3.2 Surface rugueuse
3.2.2 Réactivité effective
On recherche la réactivité de la paroi Σeff qui placée en y = δ consomme le même flux moyen que Σ. Pour cela, l’étude se focalise sur le domaine élémentaire Ωi. La
base et la proéminence de la paroi ont des réactivités différentes. Comme nous l’avons mentionné, la méthode de prise de moyenne utilisée lors de l’étude du cas lisse ne peut être étendue telle quelle au cas rugueux. On procède alors ici par simulation numérique directe pour le problème local d’écoulement comme de concentration.
Procédure de calcul
Dans Ωi, on considère le problème d’écoulement relatif à u que nous avons déjà
utilisé auquel s’ajoute une condition de périodicité : (u· ∇)u− ν∇2u+ ρ−1
g ∇p = 0 sur Ωi (3.103)
∇ ·u = 0 sur Ωi (3.104)
u(x = x0) = u(x = x0+ l) sur Σl (3.105)
u = 0 sur Σi (3.106)
Il faut alors coupler le sous-domaine Ωi avec le domaine Ω. Le couplage peut être
fait en imposant le flux ou la vitesse sur Σ0,i. Comme dans le cas lisse, on considère
une cellule suffisamment loin de l’entrée de la couche limite pour qu’on ait u.ey = 0
sur Σ0,i. La condition limite est alors de la forme u = Uex ou µ∂yux = τ . Nous
choisissons d’utiliser une condition sur le cisaillement. Cette condition fournit une meilleure formulation du problème puisqu’on a alors une condition sur la vitesse en
3.2 Surface rugueuse
Σ et une sur sa dérivée en Σi,0. On impose donc :
µ∂ux
∂y = τh sur Σ0,i (3.107)
La vitesse caractéristique du problème est alors Uµ = lτµh. Le nombre de Reynolds
local est ainsi : Reµ = Uνµl = τhl
2
ρg .
Nous avons donc notre problème pour la vitesse ; passons à celui de la concen- tration. Celui-ci est identique à celui résolu dans le cas lisse. Le problème pour la concentration est alors :
∇ · (uc − D∇c) = 0 sur Ωi (3.108)
c(x = x0) = c(x = x0+ l) sur Σl (3.109)
D∇c.n = −kc sur Σi (3.110)
c = C0 sur Σ0,i (3.111)
Ces deux problèmes sont simulés numériquement successivement. On obtient alors le flux J consommé par la paroi.
Nous avons choisi, comme dans le cas lisse de nous placer suffisamment loin de l’entrée de la couche limite pour pouvoir considérer que la vitesse moyenne est portée par ex. La paroi effective est lisse et uniforme. Le flux convectif radial uyC est alors
nul. On a donc la solution donnée par le cas purement diffusif : keff = hJi /C0
1 − hJ i /JD
(3.112) avec JD = DCh−δ0. La hauteur δ = − ¯χ étant obtenue par la résolution du problème sur
χ présenté plus haut. La surface effective relative à l’hémiellipse que nous étudions est ainsi à une hauteur δ = 0.8 lµ de la base de la rugosité.
Réactivité effective
Les simulations sont réalisées sous Comsol. Nous recherchons l’effet de l’écoule- ment sur la réactivité de la paroi rugueuse. Soit km la réactivité de la base et kf
celle de la rugosité portée par Σ.
Nous devons maintenant choisir les paramètres numériques de notre simulation. Il faut alors se rappeler les hypothèses d’échelle de cette étude. Tout d’abord, on a supposé que les rugosités était petites devant l’échelle globale de l’écoulement. On a donc :
lµ
L 1 (3.113)
On a par ailleurs supposé que l’échelle de la couche limite était grande devant celle des rugosités. On a donc :
lµ
L 1 √
On a par exemple le rapport : lµ L = 1 10 1 √ Re (3.115)
Or, entre la vitesse U dans la veine et la vitesse locale Uµ, on a :
Uµ
U ≈ lµ
L (3.116)
Le nombre de Reynolds local est donc : Reµ = Uµlµ ν ≈ Re lµ L 2 (3.117) En utilisant l’équation 3.115, on obtient alors :
Reµ= Re 1 10 1 √ Re 2 = 1 100 (3.118)
Les nombres de Reynolds qui permettent de respecter au sens strict les hypothèses de notre modèle sont donc très faibles. Le nombre de Schmidt étant de l’ordre de l’unité, on obtient alors des nombres de Péclet P e = Re.Sc très faibles. Le modèle pris au sens strict permet donc d’aborder uniquement des cas où les transports de masse à l’échelle des rugosité sont largement dominés par la diffusion. Nous sommes cependant intéressés par des cas où le nombre de Reynolds est de l’ordre de 200. Il est possible de calculer le problème local avec un tel nombre de Reynolds mais, dans ce cas, la cellule élémentaire n’est plus un sous-domaine dans une couche limite laminaire.
Nous faisons alors des simulations dans la cellule locale en fixant les contraste eK = 6 et en variant les nombres Reµ,Da et Sc. Le nombre de Schmidt permet de fixer les
caractéristiques du fluide. On construit alors les graphes donnés figure 3.17 pour deux fluides différents, un premier avec Sc = 2 et un second avec Sc = 0.5. Dans le premier fluide, la diffusion de quantité de mouvement est deux fois plus rapide que celle de masse. Avec Sc = 0.5, c’est la diffusion de masse qui est deux fois plus rapide que celle de quantité de mouvement.
On obtient comme dans le cas lisse, que pour un fluide donné (Sc fixe) :
– L’effet prépondérant sur la réactivité effective est la compétition diffusion- réaction décrite par le nombre de Damköhler .
– Il n’y a pas d’effet de la convection sur la réactivité effective pour un nombre de Reynolds local inférieur à 100.
– Plus le nombre de Schmidt est élevé plus la réactivité effective est importante. Cependant, les résultats obtenus pour hDai ne confirment pas le comportement asymptotique, keff = k? pour Da 1. Tout d’abord, il faut observer que du point de vue numérique, lorsque Da 1, le calcul numérique du flux à la paroi pose problème. Le flux est non nul alors que la concentration pariétale tend vers zéro. Il est donc difficile de conclure sur le sens physique des résultats obtenus pour Da = 50.
3.2 Surface rugueuse
Par ailleurs, on observe que la structure du flux total dépend uniquement du nombre de Péclet et pas du nombre de Reynolds ou Damköhler . L’évolution du flux total est donnée figure 3.18. On observe que pour P e > 104, des recirculations se produisent autour de la rugosité.
Fig. 3.17 – Réactivité effective obtenue pour la cellule en hémiellipse en fonction du nombre Reynolds local Reµ pour différents nombres de Damköhler moyens hDai et
différents nombres de Schmidt Sc avec eK = 6.
Une étude plus complète de l’espace des paramètre est présentée dans Véran (2006).