Résultats expérimentaux

On a utilisé dix valeurs différentes du paramètre élastique µ_I/µ_II. Les compositions chi-miques sont résumées dans le tableau4.1suivant.

µ_I/µII [AA]:[BISAA] [AA]:[SA]:[BISAA] 0.25 49 : 1 8.5 : 3 : 1 0.4 49 : 1 15 : 4 : 1 0.5 39 : 1 15 : 4 : 1 0.625 19 : 1 8.5 : 3 : 1 1 19 : 1 15 : 4 : 1 2 9 : 1 15 : 4 : 1 4 19 : 1 60 : 19 : 1 6 9 : 1 40 : 19 : 1 8 9 : 1 60 : 19 : 1 10 9 : 1 80 : 19 : 1

Tableau 4.1 – Compositions chimiques employées dans les différentes expériences.

Dans un premier temps, on s’intéresse à la relation entre le nombre d’onde et l’épaisseur de l’anneau. Pour cela, on choisit de fixer le rapport µI/µII = 0.25. On reporte les résultats accompagnés de la prédiction théorique dans la figure 4.9. Dans la gamme de paramètres que nous avons choisis ici, toutes les instabilités observées sont de type flambage, et l’inter-face anneau/disque reste relativement parallèle à la frontière libre durant la déformation. On observe également une augmentation du nombre d’onde de l’instabilité pour des rapports d’aspect décroissant. Ces observations sont qualitativement en accord avec la prédiction théo-rique. Plus quantitativement, on note tout de même que le modèle surestime la longueur d’onde environ d’un facteur 2. Les valeurs de H inférieures à 0.06 ne sont pas accessibles expérimentalement (en raison de la taille des emporte-pièces dont nous disposions). Pour les épaisseurs supérieures à 0.4, on n’observe pas d’instabilité (m=0 pour le point expérimental le plus à droite de la figure4.9). En fait pour des anneaux très épais, contrairement au modèle qui prévoit une saturation à m = 2, on observe plutôt un amincissement du disque interne.

4.2. L’expérience 127

On détecte cet amincissement par le déplacement vers le centre des petites bulles d’air piégées entre le système et la plaque ; et la formation ultérieure d’une légère condensation au-dessus du disque intérieur. Ce mode de déformation, qui prend place dans la direction transverse au plan principal du système, n’est en effet pas pris en compte dans le modèle et se révèle moins couteux en énergie élastique qu’une bifurcation vers une configuration ondulée.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

5

10

15

20

25

30

H

m

Figure 4.9 – Haut : exemples d’instabilité pour des épaisseurs initiales H de 0.09, 0.21 et 0.44 (de gauche à droite). Bas : résultats expérimentaux indiquant la valeur du nombre d’onde m observé en fonction du rapport d’aspect.

L’étape suivante dans l’analyse du problème consiste à étudier le comportement du sys-tème pour différentes valeurs du paramètre élastique µI/µII. On résume l’ensemble des me-sures dans le graphe4.10 suivant.

0.2 0.5 1 5 10

0

2

4

6

8

Μ_I ΜII

ː

H

Figure 4.10 – Résultats expérimentaux pour les mesures de la longueur d’onde réduite λ/H en fonction du rapport élastique. Les lignes noires en pointillés sont les régressions données par les équations (4.1) et (4.2). En raison des importantes marges d’erreur dans les mesures, nous avons regroupé les expériences en trois intervalles de rapport d’aspect.

On voit sur ce graphe la présence de deux régimes distincts avec une transition se situant aux alentours de µI/µII ∼ 1. Expérimentalement, ces deux régimes correspondent à une instabilité de flambage étendue (µ_I/µ_II < 1) et condensée (µ_I/µ_II > 1). On a représenté la séquence d’évolution typique de ces deux types d’instabilité (A et B) dans la figure 4.11. Initialement, les deux systèmes possèdent un rapport d’aspect similaire (H ∼ 0.26 pour la séquence A et H∼0.27 pour la séquence B) mais des rapports élastiques différents (µ_I/µ_II =

0.5 pour la séquence A et µ_I/µ_II = 6 pour la séquence B). A partir de l’état initial (figures A-1 et B-1), le rayon du système augmente initialement en conservant la symétrie (figures A-2 et B-2). Au-delà d’un certain seuil le système devient instable (figures A-3 et B-3). Dans la séquence A, le système développe une instabilité qui s’étend à travers tout le système et l’interface anneau/disque est à peu près parallèle à la frontière libre du système.

4.2. L’expérience 129

Figure 4.11 – Deux séquences classiques de l’évolution du système pour des rapports d’aspect initiaux similaires mais des rapports élastiques différents (µI/µII = 0.5 pour la séquence A et µI/µII = 6 pour la séquence B). Les temps sont indiqués en heures et minutes. L’expérience A est effectuée dans un réservoir de solvant teinté d’éosine. Voir texte.

Le nombre d’onde qui caractérise l’instabilité est constant au cours du temps et l’ampli-tude des oscillations augmente progressivement. On observe également, à la frontière libre du système, la formation de points cuspidaux dans les creux de la couche oscillante, ainsi qu’une zone de repliement sous ces points. Dans la séquence B, l’instabilité est essentiellement confinée à la frontière libre et l’interface anneau/disque reste circulaire. Après nucléation, on observe dans le régime fortement non linéaire une pénétration de l’instabilité dans le cœur dur, quoique dans une moindre mesure que pour la séquence A (figure B-4). Enfin, on observe en général une rupture du système (figures A-4 et B-4). Dans la grande majorité des cas, les fractures qui apparaissent relient deux points cuspidaux consécutifs et passent à proximité de l’interface anneau/disque sans jamais se propager à l’intérieur du disque. On remarque également que la séquence A a une évolution bien plus lente que la séquence B. Cela tient à deux raisons : d’une part, la présence d’éosine dans le solvant et, d’autre part, la plus faible concentration en sodium acrylate (respectivement 20 mg et 31.7 mg).

Figure 4.12 – Système à la frontière entre les deux régimes d’instabi-lités. Dans cette expérience, le rapport d’aspect initial est B/A=1.40 et le rapport élastique est µ_I/µII=1 .

La raison pour laquelle les barres d’erreur sont plus impor-tantes dans la limite d’un cœur mou est liée au processus de nu-cléation de l’instabilité. Comme l’instabilité est en général initiée à différents endroits et qu’elle est dans ce cas de grande longueur d’onde, cela crée des problèmes de raccordement (voir l’image centrale de la figure 4.9) qui entraînent une grande incerti-tude sur la longueur d’onde. Le lecteur notera que l’instabilité condensée est également ob-servée pour des anneaux épais (H > 0.4, représentés par des points verts dans la figure 4.10). Cela contraste avec la situation de cœur mou où ce dernier est étiré radialement et s’amincit. Remarquons finalement que la transition entre les deux régimes est particulièrement nette et,

lorsque l’instabilité est détectable, elle est soit condensée soit étendue dans l’anneau et le disque, à l’exception de l’image 4.12 ci-contre qui illustre une situation pathologique, à la valeur de transition, où une partie du système développe une instabilité condensée tandis que le reste de l’anneau présente une ondulation de grande longueur d’onde. Cette expérience est caractérisée par une très grande barre d’erreur comme on peut le voir sur la figure 4.10. Dans le régime de flambage (µ_I/µ_II < 1), la longueur d’onde diminue avec l’augmentation

4.2. L’expérience 131

du rapport µ_I/µ_II. Si on cherche à ajuster ce régime à une loi de puissance, on trouve (pour l’ensemble des expériences où l’épaisseur est inférieure à 0.2) :

Pour ^µI µ_II <1, ^λ H ∼3.55  µ_I µ_II ₋0.32 . (4.1)

Dans le régime condensé, la longueur d’onde λ/H est à peu près constante sur une décade (1< µ_I/µ_II <10). Une régression donne :

Pour ^µI

µ_II >1, ^λ

H ∼1.03. (4.2)

4.2.2.2 Discussion

Qualitativement, on observe bien, comme prédit par le modèle, une transition entre une instabilité de flambage et une instabilité condensée à la frontière libre avec une transition assez nette. Néanmoins, l’ensemble des observations que nous venons de faire n’est que partielle-ment en accord avec le modèle proposé dans le troisième chapitre. Particulièrepartielle-ment, nous n’avons pas observé de régime où l’instabilité serait condensée à la frontière interne, entre l’anneau et le disque, comme prédit pour des anneaux épais reposant sur des disques durs. En réalité, ces derniers développent également une instabilité condensée à la frontière libre.

Plus quantitativement, les mesures révèlent que la transition s’effectue à la valeur µ_I/µ_II ∼

1, c’est-à-dire à une valeur un peu inférieure au seuil théorique de 2. En outre, on note que les longueurs d’onde mesurées sont environ deux fois plus courtes que les valeurs prédites. De plus, la régression (4.1) suggère que la loi de puissance en (µ_I/µ_II)−1/3, que l’on dérive à partir du modèle de plaque sur substrat, est encore valable dans la gamme de rapport élastique 0.1 < µ_I/µ_II < 1, avec toutefois un préfacteur inférieur à la prédiction théorique. Cela est quelque peu en contradiction avec le modèle du troisième chapitre qui prévoyait, au contraire, un écart substantiel entre cette approximation et le modèle complet dans cette gamme de paramètres (voir les figures3.21et3.22). Des remarques similaires ont été formulées par Sultan et Boudaoud (2008). Notons que dans leurs expériences, effectuées en géométrie plane, seule la surface libre est en contact avec le solvant (voir figure4.13).

Figure 4.13 – Expérience de flambage de gel sur substrat mou. La figure est tirée deSultan et Boudaoud(2008).

En ce qui concerne le régime où l’instabilité est condensée, on avait prédit, dans la limite des anneaux minces et pour la gamme de paramètres physiques utilisée dans nos expériences,

une longueur d’onde comprise entre 0.73 et 1.17. La valeur mesurée se situe effectivement dans cet intervalle. Plus curieusement, l’ensemble de nos mesures, indépendamment de leurs épaisseurs, se situent dans cette approximation, alors que l’on avait prédit une variation assez importante de cette longueur avec l’épaisseur. De plus, on note sur la figure 4.11 que, pour une épaisseur environ deux fois supérieure à l’épaisseur initiale, l’instabilité est déjà bien dé-veloppée. Or le modèle prédit une épaisseur au seuil d’instabilité d’environ trois fois la valeur initiale pour les anneaux infiniment fins, augmentant encore plus pour des rapports d’aspect plus importants.Trujillo et al.(2008) ont étudié la croissance d’une fine (entre 3 µm et 1 mm) couche de gel chimiquement attachée à un substrat infiniment rigide. Dans cette expérience bidimensionnelle, ils rapportent l’émergence de plis à la surface libre, avec un espacement ca-ractéristique entre les plis de l’ordre de l’épaisseur de la couche (voir figure4.14). Les auteurs de cette étude notent également que l’instabilité apparaît lorsque l’épaisseur atteint deux fois sa valeur initiale (remarquons que cette valeur est calculée et non pas mesurée).

Figure 4.14 – Emergence de plis à la surface libre d’une couche de gel. La figure est tirée deTrujillo et al.(2008).

Concernant cette dernière expérience, on peut remarquer sur la figure 4.14 que les plis observés ici semblent posséder une taille relativement constante, avec une longueur de l’ordre de la distance caractéristique entre deux plis. Cette observation contraste fortement avec le cas des plis dans une plaque libre, comme le papier froissé qui est caractérisé par l’émergence de plis dont la distribution en taille est particulièrement étalée (Sultan et Boudaoud 2006). En dernier lieu on notera que, même avec les précautions que nous avons prises pour homogénéi-ser le processus de croissance, on obhomogénéi-serve quand même pour les anneaux épais un gradient de coloration dans la direction radiale (voir la séquence B de la figure 4.11). Cela suggère que le gonflage n’est pas homogène. En gardant en mémoire l’ensemble de ces remarques, on va maintenant tenter de formuler un modèle permettant de rendre compte des observations expérimentales.