-10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
tauxdecroissance
Rm
Fig. 4.4: Taux de croissance en fonction deRm, dans la couronne avec sauts de perméabilité.
ce seuil dans des proportions raisonnables est à envisager.
4.1.4 Perspectives
Une étude plus approfondie du seuil de dynamo en fonction des variations de perméabilité est envisagée, mais n'a pas encore pu être réalisée. Il semble toutefois que des fortes variations de perméabilité (avec des valeurs importantes dans la zone où le uide est en mouvement) contribuent fortement à l'abaissement du seuil de dynamo. Par ailleurs, nous étudions la pos-sibilité d'ajouter une composante verticale sur la vitesse, pour ainsi étudier des congurations de type Ponomarenko. On pourra alors étudier encore l'inuence de zones à fortes perméabi-lités. Enn, une étude de la dynamo dans des congurations plus réalistes est envisagée, an éventuellement de proposer un dispositif expérimental réalisable : une idée est par exemple d'ajouter une couronne entre le disque central et la couronne présentant des sauts de perméa-bilité, et d'y imposer un écoulement de type Taylor-Couette, i.e. de la formeu= Ar+ Br
eθ.
4.2.1 Conguration étudiée
L'expérience menée à Cadarache consiste en la génération d'un champ magnétique par le mouvement de sodium liquide dans une cuve cylindrique, de rayon R = 1.4 et de hauteur Z = 2.6. Deux disques, de rayonRd= 0.95et d'épaisseurh= 0.1, munis de pales, sont mis en contrarotation pour forcer le mouvement du sodium liquide. La distance entre les deux disques est Hi = 1.8. Ce liquide est entouré d'une ne chemise de cuivre, elle-même entourée par une couronne de sodium au repos. Ce dispositif est contenu dans une cuve en cuivre. On renvoie à la gure 4.5 pour les détails sur les positions relatives des diérents éléments. Notons que, numériquement, on ne modélise pas la ne chemise de cuivre séparant les deux couches de sodium liquide, ce qui revient à supposer qu'elle est susamment ne pour ne pas inuencer le système. Par ailleurs, le code SFEMaNS ne peut pas prendre en compte les pales sur les disques, donc nous avons dans un premier temps modélisé uniquement un cas sans pales, an de préserver l'axisymétrie. On distingue dans le domaine uide trois zones distinctes :
la zone située entre les disquesr∈[0, Rd],z∈h
−H2i,H2i
i, appelée "bulk-ow", la zone proche de la paroi latéraler∈[Rd, R],z∈h
−H2i,H2ii
, appelée "side-layer", les zones situées derrière les disquesr∈[0, R],|z| ∈h
Hi
2 +h,Z2i
, appelées "lid'ow".
Fig. 4.5: Schéma simplié du dispositif VKS. Nous représentons également la forme du ot MND (4.2.1) : les couleurs indiquent la vitesse toroïdale, alors que les vecteurs in-diquent la vitesse poloïdale. Les traits noirs représentent le contour des disques.
Dans les notations adimensionnées, le uide a une conductivité σ = 1 et une perméabilité µ = 1. Les disques ont une conductivité σ = σr et µ = µr. Rappelons que l'expérience a mis en évidence un eet dynamo dans le cas où les disques et les pales étaient en fer doux (ce qui correspond à une conguration du type σr = 1, µr >> 1). Il semble important pour l'expérience que l'ensemble disque+pales en fer doux soit en rotation pour produire de l'eet dynamo. La question naturelle qui se pose est la suivante : est-ce que la présence d'une zone de forte perméabilité magnétique en mouvement est nécessaire à l'obtention d'un eet dynamo, ou est-ce qu'elle permet simplement de réduire le seuil de dynamo à un niveau réalisable expérimentalement ? Nous essayons par la suite de produire des simulations numériques pour tenter de répondre à cette question. Les diérentes simulations que nous allons présenter
sont des calculs de dynamo cinématique, i.e. avec un champ de vitesses xé. Par ailleurs, ce champ, décrit par (4.2.1), est axisymétrique. Il s'en suit que les champs magnétiques obtenus ne peuvent pas représenter le cas réellement observé par l'expérience, pour lequel la dynamo présente un mode axisymétrique. Néanmoins, l'étude de la dynamo cinématique nous donne quelques indications sur des mécanismes possibles pour la dynamo de Cadarache. Dans la suite, on ne s'intéresse qu'aux modesm = 0 et m= 1, et l'on sépare le mode m= 0 en une composante toroïdale et une composante poloïdale, dont on étudie les variations séparément.
4.2.2 Résultats principaux de l'annexe C Décroissance ohmique
Dans un premier temps, on compare deux codes de calcul sur des cas de décroissance oh-mique, i.e. on suppose que le uide est au repos dans la cuve, et on regarde la décroissance du champ magnétique. Au delà du bon accord entre les deux codes de calcul (cf. gure C.8), on évalue l'inuence des sauts de perméablité et/ou de conductivité sur le taux de décroissance du champ magnétique. Cette inuence est étudiée pour deux valeurs diérentes de h, l'épaisseur des disques. On noteλle taux de décroissance calculé (λ <0). Lorsque les disques sont épais (h = 0.6), une augmentation du saut de perméabilité ou du saut de conductivité réduit la vitesse d'atténuation du champ magnétique (i.e.|λ|diminue pour les trois cas considérés, i.e.
les composantes toroïdale et poloïdale du mode m= 0, et le modem= 1). En revanche, dans le cas de disques ns (h= 0.1, plus proches du cas expérimental), des diérences nettes appa-raissent entre les modes. En eet, si le modem= 1se comporte comme pour les disques épais, on n'observe presque aucune inuence du saut de perméabilité (resp. saut de conductivité) sur la décroissance de la composante poloïdale (resp. toroïdale) du modem = 0. Ce comporte-ment est intéressant car on voit que les fortes variations de perméabilité atténuent fortecomporte-ment la composante poloïdale du champ magnétique, mais pas sa composante toroïdale, ce qui confère au champ magnétique une forme plus proche de celle trouvée expérimentalement.
Dynamo cinématique (mode m= 1)
Pour les calculs de dynamo cinématique, on utilise comme champ de vitesses le ot MND (Marié-Normand-Daviaud, [102]) :
(4.2.1)
ur = − π Hi
r(1−r)2(1 + 2r) cos 2πz
Hi
, uθ = 4r(1−r) sin
πz Hi
, uz = (1−r)(1 +r−5r2) sin
2πz Hi
,
oùest le rapport entre la vitesse toroïdale et la vitesse poloïdale etHiest la distance entre les deux disques. Ici, on utilise Hi = 1.8pour respecter le rapport de forme et= 0.7259d'après une étude précédente [137]. On ne s'intéresse qu'au mode m = 1. Les simulations reportées (pour diérentes valeurs deRm) en gure C.13 montrent trois choses intéressantes :
les variations de conductivité n'aident pas à augmenterλ, et on n'obtient pas de dynamo pour les Reynolds considérés,
en revanche, pour des sauts de perméabilité, on obtient un seuil autour de Rmc ' 55. On voit par ailleurs qu'au delà d'une certaine valeur deµr, le taux de (dé)croissance du champ magnétique semble indépendant deµr,
les taux de croissance sont très sensibles à la forme du champ de vitesses dans la région du "bulk-ow" : de petites variations dans le ot provoquent d'importantes variations du taux de croissance.
Ces calculs renforcent donc l'idée que la présence de zones à fortes perméabilités est cruciale pour la dynamo de Cadarache, alors que des sauts de conductivité semblent la freiner. Ils soulignent également l'importance d'une modélisation aussi précise que possible de ces zones de forte perméabilité, ainsi qu'une évaluation précise du champ de vitesses. Dans le cadre de notre approximation, on peut néanmoins noter que le seuil calculé pour le mode m = 1 est supérieur au Reynolds magnétique estimé dans les expériences, ce qui est en accord avec le fait que la dynamo observée expérimentalement présente un mode axisymétrique.
4.2.3 Résultats principaux de l'annexe D
On résume ici les résultats de dynamo cinématique présentés dans l'annexe D. On a souligné précédemment que la forme de l'écoulement dans la zone du "bulk-ow" inuait fortement sur les seuils calculés. On essaie d'utiliser un écoulement plus proche de celui réellement observé.
Pour ce faire, on prend ici comme champ de vitesses un ot axisymétrique provenant de mesures dans une expérience réalisée avec de l'eau dans une conguration VKS (cf. [123]).
On ne s'intéresse ici qu'au modem = 1. On montre alors que dans le cas de disques de forte perméabilité (µr >> 1), la forme du ot derrière les disques ("lid-ow") n'inue pas sur le seuil de la dynamo (cf. tableau F.1) : la présence de disques de fortes perméabilités écrante l'eet du "lid-ow". Dans le cas de disques de perméabilité µr = 1 en revanche, l'eet du
"lid-ow" est visible, et inue sur le seuil de dynamo. Cela suggère donc qu'il est surtout nécessaire de se concentrer sur la zone du "bulk-ow", et la zone latérale ('side layer'), mais que les régions derrière les disques ne sont pas importantes dans la dynamo de Cadarache.
Un autre résultat intéressant dans cette optique est un calcul eectué dans un modèle encore plus simplié de l'expérience VKS. On ne s'intéresse ici qu'à la zone entre les deux disques.
Les domaines simpliés sont présentés en gure 4.6. On distingue trois cas :
Cas 1 : on considère la région du "bulk-ow", la "side-layer" contenant du sodium immobile, et une chemise en cuivre autour. Le reste est considéré comme isolant (en particulier, cela modélise un cas où les disques sont isolants) : on trouve Rmc = 45. Cas 2 : on garde le même domaine que pour le cas 1, mais on impose sur le champ
magnétique la condition H×n = 0 sur {z =±12Hi, 0 ≤r ≤R0}. Cela correspond au cas où les disques ont une perméabilité innie : on trouve Rmc= 40.
Cas 3 : on ne garde que la région du "bulk-ow", que l'on considère entourée d'une enveloppe de perméabilité innie (i.e. on impose H×n partout). Il n'y a pas de région isolante ici : on trouveRmc= 52.
On peut déduire de ces calculs que la présence de disques de forte perméabilité aide à réduire le seuil de dynamo. Par ailleurs, la présence de sodium immobile autour de l'écoulement semble également jouer un rôle important, alors que le connement du ot dans une enveloppe de perméabilité innie se révèle contre-productif. En particulier, cela montre que la présence de zones à forte perméabilité, si elle est cruciale dans l'expérience VKS, n'est pas la seule condition à la dynamo. Il faut en outre que ces zones soient placées à des endroits spéciques, avec pour eet des contraintes géométriques liées aux conditions de continuité du champ magnétique.
"bulk-ow" "sidelayer" enveloppeencuivre
-
-1.0 0.4 0.2
6
?
1.8 "bulk-ow"
1.0
6
?
1.8
Fig. 4.6: Modèles simpliés pour VKS : à gauche pour les cas 1 et 2, à droite pour le cas 3.
Ces contraintes pourraient alors donner des champs magnétiques plus propices à la dynamo.
4.2.4 Résultats principaux de l'annexe E
Les deux articles précédents ont pu attester de l'importance de disques de forte perméabilité dans l'expérience de Cadarache. Dans cet article, on pousse plus avant l'étude de l'inuence de µr sur les seuils de dynamo. Outre une loi d'échelle pour le comportement deRmc en fonction deµr mise en évidence pour le modem= 1 avec l'écoulement MND donné en (4.2.1), l'étude montre des résultats probants sur le modem= 0. Pour celui-ci, on note que le ot n'a pas ou peu d'importance : par conséquent, on se limite à l'étude du cas de décroissance ohmique. Par ailleurs, on voit qu'au delà d'un certain seuil de µr, c'est la composante toroïdale du mode m = 0 qui est la moins atténuée. Cet eet, visible sur des disques de faible épaisseur, est lié à un phénomène de 'pompage paramagnétique' (cf. section E.4). On montre alors que la composante toroïdale du mode m= 0est localisée au niveau des disques, et que son taux de décroissance augmente de façon inversement proportionnelle à µr, ce qui implique que c'est cette composante qui est la moins atténuée pour de grandes valeurs de µr.
4.2.5 Conclusions
Les diérentes simulations numériques ont conrmé que la présence de disques de forte perméabilité était essentielle, car elle permet de réduire signicativement le Reynolds magné-tique crimagné-tique. Il semblerait que les contraintes géométriques induites par les conditions de continuité du champ magnétique soient également impliquées dans la dynamo, ce qui suggère que même pour de grandes valeurs deRm, on ne peut pas obtenir de dynamo avec des disques en acier. Par ailleurs, il semble que des variations de conductivité dans les disques soient un obstacle à la dynamo. Enn, l'utilisation de disques ns de forte perméabilité permet de ré-duire l'atténuation du mode m = 0, même sans champ de vitesses. On peut alors penser que l'eet de pompage paramagnétique, qui intervient sur la composante purement toroïdale du
modem= 0, puisse par la suite agir sur la partie poloïdale par l'intermédiaire des termes de couplage, lorsque les distributions de perméabilités ne sont plus axisymétriques (comme dans le cas réel) et/ou pour des champs de vitesses non axisymétriques. Cela pourrait jouer un rôle important dans la dynamo de Cadarache.
En revanche, les simulations numériques ne permettent pour le moment pas de comprendre l'importance de la rotation des disques dans le mécanisme de dynamo.