Un résultat sans stabilisation

On a vu dans la partie précédente que la nouvelle méthode de résolution faisait intervenir un terme de stabilisation sur la divergence deµH. On peut raisonnablement se demander si ce terme est vraiment nécessaire pour la convergence du schéma numérique. On va montrer dans cette partie que, dans un cadre simplié, on peut parfois s'en passer. Néanmoins, pour assurer la convergence, des contraintes sur les espaces d'approximation sont nécessaires. Par ailleurs, on verra que numériquement, l'un des cas de gure qui nous intéresse semble ne pas donner de convergence, ce qui explique qu'on garde en pratique le terme de stabilisation.

2.4.1 Cadre

On s'intéresse au cas µ, σ constants (on les prend égaux à 1 sans perte de généralité) et α = 1. On veut montrer que, pour certains choix d'éléments nis, on peut considérer une forme bilinéaire sans stabilisation de la divergence, i.e. sans le terme h²(∇·H,∇·F). On note donc dans cette partie as la forme bilinéaire dénie sur h

H_0,curl(Ω)×W₀^1,2(Ω) i2

par :

∀(H, p),(F, q)∈H0,curl(Ω)×W₀^1,2(Ω),

as((H, p),(F, q)) = (∇×H,∇×F) + (∇p,F)−(H,∇q) + (∇p,∇q). (2.4.1)

On va utiliser la norme naturelle surH_0,curl(Ω)×W₀^1,2(Ω)dénie par (2.4.2) |||H, q|||²:=kHk²_L2(Ω)+k∇×Hk²_L2(Ω)+k∇pk²_L2(Ω).

On considère toujours une famille de maillages{T_h}_h>0comme en 2.2. On note toujoursKˆ un élément de référence, et on se donne une fonctionˆbdénie sur Kˆ, nulle sur le bord (fonction bulle). Pour toutK∈ T_h, on dénitb_K := ˆb◦T_K⁻¹. On va montrer que la nouvelle méthode converge lorsqu'on choisit les espaces d'approximation suivants :

X_h :=

F_h ∈C⁰( ¯Ω) | ∀K ∈ T_h, F_h|K∈P¹ , (2.4.3)

M_h :=n

q_h∈W₀^1,2(Ω), ∀K ∈ T_h, q_|K ∈P¹⊕Rb_Ko (2.4.4) .

On suppose encore (pour simplier le propos) que

(2.4.5) X_h⊂H_0,curl(Ω).

On utilise une technique à la Fortin (cf. [49] ou [47, Lemme 5.2.6]).

2.4.2 Un projecteur utile

Lemme 2.4.1. Pour touth, il existe une application linéaire π_h :W₀^1,2(Ω)→M_h vériant les deux conditions suivantes :

∀q∈W₀^1,2(Ω), ∀F_h∈X_h, (∇·F_h, π_hq) = (∇·F_h, q), (2.4.6)

∃c >0, ∀q ∈W₀^1,2(Ω), kπ_hqk_W1,2

0 (Ω)≤ kqk_W1,2 0 (Ω), (2.4.7)

où la constantec est uniforme enh.

Preuve. Remarquons que la relation (2.4.6) ne fait intervenir que des fonction Fh ∈ Xh. Il s'en suit que sur chaque élément K ∈ T_h,∇·F_h est constante. Ainsi, une condition susante pour que (2.4.6) soit satisfaite est que :

(2.4.8) ∀q∈W₀^1,2(Ω), ∀K ∈ T_h, Z

K

π_hq = Z

K

q.

On note C_h un interpolateurW₀^1,2(Ω)→M_h de type Clément (cf. [33, 16] par exemple), et on cherche, pour q ∈W₀^1,2(Ω),πhq sous la forme

π_hq=C_hq+ X

K∈T_h

γ_Kb_K,

où les γ_K sont des nombres réels à déterminer. Rappelons qu'il existe c uniforme en h telle que, pour tout q∈W₀^1,2(Ω),

kC_hqk_W1,2

0 (Ω) ≤ckqk_W1,2 0 (Ω), (2.4.9)

kC_hq−qk_L2(Ω) ≤chkqk_W1,2 0 (Ω). (2.4.10)

Puisqu'on cherche à imposer (2.4.8), on obtient :

∀K∈ T_h, γK = R

K(q− C_hq) R

Kb_K . En supposant, sans perte de généralité, que |K|ˆ ⁻¹R

Kˆˆb= 1, un changement de variable ane assure que R

Kb_K=|K|, ce qui induit :

∀K ∈ T_h, γK =|K|⁻¹ Z

K

(q− C_hq).

On a donc construit un candidat π_h, dont on sait par construction qu'il vérie (2.4.6). Par ailleurs, par construction, il est bien linéaire. Il ne reste donc plus qu'à vérier (2.4.7). Utilisant l'inégalité triangulaire, la partieC_hqest immédiate, en utilisant (2.4.9). Pour la seconde partie, on remarque que :

X

K∈Th

γ_Kb_K

2

W₀^1,2(Ω)

= X

K∈Th

γ_K² k∇b_Kk²_L2(K).

En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans la dénition de γ_K, et on calculant par changement de variables k∇b_Kk_L2(K), on obtient :

γ²_K≤ |K|⁻¹kq− C_hqk_L2(K), k∇b_Kk²_L2(K)≤β₀²h²_ˆ

K

h²_K

|K|

|K|ˆ k∇ˆˆbk²

L²( ˆK),

où β₀ est déni par (2.2.5). Puisque Kˆ et ˆb sont indépendants de h, on obtient donc, en utilisant l'hypothèse (2.2.6) :

k∇b_Kk²_L2(K)≤c|K|

h² ,

oùc est uniforme enh. On peut alors sommer et utiliser (2.4.10), pour aboutir à :

X

K∈T_h

γ_Kb_K

2

W₀^1,2(Ω)

≤ch⁻² X

K∈T_h

kq− C_hqk²_L2(K)=ch⁻²kq− C_hqk²_L2(Ω)

≤ckqk_W1,2 0 (Ω). Au nal, on a bien montré que

kπ_hqk_W1,2

0 (Ω) ≤ckqk_W1,2 0 (Ω), i.e. (2.4.7) est bien vériée.

Lemme 2.4.2. Il existec >0uniforme enh telle que, (2.4.11) ∀F_h∈X_h, k∇·F_hk_W^−1,2_(Ω)≤c sup

06=q_h∈M_h

(F_h,∇q_h) k∇q_hk_L2(Ω)

.

Preuve. Rappelons tout d'abord que, étant donnée la dénition de la norme surW₀^1,2(Ω), on a :

∀F∈L²(Ω), k∇·Fk_W^−1,2_(Ω) := sup

06=q∈W₀^1,2(Ω)

(F,∇q) k∇qk_L2(Ω)

.

Soient alorsFh∈Xh etq∈W₀^1,2(Ω). On utilise le projecteurπh déni précédemment, et l'on obtient :

(Fh,∇q) =−(∇·F_h, q) =−(∇·F_h, πhq) = (Fh,∇π_hq). En utilisant (2.4.7), on a alors :

(F_h,∇q) k∇qk_L2(Ω)

≤c (F_h,∇π_hq) k∇π_hqk_L2(Ω)

≤c sup

06=q_h∈M_h

(F_h,∇q_h) k∇q_hk_L2(Ω)

. Le résultat est ensuite obtenu en prenant le sup sur tous les q∈W₀^1,2(Ω). 2.4.3 Coercivité et continuité

La forme bilinéaire considérée n'est pas à proprement parler coercive sur les espaces consi-dérés. Néanmoins, elle vérie la condition inf-sup suivante.

Proposition 2.4.1. Il existec >0 uniforme enh telle que, pour tout (F_h, q_h)∈X_h×M_h, (2.4.12) c|||F_h, qh||| ≤ sup

(0,0)6=(G_h,rh)∈X_h×M_h

as((Fh, qh),(Gh, rh))

|||G_h, r_h|||

Preuve. Soit (Fh, qh)∈Xh×M_h diérent de (0,0). On noteS le sup présent dans le membre de droite de (2.4.12). On a immédiatement :

|||F_h, qh|||²− kF_hk²_L2(Ω)=k∇×F_hk²_L2(Ω)+k∇q_hk²_L2(Ω) =as((Fh, qh),(Fh, qh))≤S|||F_h, qh|||.

Par ailleurs, en utilisant par exemple [17, Lemme 3.1], il existec ne dépendant que deΩtelle que

ckF_hk_L2(Ω) ≤ k∇×F_hk_L2(Ω)+k∇·F_hk_W−1,2(Ω)

En utilisant le lemme 2.4.2, on obtient alors : kF_hk_L2(Ω)≤cS

1

2|||F_h, q_h|||¹² +c sup

06=rh∈Mh

(F_h,∇r_h) k∇r_hk_L2(Ω)

. Or, par dénition deS, on a, pour tout r_h ∈M_h non nul,

S≥ as((Fh, qh),(0,−r_h))

|||0,−r_h||| = (Fh,∇r_h) k∇r_hk_L2(Ω)

− (∇q_h,∇r_h) k∇r_hk_L2(Ω)

≥ (Fh,∇r_h) k∇r_hk_L2(Ω)

− k∇q_hk_L2(Ω). En prenant le sup surr_h, on obtient alors :

sup

06=r_h∈M_h

(F_h,∇r_h) k∇r_hk_L2(Ω)

≤S+S

1

2|||F_h, q_h|||¹². En combinant ces inégalités, on obtient alors :

|||F_h, q_h|||² ≤c S²+S|||F_h, q_h|||

, ce qui induit le résultat voulu.

Proposition 2.4.2 (continuité). La forme bilinéaireas est continue surH_0,curl(Ω)×W₀^1,2(Ω). Preuve. En utilisant directement des inégalités de Cauchy-Schwarz, on obtient, pour tous (H, p),(F, q)∈H_0,curl(Ω)×W₀^1,2(Ω),

(2.4.13) |a_s((H, p),(F, q))| ≤c|||H, p||| |||F, q|||, ce qui implique la continuité dea_s.

2.4.4 Consistance et convergence

Proposition 2.4.3 (consistance). Soitg ∈ H_div=0(Ω). On note Hla solution de (2.2.1) et on prendp= 0. Alors, pour tout(F, q)∈H_0,curl(Ω)×W₀^1,2(Ω):

(2.4.14) a_s((H, p),(F, q)) = (g,F).

Preuve. En procédant comme dans la proposition 2.2.1, on montre que, pour tout F ∈ H_0,curl(Ω):

(∇×H,∇×F) = (g,F).

Par ailleurs, puisque Hest à divergence nulle, pour toutq ∈W₀^1,2(Ω), on a (H,∇q) = 0.

En combinant ces deux relations et la dénition p= 0, on obtient le résultat voulu.

Proposition 2.4.4 (convergence). Soitg ∈ Hdiv=0(Ω). On note H la solution de (2.2.1). On note (H_h, p_h)∈X_h×M_h la solution de :

(2.4.15) ∀(F_h, q_h)∈X_h×M_h, a_s((H_h, p_h),(F_h, q_h)) = (g,F_h). Alors il existe s >0 tel que :

(2.4.16) |||H_h−H, p_h||| ≤ch^skgk_L2(Ω). Preuve. On commence par prouver l'inégalité suivante : (2.4.17) |||H_h−H, p_h||| ≤c inf

(0,0)6=(F_h,qh)∈X_h×M_h|||F_h−H, q_h|||,

pour une constantecindépendante deh, H, Hhetph. Soit alors(Fh, qh)∈Xh×M_h. Utilisant l'inégalité triangulaire, on a :

|||H_h−H, p_h||| ≤ |||H_h−F_h, p_h−q_h|||+|||F_h−H, q_h|||.

On traite le premier terme en utilisant la condition inf-sup (2.4.12) :

|||H_h−F_h, p_h−q_h||| ≤c sup

(0,0)6=(G_h,r_h)∈X_h×M_h

a_s((H_h−F_h, p_h−q_h),(G_h, r_h))

|||G_h, rh||| . Or, la relation de consistance (2.4.14) implique que pour tout G_h, r_h, on a :

a_s((H_h−F_h, p_h−q_h),(G_h, r_h)) =a_s((H−F_h,−q_h),(G_h, r_h)). Enn, on utilise la continuité (2.4.13) pour obtenir

|||H_h−F_h, p_h−q_h||| ≤c|||H−F_h,−q_h|||.

En prenant l'inf sur F_h, q_h, on aboutit à (2.4.17). Il ne reste plus qu'à montrer qu'on peut choisir un couple Fh, qh ad hoc. Pour cela, on utilise

Fh :=C_hK_δH, qh:= 0,

oùC_h etK_δsont dénis au chapitre B (cf. (B.3.15), (B.4.2) et (B.4.3)) etδ >0reste à choisir.

Remarquons au passage que G_h ∈W^1,2₀ (Ω). On obtient alors :

|||H_h−H, p_h||| ≤c kC_hK_δH−Hk_L2(Ω)+k∇×(C_hK_δH−H)k_L2(Ω)

≤c kC_hK_δH− K_δHk_L2(Ω)+k∇×(C_hK_δH− K_δH)k_L2(Ω)

+c kK_δH−Hk_L2(Ω)+k∇×(K_δH−H)k_L2(Ω)

En utilisant les propriétés d'approximation de C_h etK_δ, on aboutit à :

|||H_h−H, p_h||| ≤c

h²δ⁻³² +hδ⁻³² +δ¹² kHk

W^12,2(Ω)+k∇×Hk

W^12,2(Ω)

. Or, on peut remarquer que (cf. par exemple [17, Proposition 2.1])

kHkW^12,2(Ω)+k∇×Hk

W^12,2(Ω)≤ckgk_L2(Ω). On choisit alorsδ de sorte que δ¹² =hδ⁻³², i.e. δ=√

h. On a alors :

|||H_h−H, p_h||| ≤ch¹⁴kgk_L2(Ω), ce qui est le résultat voulu, avecs= ¹₄.

Remarque 2.4.1. Étant donné le choix de Gh ∈ W₀ (Ω) dans la preuve précédente, on voit que l'hypothèse (2.4.5) n'est pas restrictive, puisqu'on peut même prendreXh⊂W^1,2₀ (Ω).

2.4.5 Illustration numérique et conclusion

On propose trois gures pour illustrer le propos développé dans cette partie. On résout encore le problème (2.3.8) en utilisant la forme bilinéairea_sintroduite précédemment, à l'aide du logiciel FreeFem++ (cf. [120]). Dans les gures 2.4, 2.5 et 2.6, pour chaque graphe, la courbe rouge correspond au cas sans stabilisation de la divergence (i.e. celui qu'on vient de décrire), et la courbe bleue est la référence avec stabilisation (et α= 1 bien sûr). On propose à chaque fois quatre courbes :

En haut à gauche : la norme L²(Ω)de H−H_h, en fonction du nombre total de degrés de liberté (∝h⁻²), en coordonnées log-log.

En haut à droite : la norme L²(Ω) de ∇×(H−Hh), en fonction du nombre total de degrés de liberté, en coordonnées log-log.

En bas à gauche : la normeL²(Ω)de∇·(H−H_h), en fonction du nombre total de degrés de liberté, en coordonnées log-log. Notons que l'on n'a pas ici de convergence. Cela traduit bien le fait que la solution est singulière : en eet, en vertu du théorème 2.2.1, il existe des éléments de H_curl(Ω)∩H_div(Ω) qui ne peuvent pas être approchés par des éléments de W^1,2(Ω). C'est exactement ce qui se produit ici pour cette solution singulière.

En bas à droite : la norme L²(Ω) de ∇p_h, en fonction du nombre total de degrés de liberté, en coordonnées log-log.

-2.2-2.0 -1.8-1.6 -1.4-1.2 -1.0-0.8 -0.6-0.4 -0.2

6 7 8 9 10 11 12 13

kH−HhkL2

nbdof

-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

6 7 8 9 10 11 12 13

k∇×(H−Hh)kL2

nbdof

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

6 7 8 9 10 11 12 13

k∇·(H−Hh)kL2

nbdof

-2.4-2.2 -2.0-1.8 -1.6-1.4 -1.2-1.0 -0.8-0.6

6 7 8 9 10 11 12 13

k∇phkL2

nbdof

sans stab.

avec stab. sans stab.

avec stab.

sans stab.

avec stab.

sans stab.

avec stab.

Fig. 2.4: Sans stabilisation, élémentsP1pour H_h, élémentsP1-bulle pour p_h.

On voit alors que la méthode sans stabilisation est convergente pour d'autres choix d'éléments nis. Toutefois, les gures 2.5-2.6 suggèrent que, sans stabilisation, il faut un espace de pres-sion magnétique plus riche que l'espace de champ magnétique. Or, la convergence énoncée dans le théorème 2.3.1 ne requiert que la condition Mh ⊂ W₀^1,2(Ω) (cf. annexe B pour les détails), ce qui nous motive à essayer de trouver une méthode faisant intervenir pourM_h des polynômes de degré 1, quel que soit le degré choisi pourX_h. En conclusion, il vaut mieux (et c'est ce qu'on fera) garder le terme de stabilisation, qui donne une convergence sans hypothèse particulière sur les espaces discrets.

-2.0-1.8 -1.6-1.4 -1.2-1.0 -0.8-0.6 -0.4-0.2

6 7 8 9 10 11 12

kH−HhkL2

nbdof

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

6 7 8 9 10 11 12

k∇×(H−Hh)kL2

nbdof

0.81.0 1.21.4 1.61.8 2.02.2 2.42.6

6 7 8 9 10 11 12

k∇·(H−Hh)kL2

nbdof

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4

6 7 8 9 10 11 12

k∇phkL2

nbdof

sans stab.

avec stab. sans stab.

avec stab.

sans stab.

avec stab.

sans stab.

avec stab.

Fig. 2.5: Sans stabilisation, élémentsP1pour Hh, élémentsP2pour ph.

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

6 7 8 9 10 11 12 13

kH−HhkL2

nbdof

-16.0 -14.0 -12.0 -10.0 -8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0

6 7 8 9 10 11 12 13

k∇×(H−Hh)kL2

nbdof

0.02.0 4.06.0 10.08.0 12.014.0 16.018.0

6 7 8 9 10 11 12 13

k∇·(H−Hh)kL2

nbdof

-30.0 -25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0

6 7 8 9 10 11 12 13

k∇phkL2

nbdof

sans stab.

avec stab. sans stab.

avec stab.

sans stab.

avec stab.

sans stab.

avec stab.

Fig. 2.6: Sans stabilisation, élémentsP2pour H_h, élémentsP1pour p_h.

Le code SFEMaNS

Cette partie a pour but de décrire de façon succincte le code utilisé pour la résolution des équations de la MHD. On discute également des modications apportées au cours de cette thèse pour enrichir ce code. Enn, on donne quelques résultats qui illustrent le bon fonctionnement de SFEMaNS.

3.1 Présentation générale

Le code numérique SFEMaNS (Spectral / Finite Element code for Maxwell and Navier-Stokes equations) est un outil développé en Fortran90 depuis 2002 par J.-L. Guermond et al.

Il s'agit d'une méthode hybride spectrale/éléments nis de Lagrange, qui permet d'intégrer le système complet d'équations de la MHD. Nous en donnons ici les principales caractéristiques.

3.1.1 Hypothèses de base

Deux hypothèses de base sont faites pour ce code, et nous discuterons de leur impact sur les congurations étudiées.

1. Le domaine de calcul est supposé axisymétrique. Cette hypothèse est sans doute la plus restrictive (elle empêche par exemple de modéliser parfaitement des congurations comme celle de la dynamo de Cadarache (expérience VKS), les pales faisant perdre l'axi-symétrie), mais elle est à la base de notre méthode. En eet, on se sert de cette symétrie cylindrique pour faire une décomposition de Fourier dans la direction azimutale, et l'on résout les problèmes dans le plan méridien par une méthode d'éléments nis de La-grange. On suppose en outre que les distributionsµetσ sont également axisymétriques, et indépendantes du temps.

2. Pour la résolution des équations de Maxwell, on suppose que le domaine possède deux parties distinctes : une partie conductrice Ωc dans laquelle la conductivitéσ est unifor-mément positive, et une partie isolante Ωv, appelée vide, dans laquelleσ ≡0. En outre, sur Ω_v, on suppose µ ≡ 1. La seule hypothèse restrictive que l'on fait est l'hypothèse que Ωv est simplement connexe, ce qui nous permet de chercher le champ magnétique dans le vide sous la forme d'un gradient.

Outre la décomposition des champs selon des modes de Fourier (réels) dans la direction azi-mutale, on tire également parti de la symétrie cylindrique en explicitant tous les termes sus-ceptibles de mêler les modes (les termes non linéaires ou de couplage). On obtient alors des

systèmes indépendants sur chacun des modes de Fourier considérés. L'interaction entre les modes de Fourier se fait uniquement par le second membre des systèmes à résoudre.

Les hypothèses concernant l'axisymétrie peuvent sembler restrictives, mais nous pensons que ce code couvre (presque) tous les cas de dynamos réalistes, astrophysiques ou expéri-mentales (sphères, cylindres, tores...) et décrit également correctement un certain nombre de situations MHD pratiques. Nous admettons tout de même que nous ne pouvons pas repré-senter correctement le dispositif VKS. Néanmoins, nous pouvons, en modélisant les régions disques+pales, utiliser le code de calcul pour obtenir quelques informations sur la dynamo de Cadarache (cf. section 4.2)

L'hypothèse d'un isolant simplement connexe est cruciale pour la recherche du champ magnétique sous forme d'un gradient. Lorsque ce n'est plus le cas, écrire le champ comme un gradient revient à faire une hypothèse de courant moyen nul dans le conducteur, ce qui est raisonnable dans nos applications.

3.1.2 Cadre d'application

Ce code permet de résoudre des problèmes de trois types diérents :

des problèmes purement hydrodynamiques : étant donnée une source de forçagef (non nécessairement la force de Lorentz), on ne résout que les équations de Navier-Stokes (1.3.22)-(1.3.23) avec A= 0.

des problèmes d'induction magnétique : étant donnés un courant externejet la vitesse du conducteur u, on ne résout que les équations de Maxwell (1.3.20)-(1.3.21) dans le conducteur, ainsi que le potentiel magnétique. Dans ce cas, on parle de dynamo ciné-matique.

le problème de MHD non linéaire, pour lequel on résout à la fois les équations de Navier-Stokes et les équations de Maxwell. Dans ce cas, on parle de dynamo non linéaire Signalons encore que, pour déterminer si une conguration donnée permet de générer un eet dynamo (on parlera parfois abusivement de conguration dynamogène), on procède en trois étapes. La première étape est purement hydrodynamique : on étudie le champ de vitesses produit par diérentes valeurs du nombre de Reynolds R_e. Si le ot obtenu est stationnaire, on l'utilise ensuite pour des calculs d'induction, qui nous permettent d'évaluer un seuil de dynamo cinématique, i.e. un nombre de Reynolds magnétique critiqueR_mc à partir duquel on a une croissance exponentielle du champ magnétique. Si le ot est instationnaire, les calculs de dynamo cinématique prennent l'une des deux formes suivantes :

soit on prend un (ou plusieurs) ot(s) gé(s) provenant du calcul hydrodynamique pour évaluer un nombre de Reynolds magnétique critique R_mc,

soit on calcule à la fois le champ magnétique et le champ de vitesses, mais en enle-vant le couplage par la force de Lorentz dans les équations de Navier-Stokes (i.e. on résout (1.3.22) avec A= 0).

Enn, on lance des simulations non linéaires dans la gamme de paramètres établie par le calcul de dynamo cinématique.

3.1.3 Implémentation

On renvoie à [66] pour les détails concernant la discrétisation en temps des équations de Navier-Stokes. En ce qui concerne la discrétisation des équations de Maxwell, la méthode initialement mise en ÷uvre est expliquée dans [65]. Elle a été au cours de cette thèse modiée,

pour prendre en compte l'ajout de la "pression magnétique" (cf. Remarque 2.3.2). On en trouve une description dans [67], article qui est reporté en annexe D. Dans le cas d'un calcul de MHD non linéaire, on peut résumer la marche en temps (basée sur une méthode à deux pas) de la façon schématique suivante :

Initialisation du champ de vitesses u⁰,u¹, de la pression dynamique p⁰, p¹, du champ magnétique dans le conducteur H⁰,H¹ et du potentiel dans le videφ⁰, φ¹.

Approximation des termes non linéaires et de couplage dans l'équation de Navier-Stokes (à l'instant tⁿ⁺¹) par des extrapolations à partir deuⁿ,uⁿ⁻¹,Hⁿ,Hⁿ⁻¹.

Calcul de uⁿ⁺¹ puis pⁿ⁺¹ en utilisant ces extrapolations.

Approximation du terme de couplage dans les équations de Maxwell (à l'instant tⁿ⁺¹) par des extrapolations à partir deuⁿ⁺¹,Hⁿ,Hⁿ⁻¹.

Calcul de Hⁿ⁺¹ etφⁿ⁺¹.

On peut remarquer qu'il existe un décalage en temps entre les champs magnétiques et le champ de vitesses. Pour les cas où on veut ne résoudre que les équations de Maxwell ou que les équations de Navier-Stokes, on adapte aisément ce schéma.

Signalons enn que le code de calcul permet de traiter des conditions de périodicité, pour prendre en compte des géométries innies (par exemple un cylindre inni) dans la direction de l'axe de symétrie.

Dans le document Analyse théorique et numérique des équations de la magnétohydrodynamique : (Page 35-45)