Dynamo en précession

4.4.1 Cadre

Dans cette section, on s'intéresse à un cas de dynamo uide homogène, et plus particuliè-rement à la possibilité d'engendrer un eet dynamo à partir d'un uide contenu dans une cuve en précession. Le cadre général est le suivant : on considère une cuve présentant une symétrie cylindrique. Cette cuve est remplie par un uide conducteur de l'électricité (on supposera ici µ= 1 etσ = 1 dans cette partie). L'axe de symétrie de la cuve est mis en précession autour d'un axe dirigé par un vecteur unitaire e_p dans le référentiel du laboratoire. En outre, on suppose que la cuve tourne autour de son axe de symétrie (dirigé parez). La cuve est entourée de vide, et nous négligeons les eets éventuels liés à l'épaisseur de la cuve. On se place dans le référentiel en précession, i.e. dans un référentiel pour lequel le seul mouvement de la cuve est la rotation autour de son axe de symétrie. Ainsi, les équations de Navier-Stokes prennent une forme légèrement diérente de (1.3.22), en faisant maintenant intervenir la force de Coriolis : (4.4.1) ∂_tu+ (∇×u)×u− 1

R_e∆u+ 2e_p×u=−∇p+ (∇×H)×(µH) +f,

oùest le taux de précession, i.e. le rapport entre la vitesse angulaire de la précession autour dee_p et la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe de symétrie.

4.4.2 Précession dans un cylindre (résultats principaux de l'annexe G) Dans un premier article, on étudie la possiblité d'une dynamo dans une cuve cylindrique en précession. On se place dans un cylindre de rapport de forme ^H_R = 2, où H est la hauteur totale du cylindre, et R son rayon. On se restreint au cas = 0.15, et on considère que les axes de précession et de rotation sont orthogonaux.

Régime hydrodynamique

Dans un premier temps, on se focalise sur les équations de Navier-Stokes uniquement.

Le seul forçage ici provient de la rotation de la cuve, i.e. on prend H = 0 et f = 0 dans l'équation (4.4.1), et on impose que le champ de vitesses sur le bord corresponde à la rotation de la cuve. En faisant varier le nombre de ReynoldsR_e, on observe un comportement similaire à celui décrit dans des cavités sphériques en précession : à bas nombre de Reynolds, le champ de vitesses est stationnaire et centrosymétrique (i.e.u(−x) =−u(x)). Lorsqu'on augmente le nombre de Reynolds, le ot perd à la fois son caractère symétrique et stationnaire. L'énergie cinétique est transférée de façon cyclique entre la partie supérieure et la partie inférieure du cylindre. S'inspirant de [148, 156], on s'attend à ce que la dynamo soit facilitée par un écoulement asymétrique instationnaire, c'est pourquoi on utilise par la suiteR_e= 1200. Dynamo

An de déterminer des valeurs deR_m susceptibles de générer une dynamo, on commence par eectuer des calculs de dynamo cinématique. Comme le champ de vitesses calculé pour R_e= 1200n'est pas stationnaire, on résout à la fois l'équation d'induction et les équations de Navier-Stokes, mais on retire le couplage dans la partie hydrodynamique (i.e. on résout (1.3.22) avecA= 0). Le calcul àR_e= 1200donne alors un seuil de dynamoR_mc'750. Des calculs non

linéaires ont ensuite été eectués, pour diérents nombres de Reynolds magnétiques, variant de600à2400, et ont permis de prouver qu'une dynamo pouvait être générée par un cylindre en précession. Par ailleurs, la gure 4.8 (reproduction de la gure G.10) montre une coïncidence remarquable sur l'évolution de l'énergie magnétique dans trois cas distincts, àR_m= 1200:

Fig. 4.8: Évolution de l'énergie magnétique en fonction du temps (R_e= 1200,R_m= 1200) le premier cas (MHD sur la gure) correspond au calcul de MHD non linéaire, avec

R_e= 1200

le deuxième cas (MAXWELL sur la gure) correspond au calcul de dynamo cinématique à partir d'un champ de vitesses gé, provenant d'un calcul hydrodynamique àR_e= 1200, le troisième cas (MAXWELL SYM sur la gure) correspond au calcul de dynamo ciné-matique pour lequel on ne prend que la partie symétrique du champ de vitesses utilisé dans le cas MAXWELL.

Cela suggère que ni la rupture de symétrie, ni la dépendance temporelle du champ n'inue de façon drastique sur cette dynamo. Enn, il est bon de souligner que, en admettant que le seuil est xé par la valeur de R_mc et pas par la valeur de nombre de Prandtl P_m = ^R_R^m

e, les valeurs de paramètres permettant l'eet dynamo semblent atteignables expérimentalement, et nous espérons pouvoir bientôt comparer ces simulations numériques à l'expérience DresDyn, actuellement en cours de montage en Allemagne [134].

4.4.3 Précession dans un sphéroïde (résultats principaux de l'annexe H) Là encore, on étudie une conguration où l'axe de précession et l'axe de rotation sont orthogonaux. La cuve est ici considérée comme étant un sphéroïde (i.e. un ellipsoïde avec une symétrie cylindrique). Le point de départ de cet article était l'étude de la dynamo dans une telle conguration. Comme pour toutes les congurations étudiées, la première étape est de vérier que l'on peut calculer un écoulement de base. Là encore, le seul forçage vient de la rotation de la cuve. Stewartson et Roberts [138] ont montré que, dans la limite d'un uide peu visqueux

et avec un faible taux de précession, le champ de vitesses a une expression analytique simple, excepté dans de nes couches d'Ekman au niveau de la frontière du domaine. Ce ot, linéaire, est souvent appelé solution de Poincaré, et on donne son expression en (H.3.6). S'inspirant de [156], on modie les conditions aux limites sur le champ de vitesses, an de ne pas avoir à traiter ces couches limites. On introduit une nouvelle formulation (cf. (H.3.2) à (H.3.7)), qui s'est avérée être plus délicate que prévu à résoudre, ce qui explique qu'on ne s'intéresse dans cet article qu'au régime hydrodynamique. L'avantage de ce nouveau jeu de conditions aux limites est que le système admet une solution stationnaire simple, en l'occurrence la solution de Poincaré. Mais l'inconvénient majeur est que cette solution n'est ni unique (d'autres solutions non physiques apparaissent), ni stable. Nous nous sommes donc eorcés de comprendre ce qui posait problème, tout en essayant de proposer une méthode numérique qui permette dans une certaine mesure d'approcher une solution du système. Dans le même esprit que [138], nous avons été en mesure de prouver que, si le produit R_e(oùdésigne le taux de précession) est susamment faible, alors toute solution de (H.3.2) (H.3.7) tend vers un champ stationnaire de la forme u_P +w, où u_P désigne la solution de Poincaré, et w est une rotation solide autour de l'axe de symétrie. Des comparaisons avec d'autres codes de calcul ont été eectuées, soulignant toutes ce problème lié aux rotations autour de l'axe de symétrie. Numériquement, l'un des problèmes principaux est le contrôle de la composante verticale du moment cinétique,

Mz = Z

Ω

x×u·e_z.

Dans le cas= 0, nous avons pu mettre au point une méthode permettant numériquement de contrôlerMz, évitant ainsi l'apparition d'une composante supplémentaire de rotation solide.

Dans le cas6= 0, il n'est toutefois pas encore clair de savoir si un tel ajustement est possible, sans imposer une nouvelle condition sur le moment cinétique, qui pourrait être incompatible avec la physique. En revanche, nous avons proposé un nouveau jeu de conditions aux limites, dans le même esprit mais en cassant la symétrie de la formulation, qui semble éviter ces problèmes de stabilité. Des calculs de dynamo sont envisagés par la suite, une fois que ce problème hydrodynamique sera mieux compris.

4.4.4 Conclusions

Nous avons montré que le mouvement de précession pouvait à lui seul être générateur de dynamo, dans le cas d'une géométrie cylindrique. Par ailleurs, l'étude de cette dynamo a mon-tré de façon surprenante une relative indépendance de la croissance du champ magnétique vis à vis de l'asymétrie et de l'instationnarité du champ de vitesses. Ce comportement, contraire aux prédictions de Tilgner [148], peut n'être qu'un cas particulier àR_e= 1200 =R_m. Il serait intéressant d'étudier l'inuence des brisures de symétrie et de l'instationnarité du ot sur la dynamo, pour une gamme plus large de paramètres.

Par ailleurs, nous avons commencé à explorer le cas d'un sphéroïde en précession. Le change-ment de conditions aux limites sur le champ de vitesses, qui devait nous permettre de faciliter la résolution en supprimant les couches limites, a nalement soulevé des problèmes de stabilité auxquels nous avons répondu en nous démarquant de [156]. Nous espérons pouvoir par la suite obtenir des calculs satisfaisants de dynamo.

Conclusion et perspectives

5.1 Bilan général

Cette thèse s'inscrit comme un prolongement naturel de celles de R. Laguerre ([87], sou-tenue en Décembre 2006) et A. Ribeiro ([124], sousou-tenue en Juillet 2010). Le l conducteur de ce travail a été l'amélioration constante du code de calcul SFEMaNS, qui est l'un des seuls outils capables d'intégrer le système complet d'équations de la MHD, dans n'importe quelle conguration axisymétrique. L'un des principaux objectifs était de modier la méthode de résolution des équations de Maxwell, an d'obtenir une méthode capable de résoudre eca-cement les problèmes faisant intervenir une distribution hétérogène de perméabilité et/ou de conductivité, ou des singularités géométriques, dans le cas stationnaire.

À ces ns, une nouvelle inconnue, appelée pression magnétique, a été introduite dans les équations et une formulation mixte a pu être écrite. Cette pression magnétique peut à la fois être vue comme un multiplicateur de Lagrange associée à la contrainte de divergence nulle, et comme un terme de stabilisation. Par ailleurs, un autre terme de stabilisation a été ajouté, et nous a permis de valider la méthode numérique avec des choix relativement simples d'éléments nis. En particulier, cette méthode autorise les éléments nis de Lagrange, et ne requiert que peu d'hypothèses sur l'espace d'approximation pour la pression magnétique. Les diérentes conditions de continuité (au sein du conducteur ou entre conducteur et isolant) sont traitées par des méthodes de pénalisation. Un travail théorique important a été eectué an de valider la méthode dans un cadre général. En particulier, les résultats de régularité présentés en annexe A peuvent ne pas être nouveaux dans la communauté mathématique, mais les références à de tels résultats sont diciles à trouver, et nous pensons que cet article les résume bien. La validation théorique inclut également la preuve de convergence du schéma dans un modèle simplié 2D. Cette convergence a été illustrée par de nombreux exemples recouvrant les dicultés possibles : singularités géométriques, sauts de perméabilité, calcul de valeurs propres. Nous avons ensuite adapté cette méthode au sein du code SFEMaNS.

Outre la méthode de résolution de l'équation d'induction, un profond remaniement au sein du code SFEMaNS a été eectué au cours de cette thèse, an d'en améliorer les performances.

Alors qu'il était jusque là parallélisé uniquement selon les modes de Fourier, nous avons ajouté un niveau de parallélisation, concernant la résolution des systèmes linéaires dans les plans méridiens. Nous avons également exploré diérents solveurs linéaires, pour nalement renoncer à une méthode itérative au prot d'une méthode directe, qui nous fait gagner énormément de temps de calcul. La contrepartie est une dépense de mémoire plus importante, mais nous

pensons qu'à l'heure actuelle, étant données les capacités des calculateurs, cette contrepartie est plus qu'acceptable. Après toutes ces modications, une étape de validation du code a été nécessaire. Elle a été eectuée de deux façons diérentes et complémentaires. Dans un premier temps, on a montré sur des cas analytiques que le code convergeait de façon convenable, que ce soit sur des calculs hydrodynamiques ou sur des calculs de dynamo cinématique. Par ailleurs, nous avons vérié que le code était cohérent avec d'anciennes versions, au travers d'un exemple de dynamo non-linéaire dans une conguration de type Taylor-Couette.

Grâce à cette pression magnétique, nous avons pu en application faire de nombreux calculs dans des congurations de type VKS, pour lesquelles il y a de forts sauts de perméabilité. En particulier, nous avons pu illustrer numériquement l'importance de la présence de disques ns en fer. L'un des atouts de ces disques est qu'ils écrantent l'eet de l'écoulement derrière eux, écoulement qui est apparu défavorable à la dynamo dans d'autres simulations. Par ailleurs, l'épaisseur des disques et les conditions de compatibilité induites par les sauts de perméabilité semblent réduire l'atténuation de la composante toroïdale du mode m= 0du champ magné-tique, même sans écoulement. On peut alors penser que dans un cas réel, avec un champ de vitesses non axisymétrique, ils peuvent jouer un rôle dans la création d'un champ magnétique axisymétrique. Dans le modèle simplié que nous avons étudié, nous avons également pu mon-trer qu'une enceinte à haute perméabilité serait un frein à la dynamo, ce qui suggère que la position et la géométrie des zones à haute perméabilité dans la dynamo de Cadarache sont importantes. On peut alors penser que les conditions de continuité induites par ces sauts de perméabilité et/ou conductivité sont un élément clef de la dynamo. Enn, nous avons égale-ment illustré numériqueégale-ment l'eet néfaste à la dynamo d'une variation de conductivité dans le dispositif.

Nous avons par ailleurs élargi le champ d'action du code SFEMaNS, en rendant possible l'intégration dans l'équation de Navier-Stokes de la force de Coriolis, permettant ainsi de faire des calculs de dynamo homogène en précession. Les calculs de dynamo dans un sphéroïde n'ont malheureusement pas encore pu être traités, car le régime hydrodynamique soulève des problèmes de stabilité, mais des calculs de dynamo dans un cylindre ont donné des résultats assez encourageants, et ont conrmé la possibilité de générer de l'eet dynamo. Par ailleurs, les plages de dynamo obtenues semblent raisonnables. Une expérience est en cours de montage à Dresde (Allemagne) [134] et nous espérons pouvoir à l'avenir comparer simulations numériques et expériences.

Enn, nous avons également pu appliquer cette méthode de pression magnétique à un modèle cylindrique de type Busse & Wicht, pour lequel nous avons mis en évidence un potentiel dynamogène. En revanche, ces dynamos sont très peu ecaces, en ce sens qu'elles requièrent un très haut nombre de Reynolds magnétique. La présence de fortes perméabilités dans la zone en rotation contribue à faire baisser le seuil.