pensons qu'à l'heure actuelle, étant données les capacités des calculateurs, cette contrepartie est plus qu'acceptable. Après toutes ces modications, une étape de validation du code a été nécessaire. Elle a été eectuée de deux façons diérentes et complémentaires. Dans un premier temps, on a montré sur des cas analytiques que le code convergeait de façon convenable, que ce soit sur des calculs hydrodynamiques ou sur des calculs de dynamo cinématique. Par ailleurs, nous avons vérié que le code était cohérent avec d'anciennes versions, au travers d'un exemple de dynamo non-linéaire dans une conguration de type Taylor-Couette.
Grâce à cette pression magnétique, nous avons pu en application faire de nombreux calculs dans des congurations de type VKS, pour lesquelles il y a de forts sauts de perméabilité. En particulier, nous avons pu illustrer numériquement l'importance de la présence de disques ns en fer. L'un des atouts de ces disques est qu'ils écrantent l'eet de l'écoulement derrière eux, écoulement qui est apparu défavorable à la dynamo dans d'autres simulations. Par ailleurs, l'épaisseur des disques et les conditions de compatibilité induites par les sauts de perméabilité semblent réduire l'atténuation de la composante toroïdale du mode m= 0du champ magné-tique, même sans écoulement. On peut alors penser que dans un cas réel, avec un champ de vitesses non axisymétrique, ils peuvent jouer un rôle dans la création d'un champ magnétique axisymétrique. Dans le modèle simplié que nous avons étudié, nous avons également pu mon-trer qu'une enceinte à haute perméabilité serait un frein à la dynamo, ce qui suggère que la position et la géométrie des zones à haute perméabilité dans la dynamo de Cadarache sont importantes. On peut alors penser que les conditions de continuité induites par ces sauts de perméabilité et/ou conductivité sont un élément clef de la dynamo. Enn, nous avons égale-ment illustré numériqueégale-ment l'eet néfaste à la dynamo d'une variation de conductivité dans le dispositif.
Nous avons par ailleurs élargi le champ d'action du code SFEMaNS, en rendant possible l'intégration dans l'équation de Navier-Stokes de la force de Coriolis, permettant ainsi de faire des calculs de dynamo homogène en précession. Les calculs de dynamo dans un sphéroïde n'ont malheureusement pas encore pu être traités, car le régime hydrodynamique soulève des problèmes de stabilité, mais des calculs de dynamo dans un cylindre ont donné des résultats assez encourageants, et ont conrmé la possibilité de générer de l'eet dynamo. Par ailleurs, les plages de dynamo obtenues semblent raisonnables. Une expérience est en cours de montage à Dresde (Allemagne) [134] et nous espérons pouvoir à l'avenir comparer simulations numériques et expériences.
Enn, nous avons également pu appliquer cette méthode de pression magnétique à un modèle cylindrique de type Busse & Wicht, pour lequel nous avons mis en évidence un potentiel dynamogène. En revanche, ces dynamos sont très peu ecaces, en ce sens qu'elles requièrent un très haut nombre de Reynolds magnétique. La présence de fortes perméabilités dans la zone en rotation contribue à faire baisser le seuil.
sauts de perméabilité dans ce cas.
Nous avons discuté des capacités du code de calcul SFEMaNS, qui n'ont cessé d'augmen-ter depuis sa création. Néanmoins, d'autres modications importantes sont en cours, an de représenter des modèles aussi réalistes que possible. Nous avons mis en avant la diculté pour un code axisymétrique de bien modéliser les pales dans l'expérience VKS. Une approche éven-tuelle serait de considérer des disques dont la perméabilité varie en fonction de l'azimutθ, et éventuellement en fonction du temps. Pour cela, une adaptation de la méthode de résolution de l'équation d'induction est nécessaire, et étudiée par J.-L. Guermond et D. Castanon.
Du point de vue hydrodynamique également, nous savons que certaines congurations réelles présentent un écoulement très turbulent (Re >105), qui n'est actuellement pas réali-sable par notre méthode de simulation numérique directe. Une méthode de stabilisation est étudiée en ce moment par J.-L. Guermond et L. Cappanera notamment, an de permettre une résolution des équations de Navier-Stokes à grands nombres de Reynolds cinétique, sans nécessiter un maillage trop n.
En application, ces deux améliorations du code pourraient permettre de faire des calculs non-linéaires dans une géométrie de type VKS, et nous espérons qu'ils pourraient donner des informations sur la dynamo de Cadarache. Jusque là, deux types de calcul non linéaires avaient été eectués : dans un premier temps, dans le modèle simplié de disques sans pales, les calculs non linéaires n'ont pas permis d'apporter d'information sur le mécanisme de dynamo.
Un scénario avancé dans [89, 119] justie la création du champ magnétique par un eet α (cf. [117]) induit près des pales par l'écoulement très turbulent et hélicoïdal, suggérant l'importance des pales dans la dynamo (importance relayée par les expériences). Des calculs ont donc été réalisés (cf. [89, 88]) dans une conguration de type VKS avec un forçage modélisant l'eetα. Ces calculs ont mis en évidence un champ magnétique axisymétrique au même seuil que dans l'expérience, mais pour des valeurs non réalistes pour la modélisation de l'eet α. On peut alors se demander si les conditions de continuité sur le champ magnétique induites par la géométrie des zones entre les pales peuvent inuer sur le champ magnétique de manière à obtenir un eet α comparable à celui utilisé. Nous travaillons à l'élaboration d'un modèle simplié qui pourrait nous fournir des illustrations numériques.
Note on the regularity of the Maxwell equations in heterogeneous media
A. Bonitoa, J.-L. Guermonda, F. Luddensb Abstract
This note establishes regularity estimates for the solution of the Maxwell equations in Lipschitz domains with non-smooth coecients and minimal regularity assumptions.
A.1 Introduction
The purpose of this note is to prove regularity estimates for the solution of the Maxwell equa-tions in Lipschitz domains with non-smooth coecients and minimal regularity assumpequa-tions.
More precisely, given a Lipschitz domainΩ, we are interested in the time harmonic Maxwell System,
(A.1.1) ∇×E−iωµH= 0 and ∇×H+iωεE=J,
where E is the electric eld, H is the magnetic eld, J is a given (divergence-free) current density, ε is the electrical permittivity of the material, and µ is the magnetic permeability.
The tensor elds x 7→ ε(x) and x 7→ µ(x) are only assumed to be piecewise smooth. The Maxwell system (A.1.1) must be supplemented with boundary conditions. In this work, we assume that Ωis a perfect conductor, i.e.
(A.1.2) E×n|Γ= 0,
wherenis the outer unit normal ofΩ. Eliminating the magnetic eld from (A.1.1), the electric eld satises the following system:
(A.1.3) ∇× µ−1∇×E
−ω2εE=iωJ, ∇·(εE) = 0, E×n|Γ= 0.
If the electric eld is eliminated instead, we obtain (A.1.4) ∇× ε−1∇×H
−ω2µH=∇× ε−1J
, ∇·(µH) = 0, µH·n|Γ = 0,
aDepartment of Mathematics, Texas A&M University 3368 TAMU, College Station, TX 77843-3368, USA
b Laboratoire d'Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l'Ingénieur, CNRS, BP 133, 91403 Orsay Cedex, France
where the boundary conditionH·n|Γ = 0 is a consequence of (A.1.2).
Establishing regularity estimates for (A.1.3) and (A.1.4) requires studying the following model problem
(A.1.5) ∇× µ−1∇×F
=g, ∇·(εF) = 0, F×n|Γ = 0.
The main result (Theorem A.5.1) established in this paper is that, under very mild assumptions on the eldsµand ε, there is τ(ε, µ)< 12 so that the mappingg7−→(F,∇×F) is continuous from L2(Ω) to Hs(Ω)×Hs(Ω) for all0 ≤s < τ(ε, µ). Theorem A.5.1 relies on the following two embedding estimates established in Proposition A.4.1 and Proposition A.4.2, respectively:
There are constants c(ε),c(µ) so that
(A.1.6) kFkHs(Ω)≤c(ε) k∇×FkL2(Ω)+k∇·(εF)kHs−1(Ω)
, ∀s∈[0, τ(ε)) holds for all smooth vector eld Fwith zero tangent trace, and
(A.1.7) kGkHs(Ω) ≤c(µ)k∇×GkL2(Ω), ∀s∈[0, τ(µ))
holds for all smooth vector eld G with zero normal trace and such that ∇·(µG) = 0. The estimate (A.1.6) is of particular interest when approximating the Maxwell equations with Lagrange nite elements and when using a stabilization technique that requires controlling the divergence of the electric eld in Hs−1(Ω) with s ∈ (0,12), see e.g. [17]. The estimates (A.1.6)-(A.1.7) are also useful to establish compactness on the electric eld and its curl. More precisely, assuming that F solves (A.1.5) and upon setting G = µ−1∇×F, we observe that G·n|Γ = 0, ∇·(µG) = 0, and (A.1.7) implies that G is a member of Hs(Ω), which in turn, under mild assumptions on the multiplierµ, implies that ∇×Fis in Hs(Ω).
To the best of our knowledge, the results stated in Theorem A.5.1, Proposition A.4.1 and Proposition A.4.2 are new in the range s ∈ (0,12). In particular Proposition A.4.1 and Proposition A.4.2 generalize the now well-known fact, established in particular in [35], that H0,curl(Ω)∩Hdiv(Ω)andHcurl(Ω)∩H0,div(Ω)are continuously embedded inH12(Ω). The proofs of Proposition A.4.1 and Proposition A.4.2 use regularity estimates on the Laplace equation with non-smooth coecients supplemented with either Dirichlet or Neumann data. These regularity estimates are established in Theorem A.3.1. It is likely that these estimates are not new, and may be found scattered in the literature in various guises. We nevertheless have included the proof of this theorem in the paper to make it self-contained. For instance, Savaré [129] has proved similar results for Dirichlet data by assuming some global integrability of the right-hand side of the Laplace equation and assuming that the multiplier is piecewise constant over two sub-domains. Later, Jochmann [77] removed the extra integrability assumption, considered nitely many sub-domains and mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions.
His proof technique is based on local maps and requires some mild regularity on the boundary of the domain (each map is Lipschitz and its Jacobian is piecewise C0,12). Following the arguments proposed by Meyers [107] and Jochmann [77], we provide in Theorem A.3.1 a regularity result for both types of boundary conditions assuming only Lipschitz regularity on the boundary of the domain and piecewise smoothness on the multiplier. Our proof is dierent from that of Jochmann in the sense that we only use the Jerison-Kenig [76] regularity results on Lipschitz domains for the Laplace equation.
The paper is organized as follows. We introduce some notation and prove preliminary results on multipliers in A.2. Regularity properties of the Laplace equation with non-smooth
coecients are discussed in A.3. The main result of this section is Theorem A.3.1. We establish embedding results in A.4; these results are stated in Proposition A.4.1 and Propo-sition A.4.2 and are used to prove regularity estimates on the Maxwell system. Finally A.5 focuses on the Maxwell system with non-smooth coecients, e.g. electrical conductivity, mag-netic permeability, or electrical permittivity. The main result of this section is Theorem A.5.1.
The main thrust for the present work is our ongoing research program to establish convergence estimates for the approximation of the Maxwell system usingH1-conforming Lagrange nite elements in the spirit of [17].