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Résolution de systèmes non linéaires

lďM “ lfpLq ´Lfplq

fpLq ´fplq ďL. (2.22)

De plus ayant fpxkq ‰ 0 @k P N, on a fpakqfpbkq ă 0 @k P N. En passant à la limite et par

3

continuité def on obtientfplqfpLq ď0.

4

Montrons quefplq “0 oufpLq “0.

5

Sifplq ăfpLq,alors de (2.22) on obtient

lpfpLq ´fplqq ďlfpLq ´Lfplq ďLpfpLq ´fplqq

ce qui donnelfplq ěLfplqet lfpLq ďLfpLqi.e. pl´Lqfplq ě0et pL´lqfpLq ď0.Comme

6

L´l ě0, on en déduit fplq ď 0 et fpLq ď 0. Or fplqfpLq ď 0, ce qui donne fplq “ 0 ou

7

fpLq “0.

8

Sifplq ąfpLq,alors de (2.22) on obtient

lpfpLq ´fplqq ělfpLq ´Lfplq ěLpfpLq ´fplqq

ce qui donnelfplq ďLfplqet lfpLq ěLfpLqi.e. pL´lqfplq ě0et pL´lqfpLq ď0.Comme

9

L´l ě0, on en déduit fplq ě 0 et fpLq ě 0. Or fplqfpLq ď 0, ce qui donne fplq “ 0 ou

10

fpLq “0.

11

On a donc démontré que sifplq ‰fpLq,alorsfplq “0oufpLq “0et donc

12

sifplq “0alorsM “lfpLq´Lfplq

fpLq´fplq “l et doncfpMq “0.

13

sifpLq “0 alorsM “ lfpLq´Lfplq

fpLq´fplq “Let doncfpMq “0.

14

PuisqueletLappartiennent àsa, br, on aM Psa, br.Par unicité du zéro def sursa, bron en déduit

15

queM “ξ.

16

˛

17 18

On vient de démontrer le théorème suivant

19

Théorème 2.11

Soitf :ra, bs ĂRÝÑRune fonction continue vériantfpaqfpbq ă0et admettantαPsa, brcomme unique solution defpxq “0.Alors la suitepxkqkPNdénie par la méthode Regula-Falsi converge versα

On a aussi la proposition suivante

20

Proposition 2.12: ordre de la méthode de Regula-Falsi

Soitf :ra, bs ĂRÝÑRune fonction continue vériantfpaqfpbq ă0et admettantαPsa, brcomme unique solution de fpxq “0.Sif est deux fois dérivables surra, bset sif2 est monotone sursa, br alors il existe CPRtel que

lim

kÑ`8

|xk`1´α|

|xk´α| ďC (2.23)

La méthode de Regula-Falsi est alors à convergence linéaire (d'ordre 1).

2.3 Résolution de systèmes non linéaires

21

Nous allons (très rapidement) introduire les premières notions permettant la résolution de systèmes

22

d'équations non linéaires. Par exemple, dans R2 nous allons regarder le problème suivant avec c une

23

constante réelle

24 #

f1px1, x2q “ ´x31`x2´12 “0

f2px1, x2q “251 p10x2`1q2`c´x1 “0. (2.24)

Résolution de systèmes non linéaires

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.0MéthodeRegula-Falsioufausseposition 47

En Figures 2.19 et 2.21, on représente pour diérentes valeurs de c les courbes f1px1, x2q “ 0 et 1 f2px1, x2q “ 0 : les intersections de ces deux courbes sont les solutions du problème (2.24). Comme 2 on le voit graphiquemment, il peut y avoir, suivant les valeurs dec,0, 1,2 ou4 solutions. 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Figure 2.19: Résolution graphique de 2.24 avec c“0.00(gauche) etc„ ´0.825(droite)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Figure 2.20: Résolution graphique de 2.24 avec c“ ´1.00(gauche) et c“ ´1.50(droite)

De manière plus générale, soientU ĂRN un ouvert etfff une application continue deU dansRN.Le 4

problème que l'on souhaite résoudre est le suivant 5

TrouverαααPU ĂRN tel que

Comme dans le cas scalaire, pour résoudre numériquement ce genre de problème on utilise des suites 7 itératives et plus particulièrement celles basées sur les méthodes de points xes. En eet, nous allons voir 8 que le théorème du point xe se généralise très facilement (voir Théorème 2.13). 9

En dénissant, par exemple, la fonction ΦΦΦ P C0pU;RNq parΦΦΦpxxxq “ xxx`fffpxxxq, on peut remarquer 10 fffpxxxq “0est équivalent àΦΦΦpxxxq “xxx.On peut donc se ramener à la recherche d'un point xe (s'il existe) 11

de la fonctionΦΦΦ. 12

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.1Pointxe

Les suites itératives sont donc de la forme

xxxrk`1s“ΦΦΦpxxxrksq

oùΦΦΦest une fonction à déterminer etxxxr0sPRN. Bien évidemment le choix d'une bonne fonctionΦΦΦ est

2

primordiale pour espérer avoir convergence.

3

Ce type de problème peut s'avérer délicat à traiter : comment choisirΦΦΦ? xxxr0s? Si l'on converge vers

4 une application strictement contractante, i.e.

DLPs0,1r, }ΦΦΦpxxxq ´ΦΦΦpyyyq} ďL}xxx´yyy}, @pxxx, yyyq PUˆU. (2.25)

Proof. On démontre tout d'abord l'existence d'un point xe. Pour celà on va démontrer que la suitexxxxxxxxxrks est de Cauchy dansU fermé d'un espace de Banach (donc elle converge dansU).

CommeΦΦΦest contractante, on a pour toutkPN˚

On obtient aussi par récurrence

@lě0,

Résolution de systèmes non linéaires

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.2MéthodedeNewton 49

Soitpě1.On en déduit par application répétée de l'inégalité triangulaire que

› alors vers ααα P U. Comme ΦΦΦ est contractante, elle est donc continue et en passant à la limite dans xx

L'application norme étant continue etLă1, on obtient à la limite quandpÑ `8

On obtient l'inégalité en utilisant (2.28). 2

2.3.2 Méthode de Newton

3

On commence par rappeler un résultat de calcul diérentiel. Soitfff :RN ÝÑRN une fonction susament régulière. On déni la matrice Jacobienne de fff ,notéeJfff,par

c'est à dire le système linéaire 5

Jfffpxxxrksq.˜h˜h˜h“ ´fffpxxxrksq. (2.31)

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.3Exemples

On espère alors queh˜˜h˜hest une bonne approximation dehhhau sens ouxxxrks`h˜˜h˜hest une meilleur approximation

1

deααα quexxxrks. On note alorsxxxrk`1s “xxxrks`˜h˜hh.˜ En posant Φpxxxq “xxx´ ppJfffpxxxqq´1fffpxxxqla méthode de

2

Newton s'écrit alors

3

xxxrk`1s“Φpxxxrksq “xxxrks´

´

pJfffpxxxrksq

¯´1

fffpxxxrksq (2.32) Cette formule est une généralisation de celle vue dans le cas scalaire (voir ??). Il faut noter qu'a chaque

4

itération la matrice Jacobienne est modiée et qu'il faut calculer le vecteur´`

pJfffpxxxrks´1 f f

fpxxxrksq.

Nu-5

meriquement, on ne calcule que très rarement l'inverse d'une matrice car celà est très couteux en temps

6

mais on résoud le système linéaire (2.31) ce qui est bien plus ecace.

7

On admet dans ce cours le théorème suivant

8

Théorème 2.14

Soitfff P C3pRN;RNq.On suppose que la matrice Jacobienne appliquée enxxx, Jfffpxxxq est inversible dans un voisinage deααα,avecfffpαααq “0.Alors pour toutxxxr0s susament proche deαααla suite dénie par

xxxrk`1s“xxxrks´

´

pJfffpxxxrksq

¯´1

fffpxxxrksq converge versαααet la convergence est d'ordre2.

On donne ensuite l'algorithme 2.16 permettant de déterminer une approximation d'un point xe d'une

9

fonctionfff .Dans cet algorithme on suppose donnée la fonctionSolvepermettant de résoudre un système

10

linéaire.

11

Algorithme 2.16 Méthode de Newton Données :

fff : fff :RN ÝÑRN ,

Jf : la matrice Jacobienne def, x0 : donnée initiale,x0PRN, tol : la tolérence,tolPR`,

kmax : nombre maximum d'itérations,kmaxPN˚ Résultat :

α

ααtol : un élément deRN proche deααα.

1: FonctionαtolÐNewton (fff ,Jf,x0,tol,kmax)

2: kÐ0, αtolÐ H

3: xÐx0,

4: errÐtol`1

5: Tantque errątol etkďkmaxfaire

6: kÐk`1

7: xpÐx

8: hÐSolvepJfpxpq,´fpxpqq ŹxxxÐSolvepA, bbbq: résoud le système linéaireAxxx“bbb

9: xÐxp`h

10: errÐNormpx´xpq

11: Fin Tantque

12: Sierrďtol alors ŹConvergence

13: αtolÐx

14: Fin Si

15: Fin Fonction

Remarque 2.15 Si l'on ne connait pas explicitement la Jacobienne def, il est possible de calculer une

12

approximation de celle-ci en utilisant des formules de dérivation numérique.

13

Résolution de systèmes non linéaires

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.3Exemples 51

2.3.3 Exemples

1

Exemple modèle 2

Comme premier exemple, nous reprenons le système 2.24 avecc“ ´1.5 3

#

f1px1, x2q “ ´x31`x2´12 “0

f2px1, x2q “251 p10x2`1q2´x1´32 “0. (2.33) On représente en Figure 2.21 les itérées succéssives pour 4 suites avec une initialisation diérentes. 4

On remarque qu'il est très dicile, si l'on n'est pas susament proche d'un point xe, de prédire vers 5

lequel on converge.

-3 -2 -1 0 1

x

1

-1

0 1 2 3 4

x

2

c = − 1 . 50

x

0

= (0 . 00; 1 . 45) x

0

= (

0 . 31;

0 . 98) x

0

= (

0 . 74; 1 . 46) x

0

= (

0 . 90;

0 . 03)

Figure 2.21: Représentation de4suites pour le système 2.33

En Figure 2.22a, on représente les bassins d'attraction pour les itérées de Newton associés au système 67

2.33 : à chaque point initialx0“ px, yqon associe le point xe vers lequel la suite de Newton converge et 8 chaque point xe correspond une couleur. En Figure 2.22b, on représente le nombre d'itérations assurant 9 la convergence des itérées de Newton : à chaque point initialx0“ px, yqon associe le nombre d'itérations 10 nécessaire à la convergence et une échelle de couleur permet de visualer ces nombres. 11

Exemple complexe : z3´1“0 12

On souhaite trouver les racines complexes dez3´1. Pour celà on peut poserz “x`ıy,et le système 13

équivalent devient 14

#f1px, yq “x3´3xy2´1 “0

f2px, yq “3x2y´x3 “0. (2.34)

Bien évidemment en restant dans le corps des complexes, l'algorithme de Newton est le même (encore 15

faut-il que le langage de programmation utilisé le supporte ). 16

On représente en Figure 2.23 les bassins d'attraction et le nombre d'itérations de convergence associé à 17

des données initiales dansr´1.5,1.5s ˆ r´1.5,1.5s.On obtient alors une fractale de Newton. Pour illustrer 18 ce caractère fractale des représentations, on donne en Figures 2.24 et 2.25 des zooms successifs sur les 19

graphes. 20

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.3Exemples

(a) Bassin d'attraction des racines

α1

α2

α3

α4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(b) Nombre d'itérations de convergence Figure 2.22: Méthode de Newton, système (2.33)

(a) Bassin d'attraction des racines

α1

α2

α3

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(b) Nombre d'itérations de convergence Figure 2.23: Méthode de Newton, système (2.34)

α1 α2

α3

Figure 2.24: Méthode de Newton, système (2.34), zooms sur les bassins d'attraction

Résolution de systèmes non linéaires

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.3Exemples 53

α1 α2

α3

Figure 2.25: Méthode de Newton, système (2.34), zooms sur les nombres d'itérations

Exemple complexe : z5´1“0 1

On représente en Figure 2.27 les bassins d'attraction et le nombre d'itérations de convergence associé à 2 des données initiales dansr´1.5,1.5s ˆ r´1.5,1.5s.

(a) Bassin d'attraction des racines

α1

α

2

α

3

α

4

α5

20 40 60 80 100 120

(b) Nombre d'itérations de convergence Figure 2.26: Méthode de Newton pourz5´1“0

3

Exemple complexe : z3´2z`2“0 4

On représente en Figure ?? les bassins d'attraction et le nombre d'itérations de convergence associé à des 5

données initiales dansr´2,2s ˆ r´2,2s. 6

2.Résolutiondesystèmesnonlinéaires 2.3.Résolutiondesystèmesnonlinéaires2.3.3Exemples

(a) Bassin d'attraction des racines. En rouge zône de divergence

α

1

α2

α3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

(b) Nombre d'itérations de convergence. En blanc zône de divergence

Figure 2.27: Méthode de Newton pourz3´2z`2“0

3

Chapitre 3