal par ailleurs, plus le nombre de Schmidt est élevé plus la réactivité effective est grande. Ceci s’explique par le fait que, à Da et Rex donnés, plus le nombre de Schmidt est élevé plus le nombre de Péclet est grand.

Ainsi lorsque Sc augmente, l’impact de l’écoulement augmente. Or, la réactivité croît avec Rex, une augmentation de Sc vient alors renforcer cet effet.

Fig. 3.10 – Effets des nombres de Reynolds et de Schmidt sur la réactivité effective pour eK = 3 et φf = 0.5.

L’effet du contraste eK sur la réactivité keff est donné par la figure 3.11. Nous obtenons, comme attendu, que plus la réactivité est contrastée plus la réactivité effective est faible.

3.1 Surface lisse

Fig. 3.11 – Effet du contraste de réactivité eK sur la réactivité keff en fonction du nombre hDai pour Sc = 1, Rex = 100 et φf = 0.5.