Comportement instationnaire

Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, durant les premiers instants de l’ablation, le composite va se déformer, les parties les moins réactives émergeant peu à peu de la paroi. On a pu montrer qu’après ce régime transitoire, la récession devenait uniforme et les propriétés effectives de la paroi étaient alors stationnaires. Le cas "3D" amène lui aussi à de tels régimes. Dans cette partie, on décrit l’évolution morphologique du système ainsi que la variation de la durée du transitoire en fonction du régime d’ablation.

5.2 Expérimentation numérique

Fig. 5.8 – Évolution d’un système fibre-matrice avec km _{= 4, Da}

Évolution morphologique

La partie sur le modèle 1D a permis d’illustrer le lien qu’il y a entre la morpho- logie et la réactivité effective. Il est donc important de comprendre les phénomènes qui conduisent à cette modification morphologique.Pour cela on s’appuie sur la des- cription de l’évolution du système en régime mixte Da = O(1). Ce cas est, comme nous l’observerons par la suite, celui qui présente le plus de différences avec le mo- dèle 1D que nous avons développé. Ainsi, on considère ici l’évolution d’un système 2D dans le cas km

kf = 4, Dam =

(1−φf)kml

D = 2, φf = 0.5. L’évolution morphologique

du système est présentée figure 5.8. La concentration est nulle dans le solide. Les iso-contours de concentration forment ainsi une zone dense dans les voxels partiel- lement pleins.

Au temps t = 0 de l’ablation, le champ de concentration est celui d’une surface plane non récessive identique à celle étudiée au chapitre 3.1. Le champ de concentration est déformé par le caractère non uniforme de k(x). Sur la matrice, la concentration est maximale à l’interface fibre/matrice. Le recul débute donc en ce point comme illustré sur la deuxième vignette de la figure 5.8. Sur la fibre, la concentration est maximale au centre de la fibre. Ainsi, le plateau supérieur de la fibre devient concave. Ces courbures correspondent aux effets des perturbations du champ de concentration qui étaient absentes du modèle 1D. A ces courbures locales, s’ajoute la modification globale du motif qui était, elle, bien décrite par le modèle 1D. Ainsi, au cours de son évolution, la paroi latérale de la fibre devient convexe. On obtient alors une nouvelle fois une morphologie stationnaire, tous les points reculant alors verticalement à la même vitesse. Il est bon d’observer sur les vignettes 3 à 6 de la figure 5.8 que les perturbations concaves de la matrice comme de la fibre disparaissent au cours du régime transitoire. La matrice stationnaire est alors plane.

On peut alors vérifier que la perturbation du champ de concentration est en ac-

5.2 Expérimentation numérique

cord avec les hypothèses d’homogénéisation. La figure 5.9 présente les champs de concentration initial et celui obtenu en régime établi. Les champs de concentration

Fig. 5.10 – Évolution de la réactivité effective keff en fonction du temps normalisé par la durée τK du transitoire en régime réactif, dans le cas eK = 4,φf = 0.5 et

Dam = 2.

présentés figure 5.9 montrent que le flux est proche du flux 1D. Ceci nous invite à comparer les profils obtenus numériquement et analytiquement par le modèle de flux 1D. Ceci est représenté figure 5.11. Le profil obtenu par simulation numérique est proche du profil analytique mais il est légèrement plus pointu. Ceci est du au fait que dans le modèle 1D, la présence de la paroi ne déformait pas les lignes de courant. Dans le cas 2D, ces lignes se déforment et viennent diminuer le gradient de concentration le long de l’interface. La morphologie est ainsi plus proche de celle obtenue en régime réactif. On peut ainsi s’attendre à obtenir une réactivité effective stationnaire keff/km plus grande que celle prévue par le modèle 1D.

Fig. 5.11 – Comparaison entre le profil stationnaire obtenu par simulation et le profil donné par le modèle 1D pour eK = 4,φf = 0.5 et Dam = 2.

On calcule ainsi l’évolution de la réactivité effective au cours de du temps. L’évo- lution de keff est donnée figure 5.10. Le temps est adimensionné par le temps τK de

Fig. 5.12 – Évolution des surfaces de chaque phase ramenées à la surface totale initiale en fonction du temps normalisé par la durée τK du transitoire en régime

réactif, dans le cas eK = 4,φf = 0.5 et Dam = 2.

stationnarisation en régime réactif donné par l’équation 4.27 pour les réactivités choisies. On relève la réactivité initiale keff = 0.57 km = 0.9 hki. On retrouve ainsi

la réactivité de la surface lisse correspondante. La surface de la fibre augmentant au cours de l’ablation, la réactivité effective augmente. En maintenant la hauteur moyenne de la surface, la réactivité récessive est donc toujours supérieure à celle de la surface lisse correspondante. On observe que le transitoire est plus court que celui prévu pour une même réactivité dans le cas réactif. On a, en effet, un transitoire de l’ordre de 0.1τK. Tout étant égal par ailleurs, l’évolution pour D tel que Dam = 2

est dix fois plus rapide que pour D tel que Dam 1.

Le caractère transitoire de l’évolution du système est aussi observable sur l’évolu- tion des surfaces mouillées de chacune des phases présentées sur la figure 5.12. On remarque des oscillations pour l’évolution des surfaces. Celles-ci traduisent l’appa- rition et la dissipation des concavités de la fibre et de la matrice. Ces oscillations semblent se compenser puisque l’évolution de keff reste régulière.

Ces résultats sont caractéristiques du régime mixte Da = O(1). On fait maintenant varier Dam pour observer l’impact du régime sur les rugosités transitoires obtenues.

La figure 5.13 montre que, comme attendu, plus Dam est grand plus la rugosité

est faible. On retrouve de plus la limite pour Da  1 démontrée dans l’étude du régime réactif au paragraphe 4.1 qui est Sf = eK Sm soit ici Sf/S0 qui tend vers 2.

Sur la figure 5.13, l’abscisse est donnée par l’itération. Or, une itération correspond approximativement à un recul de la matrice de 3 10−3l. On observe ainsi que, pour tous les régimes, l’épaisseur consommée durant le transitoire est du même ordre. Avec les paramètres eK = 4 et φf = 0.5 on obtient une épaisseur du transitoire de

5.2 Expérimentation numérique

Fig. 5.13 – Évolution des surfaces de la fibre ramenées à la surface totale initiale avec eK = 4 et φf = 0.5 en fonction du nombre d’itérations pour différents nombre

de Damköhler .

Temps caractéristique de stationnarisation

On compare maintenant l’effet à contraste eK fixé, du nombre de Damköhler Dam

sur la durée du transitoire. Comme attendu, tous les systèmes étudiés atteignent un équilibre morphologique pour la géométrie choisie. On observe sur la figure 5.14 que plus Dam est grand plus la stationnarisation est rapide. Pour Dam > 50, la station-

narisation est quasi-instantanée. La surface restant lisse dans ce cas, la morphologie initiale est déjà la morphologie d’équilibre. Au chapitre 4.1, nous avons vu, que pour Da  1, la durée du transitoire est courte devant celle du tir pour l’échelle micro- scopique (τK est de l’ordre de 10 ms). L’évolution étant encore plus rapide dans les

autres régimes nous centrons l’étude sur les propriétés effectives stationnaires de la surface.