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Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

Résolution de systèmes linéaires

4.2 Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

ΛnďClnpnq (4.18)

et le comportement asymptotique

5

Λn « 2

πlnpnq quandnÑ `8 (4.19)

Proposition 4.8: admis

Pour toute famille de points d'interpolation, il existe une fonctionf PC0pra, bs;Rqtelle que la suite des polynômes d'interpolation associés ne converge pas uniformément.

Proposition 4.9: admis

Soitf une fonction lipschitzienne surra, bsà valeurs réelles, i.e. il existe une constante Kě0 telle que @px, yq P ra, bs2, on ait |fpxq ´fpyq| ď K|x´y|. Soient n P N˚ et x0,¨ ¨ ¨, xn les points de Tchebychevra, bs.On noteLnpfqle polynôme d'interpolation de Lagrange associés aux couples de pxi, fpxiqqiPv0,nw.

Alors la suitepLnpfqqně1des polynômes d'interpolation converge uniformémént vers f surra, bs.

Pour conclure, l'interpolation de Lagrange en des points équidistants n'est à utiliser qu'avec un nombre

6

de points assez faible : des phénomènes d'instabilités pouvant apparaître.

7

4.2 Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

8

Exercice 4.2.1

9

Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

4.Interpolation 4.2.Polynômed'interpolationdeLagrange-Hermite4.2.0Stabilité 137

Soient pxi, yi, ziqiPv0,nw n`1 triplets de R3, où les xi sont des points distincts deux à deux de l'intervallera, bs. Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite, notéHn,associé aux n`1 tripletspxi, yi, ziqiPv0,nw,est déni par

Hnpxiq “yi et H1npxiq “zi, @iP v0, nw (4.20) Q. 1 Quel est a priori le degré deHn?

On déni le polynômePn par

Pnpxq “

n

ÿ

i“0

yiAipxq `

n

ÿ

i“0

ziBipxq (4.21)

avec, pouriP v0, nw, Aiet Bi polynômes de degré au plus2n`1indépendants des valeursyi etzi. Q. 2 1. Déterminer des conditions susantes sur Ai et Bi pour quePn”Hn.

2. En déduire les expressions deAi etBi en fonction deLi et deL1ipxiqoù Lipxq “

n

ź

j“0 j‰i

x´xj

xi´xj.

Q. 3 Démontrer qu'il existe un unique polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite de degré au plus2n`1déni par (4.20).

1

Correction Exercice 2

Q. 1 On a2n`2équations, donc à prioriHn est de degré 2n`1. 3

Q. 2 1. D'après (4.21) on a pour toutjP v0, nw 4

Pnpxjq “

n

ÿ

i“0

yiAipxjq `

n

ÿ

i“0

ziBipxjq

Pour avoir Pnpxjq “yj il sut d'avoir 5

Aipxjq “δi,j et Bipxjq “0, @iP v0, nw. (4.22)

De même, on a 6

P1npxjq “

n

ÿ

i“0

yiA1ipxjq `

n

ÿ

i“0

ziB1ipxjq

et donc pour avoir P1npxjq “zj il sut d'avoir 7

A1ipxjq “0 et B1ipxjq “δi,j, @iP v0, nw. (4.23) 2. SoitiP v0, nw.On commence par déterminer le polynômeAi PR2n`1rXsvériant 8

Aipxjq “δi,j et A1ipxjq “0, @jP v0, nw.

Les points pxjqjPv0,nwztiu sont racines doubles de Ai. Le polynôme Li P RnrXs admet les mêmes 9 racines (simples) que Ai et donc L2i PR2nrXs admet les mêmes racines doubles queAi. On peut 10

alors écrire 11

Aipxq “αipxqL2ipxq avecαipxq PR1rXs.

Il reste à déterminer le polynôme αi.Or on a 12

Aipxiq “1 et A1ipxiq “0.

CommeLipxiq “1,on obtient 13

Aipxiq “αipxiqL2ipxiq “αipxiq “1

4.Interpolation 4.2.Polynômed'interpolationdeLagrange-Hermite4.2.0Stabilité

et

1

A1ipxiq “α1ipxiqL2ipxiq `2αipxiqL1ipxiqLipxiq “α1ipxiq `2αipxiqL1ipxiq “0 c'est à dire

2

αipxiq “1 et α1ipxiq “ ´2L1ipxiq.

Commeαi est un polynôme de degré1on en déduit

3

αipxq “1´2L1ipxiqpx´xiq et donc

4

Aipxq “ p1´2L1ipxiqpx´xiqqL2ipxq. (4.24) On détermine ensuite le polynômeBi PR2n`1rXsvériant

5

Bipxjq “0 et Bi1pxjq “δi,j, @j P v0, nw.

Les points pxjqjPv0,nwztiu sont racines doubles de Bi et le point xi est racine simple. Le polynôme

6

L2i PR2nrXsadmet les mêmes racines doubles. On peut alors écrire

7

Bipxq “Cpx´xiqL2ipxq avecCPR.

Il reste à déterminer la constanteC.OrLipxiq “1et commeBi1pxiq “1 on obtient

8

Bi1pxiq “CL2ipxiq `2Cpxi´xiqL1ipxiqLipxiq “C“1 ce qui donne

9

Bipxq “ px´xiqL2ipxq. (4.25) On vient de démontrer l'existence en construisant un polynôme de degré2n`1 vériant (4.20).

10

Q. 3 Deux démonstrations pour l'unicité sont proposées (la deuxième donne aussi l'existence).

11

dém. 1: SoientPetQdeux polynômes deR2n`1rXsvériant (4.20). Le polynômeR“P´QPR2n`1rXs

12

admet alorsn`1 racines doubles distinctes :px0,¨ ¨ ¨, xnq.Or le seul polynôme deR2n`1rXsayant

13

n`1 racines doubles est le polynôme nul et doncR“0,i.e. P“Q.

14

dém. 2: SoitΦ :R2n`1rXs ÝÑR2n`2 dénie par

15

@PPR2n`1rXs, ΦpPq “ pPpx0q,¨ ¨ ¨ ,Ppxnq,P1px0q,¨ ¨ ¨,P1pxnqq.

L'existence et l'unicité du polynômeHnest équivalente à la bijectivité de l'applicationΦ.Or celle-ci

16

est une application linéaire entre deux espaces de dimension 2n`2. Elle est donc bijective si et

17

seulement si elle injective (ou surjective). Pour vérier l'injectivité deΦil est nécessaire et susant

18

de vérier que son noyau est réduit au polynôme nul.

19

SoitPPker Φ.On a alorsΦpPq “0002n`2 et doncpx0,¨ ¨ ¨, xnqsontn`1racines doubles distinctes

20

de P. Or le seul polynôme de R2n`1rXsayant n`1 racines doubles est le polynôme nul et donc

21

P“0.

22

˛

23 24

Denition 4.10

25

Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

4.Interpolation 4.2.Polynômed'interpolationdeLagrange-Hermite4.2.0Stabilité 139

SoientnPN˚etpxi, yi, ziqiPv0,nwn`1triplets deR3,où lesxisont des points distincts deux à deux de l'intervallera, bs.Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite, notéHn,associé aux n`1 tripletspxi, yi, ziqiPv0,nw,est déni par

Hnpxq “

n

ÿ

i“0

yiAipxq `

n

ÿ

i“0

ziBipxq (4.26)

avec

Aipxq “ p1´2L1ipxiqpx´xiqqL2ipxq et Bipxq “ px´xiqL2ipxq (4.27) où

Lipxq “

n

ź

j“0 j‰i

x´xj

xi´xj

.

1

Théorème 4.11

Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite,Hn,associé auxn`1tripletspxi, yi, ziqiPv0,nw, est l'unique polynôme de degré au plus2n`1,vériant

Hnpxiq “yi et H1npxiq “zi, @iP v0, nw (4.28)

Exercice 4.2.2

Soitf PC2n`2pra, bs;Rq.On suppose de plus que,@iP v0, nw, xiP ra, bs, yi“fpxiqetzi“f1pxiq.

On note

πn2pxq “

n

ź

i“0

px´xiq2

etHnle polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite associé aux tripletspxi, fpxiq, f1pxiqqiPv0,nw. Q. 1 Montrer que

|fpxq ´Hnpxq| ď

››fp2n`2q

8

p2n`2q! πn2pxq. (4.29)

Indications : Etudier les zéros de la fonction Fpyq “ fpyq ´Hnpyq ´ fpxq ´Hnpxq

π2npxq π2npyq et appliquer le théorème de Rolle.

Correction Exercice 2

Q. 1 SoitiP v1, nw,on a fpxiq ´Hnpxiq “0 et l'inégalité (4.29) est donc vériée pourx“xi. 3

SoitxP ra, bstel quex‰xi,@iP v1, nw.On a alorsπ2npxq ‰0.Commef PC2n`2pra;bs;Rq,Hn PR2n`1rXs 4

etπnPRn`1rXs,on en déduit que 5

FPC2n`2pra;bs;Rq.

On note que πn2 admetpx0,¨ ¨ ¨, xnqcomme racines doubles distinctes. Par construction f´Hn admet 6 les mêmes racines doubles. On en déduit alors que F admet aussipx0,¨ ¨ ¨, xnq comme racines doubles. 7

De plus, on aFpxq “0(i.e. xest racine simple) et donc 8

F admet au moins2n`3racines (comptées avec leurs multiplicités). 9 Les pointsx, x0,¨ ¨ ¨, xn étant distincts, la fonctionF1admet par le théorème de Rollen`1zeros distincts 10 entre eux et distincts des points x, x0,¨ ¨ ¨ , xn. De plus les pointsx0,¨ ¨ ¨, xn sont racines de F1 puisque 11

racines doubles deF.On en déduit alors que 12

F1 admet au moins2n`2 racines distinctes deux à deux. 13

4.Interpolation 4.2.Polynômed'interpolationdeLagrange-Hermite4.2.0Stabilité

Par applications successives du théorème de Rolle, on abouti a :

1

Fp2n`2q admet au moins une racine notéeξxPsa, br.

2

On a alors

3

Fp2n`2qxq “0“fp2n`2qxq ´Hp2n`2qnxq ´fpxq ´Hnpxq π2npxq

d2n`2πn2 dx2n`2xq CommeHn P R2n`1rXs on aHp2n`2qn ”0. De plus commeπ2npxq “

n

ź

i“0

px´xiq2 PR2n`2rXs sa dérivée

4

d'ordre2n`2est constante et

5

d2n`2πn2

dx2n`2 “ p2n`2q!

On en déduit alors

6

fp2n`2qxq “ fpxq ´Hnpxq

πn2pxq p2n`2q!

On a donc montrer que@xP ra, bs DξxPsa, br tels que

7

fpxq ´Hnpxq “ π2npxq

p2n`2q!fp2n`2qxq.

Commeπ2npxq ě0 on obtient bien (4.29).

8

˛

9 10

Théorème 4.12

SoientnPN˚etx0,¨ ¨ ¨, xn, n`1points distincts de l'intervallera, bs.Soientf PC2n`2pra;bs;Rqet Hnle polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite associé auxn`1tripletspxi, fpxiq, f1pxiqqiPv0,nw. On a alors @xP ra, bs,DξxP pminpxi, xq,maxpxi, xqq,tels que

fpxq ´Hnpxq “fp2n`2qxq p2n`2q!

n

ź

i“0

px´xiq2 (4.30)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x -0.5

0 0.5

1 Polynomes d'interpolation de Lagrange-Hermite avec n=6 H6(x) f(x)=1/(1+25 x 2) Points uniformes

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x -0.5

0 0.5

1 Polynomes d'interpolation de Lagrange-Hermite avec n=6 H6(x) f(x)=1/(1+25 x 2) Points Tchebycheff

Figure 4.9: Polynôme d'interpolation de lagrange-Hermite avecn“6(7 points) pour la fonctionf :xÝÑ 1{p1`25x2q.A gauche avec des points uniforméments répartis et à droite avec des points de Tchebychev

Exercice 4.2.3

11

Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

4.Interpolation 4.2.Polynômed'interpolationdeLagrange-Hermite4.2.0Stabilité 141

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x -0.5

0 0.5

1 Polynomes d'interpolation de Lagrange-Hermite avec n=10 H10(x) f(x)=1/(1+25 x 2) Points uniformes

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x -0.5

0 0.5

1 Polynomes d'interpolation de Lagrange-Hermite avec n=10 H10(x) f(x)=1/(1+25 x 2) Points Tchebycheff

Figure 4.10: Polynôme d'interpolation de lagrange-Hermite avec n “ 10 (11 points) pour la fonction f :xÝÑ1{p1`25x2q. A gauche avec des points uniforméments répartis et à droite avec des points de Tchebychev

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x -0.5

0 0.5

1 Polynomes d'interpolation de Lagrange-Hermite avec n=18 H18(x) f(x)=1/(1+25 x 2) Points uniformes

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x -0.5

0 0.5

1 Polynomes d'interpolation de Lagrange-Hermite avec n=18 H18(x) f(x)=1/(1+25 x 2) Points Tchebycheff

Figure 4.11: Polynôme d'interpolation de lagrange-Hermite avec n “ 18 (19 points) pour la fonction f :xÝÑ1{p1`25x2q. A gauche avec des points uniforméments répartis et à droite avec des points de Tchebychev

4.Interpolation 4.2.Polynômed'interpolationdeLagrange-Hermite4.2.0Stabilité

Ecrire une fonction algorithmique Hermite permettant de calculerHn (polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite associé auxn`1tripletspxi, yi, ziqiPv0,nw) entPR.

1

Correction Exercice

2 But : Calculer le polynômeHnptqdénit par (4.26)

Données : XXX : vecteur/tableau deRn`1, Xpiq “xi´1 @iP v1, n`1wet

D'après la Dénition 4.10, on a Hnptq “

La fonction que l'on va écrire use (et certains diront abuse) de fonctions.

7

Algorithme 4.2 Fonction Hermite permettant de calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange-HermiteHnptqdénit par (4.26)

1: FonctionpHÐ Hermite(X, Y, Z, t)

Les diérentes fonctions utilisées pour la fonctionHermite (directement ou indirectement) sont les

8

Exercices

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité 143

Algorithme 4.3 Fonction polyA permettant de calculer le polynôme AientPRdonné parAiptq “ p1´2L1ipxiqpt´xiqqL2iptq

1:FonctionyÐ polyA (i, XXX, t)

2: yÐ p1´2˚polyLppi, Xq ˚ pt´Xpi`1qqq ˚ ppolyLpi, X, tqq2 3:Fin Fonction

Algorithme 4.4 Fonction polyB permettant de calculer le polynôme BientPRdonné parBiptq “ pt´xiqL2iptq

1:FonctionyÐ polyB (i, XXX, t) 2: yÐ pt´Xpi`1qq ˚ ppolyLpi, X, tqq2 3:Fin Fonction

1

Algorithme 4.5 Fonction polyL permettant de calculer le polynôme LientPRdonné parLiptq “

n

ź

j“0,j‰i

t´xj

xi´xj

1:FonctionyÐ polyL (i, XXX, t) 2: yÐ1

3: PourjÐ0àn,pj„“iq faire

4: yÐy˚ pt´Xpj`1qq{pXpi`1q ´Xpj`1qq 5: Fin Pour

6:Fin Fonction

Algorithme 4.6 Fonction polyLp permettant de calculerL1ipxiq “

n

ÿ

k“0,k‰i

1 xi´xk

1:FonctionyÐ polyLp (i, XXX) 2: yÐ0

3: PourkÐ0àn,pk„“iq faire 4: yÐy`1{pXpi`1q ´Xpk`1qq 5: Fin Pour

6:Fin Fonction

2

Bien évidemment une telle écriture est loin d'être optimale mais elle a l'avantage d'être facile à 3 programmer et facile à lire car elle "colle" aux formules mathématiques. 4 On laisse le soin au lecteur d'écrire des fonctions plus performantes... ˛ 5 6

4.3 Exercices

7

Exercice 4.3.1

Q. 1 1. Ecrire explicitement un polynôme P de degré2 passant par les points A“ p1; 2q, B “ p2; 6qetC“ p3; 12q.

2. Démontrer que le polynômePest l'unique polynôme de degré2 passant par les pointsA, B et C.

Q. 2 Ecrire explicitement un polynômeQde degré3 tel que

Qp1q “4, Qp2q “5,

Q1p1q “3, Q1p2q “2.

Exercice 4.3.2

Q. 1 Construire les polynômesh00, h10, h01 et h11 de degré 3vériant

h00p0q “1,h100p0q “h00p1q “h100p1q “0, (4.32) h10p1q “1,h10p0q “h100p0q “h110p1q “0, (4.33) h101p0q “1,h01p0q “h01p1q “h101p1q “0, (4.34) h111p1q “1,h11p0q “h111p0q “h11p1q “0; (4.35) On pose

Ppxq “αh00pxq `βh10pxq `γh01pxq `δh11pxq. (4.36) Q. 2 Quelles sont les particularités deP?

Soient aetbdeux réels, aăbetQle polynôme de degré3vériant Qpaq “ua, Q1paq “va, Qpbq “ub etQ1pbq “vb. Q. 3 Exprimer le polynômeQavec les fonctionsh00, h10, h01 eth11.

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité

Exercice 4.3.3

Soitt0ăt1deux nombres réels et soit εun réel tel que0ăεă t1´t2 0. Q. 1 Expliciter un polynôme Pε de degré3 tel que

Pεpt0q “Pεpt0`εq “1, (4.37)

Pεpt1q “Pεpt1`εq “0. (4.38)

On note Φ0ptq “lim

εÑ0Pεptq.

Q. 2 1. Montrer queΦ0pt0q “1,Φ10pt0q “0, Φ0pt1q “0 etΦ10pt1q “0 (i.e. Φ0 est une fonction de base des polynômes de degré3 pour l'interpolation de Hermite).

2. Peut-on obtenir toutes les fonctions de base de Hermite par des procédés analogues. Si oui, expliquer comment!

Exercices

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité 145

Exercice 4.3.4:

SoientpxiqiPNune suite de points distincts de l'intervallera, bsetfune fonction dénie surra, bsà valeurs réelles.

On désigne parfrsles diérences divisées de la fonctionfdénie par

frxis “fpxiq, @iPN, (ordre 0) (4.39)

et

frxk, . . . , xk`rs “frxk`1, . . . , xk`rs ´frxk, . . . , xk`r´1s xk`r´xk

, @kPN, @rPN˚, (ordre r) (4.40) Q. 1 Montrer que

frxk, . . . , xk`rs “

k`r

ÿ

i“k

fpxiq

k`r

ź

j“k j‰i

pxi´xjq

, @kPN, @rPN˚. (4.41)

Q. 2 Soitσune permutation des entierstk, . . . , k`ru.Montrer que

frxk, . . . , xk`rs “frxσp1q, . . . , xσpr`1qs. (4.42) On noteQk,rle polynôme d'interpolation associé auxr`1couplespxk`i, fpxk`iqqiPv0,rw.

Q. 3 1. Exprimer le polynômeQk,1en fonction deQk,0. 2. Exprimer le polynômeQk,1en fonction deQk,0etQk`1,0. 3. En déduire que

Qk,1pxq “Qk,0pxq `frxk, xk`1spx´xkq. (4.43) Q. 4 1. Exprimer le polynômeQk,2en fonction deQk,1.

2. Exprimer le polynômeQk,2en fonction deQk,1etQk`1,1. 3. En déduire que

Qk,2pxq “Qk,1pxq `frxk, xk`1, xk`2spx´xkqpx´xk`1q. (4.44) Q. 5 1. Montrer que

Qk,rpxq “Qk,r´1pxq `frxk, . . . , xk`rs

r´1

ź

j“0

px´xk`jq (4.45)

Indication : Eectuer une démonstration par récurrence en écrirant le polynômeQk,r sous deux formes : l'une en fonction deQk,r´1et l'autre en fonction deQk,r´1etQk`1,r´1.

2. En déduire

Qk,rpxq “frxks `

r

ÿ

i“1

frxk, . . . , xk`is

i´1

ź

j“0

px´xk`jq (4.46)

Q. 6 On suppose quefPCrpra, bs;Rq.Montrer qu'il existeξPs min

iPv0,rwxk`i; max

iPv0,rwxk`irtel que frxk, . . . , xk`rs “ fprqpξq

r! . (4.47)

Q. 7 On supposef PCr`1pra;bs;Rq. Montrer que,@xP ra;bs, il existe ξxappartenant au plus petit intervalle fermé contenantx, xk, . . . , xk`rtel que

fpxq ´Qk,rpxq “ źr

j“0

px´xk`jq

pr`1q! fpr`1qxq. (4.48)

1

2

Exercice 4.3.5

3

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité

SoitXXX “ pxiqiPv0,nwn`1points deux à deux distincts de l'intervallera, bs.On notesle changement de variables s : t ÝÑ a` pb´aqt de r0,1s à valeurs dans ra, bs. Pour tout i P v0, nw, on note ti“s-1pxiq “ xb´ai´a etTTT “ ptiqiPv0,nw.

Les polynômes d'interpolation de Lagrange Lnpfq et Lnpgq associés respectivement aux points pxi, fpxiqqiPv0,nwet pti, gptiqqiPv0,nwsont dénis par

Exercice 4.3.6: Spline cubique

7

Exercices

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité 147

Soientně3un entier eta“x0ăx1. . .ăxn´1ăxn“bune discrétisation régulière de l'intervalle ra, bs. On note h “xk`1´xk. Une fonction s dénie surra;bs à valeurs réelles s'appelle spline cubique si elle est deux fois continûment diérentiable et si, sur chaque intervallerxk´1;xks, elle est polynomiale de degré inférieur ou égal à3.

Soitf PC2pra;bs;Rqetsune spline cubique vériant

spxiq “fpxiq “fi, @iP v0, nw. (4.49) Q. 1 Montrer que si

s2pbqpf1pbq ´s1pbqq “s2paqpf1paq ´s1paqq (4.50) alors

żb a

ps2pxqq2dxď żb

a

pf2pxqq2dx. (4.51)

Indications : Poserr“f ´set montrer par intégrations par parties queşb

as2pxqr2pxqdx“0.

Soient kP v1, nw etSk un polynôme de degré inférieur ou égal à3 vériant

$

’’

’&

’’

’%

Skpxk´1q “fk´1 (4.52a)

Skpxkq “fk (4.52b)

S2kpxk´1q “mk´1 (4.52c)

S2kpxkq “mk. (4.52d)

Q. 2 1. Montrer l'existence et l'unicité du polynômeSk. 2. Montrer que polynômeSk peut s'écrire sous la forme

Skpxq “akpxk´xq3`bkpx´xk´1q3kpxk´xq `βkpx´xk´1q (4.53) en explicitant les coecients pak, bk, αk, βkqen fonction depfk´1, fk, mk´1, mkqeth.

On noteg la fonction dont la restriction à chaque intervallerxk´1;xks, kP v1, nw,estSk. Q. 3 1. Vérier que g est bien dénie surra;bs.

2. Montrer queg est une spline cubique si et seulement si,@kP v1, n´1w, mk`1`4mk`mk´1“ 6

h2pfk`1´2fk`fk´1q. (4.54) Q. 4 1. Montrer qu'une condition nécessaire et susante pour que g soit une spline cubique et vérie g2paq “0, g2pbq “0, est que le vecteurMMM PRn`1 “ pm0, m1, . . . , mnqt soit solution d'un système linéaire de la forme

AMMM “bbb (4.55)

que l'on précisera.

2. Montrer que la matriceAest inversible.

1

Correction Exercice 2

Théorème 4.13: Intégration par parties SoientuPC1pra;bs;RqetvPC1pra;bs;Rqalors

żb a

u1pxqvpxqdx“ rupxqvpxqsba´ żb

a

upxqv1pxqdx.

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité Montrons queşb

as2pxqr2pxqdx“0.

On ne peut eectuer une intégration par partie pourşb

as2pxqr2pxqdxcarr2 ets2 ne sont pas dérivables.

Par contre, on a

żb

En sommant, on abouti a żb

a

s2pxqr2pxqdx“s2pxnqh1pxnq ´s2px0qh1px0q “s2pbqh1pbq ´s2paqh1paq.

Sous l'hypothèse (4.50) on a bienşb

as2pxqr2pxqdx“0.L'équation (4.57) devient alors żb

L'existence et l'unicité du polynômeSk est équivalente à la bijectivité de Φk.Cette dernière étant une application entre deux espaces vectoriels de même dimension nie 4, elle est bijective si et seulement si elle est injective. Pour établir l'injectivité de Φk il faut montrer que son noyau est réduit au polynôme nul.

Soit P P ker Φk alors ΦkpPq “ 0R4. On en déduit que xk´1 et xk sont racines de P, et P s'écrit alors sous la forme

Ppxq “ px´xk´1qpx´xkqQpxq avecQpxq “αx`β polynôme de degré1.

On a

P1pxq “ px´xk´1qQpxq ` px´xkqQpxq `αpx´xk´1qpx´xkq

Exercices

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité 149

et

P2pxq “2pQpxq `αpx´xk´1q `αpx´xkq.

CommeP2pxk´1q “P2pxkq “0,on obtient

"

Qpxk´1q `αpxk´1´xkq “ 0, Qpxkq `αpxk´xk´1q “ 0, ðñ

"

αpxk´1´hq `β “ 0, αpxk`hq `β “ 0,

En soustrayant la première équation à la deuxième, on obtient3αh“0.Commeh‰0, on obtient 1

α“β“0.D'oùQ”0et doncP ”0. 2

2. On aSk2pxq “6akpxk´xq `6bkpx´xk´1q.Pour détermineraketbk,on utilise les équations (4.52c) et (4.52d) qui deviennent respectivement6hak “mk´1et 6hbak “mk.On obtient

ak “ mk´1

6h etbk“ mk

6h.

Pour déterminerαk et βk on utilise les équations (4.52c) et (4.52d) qui deviennent respectivement akh3kh“fk´1et bkh3kh“fk.

En remplaçantak etbk par leurs valeurs, on obtient αk“ fk´1

h ´h

6mk´1et βk “fk

h ´h 6mk.

Q. 3 1. On a par dénition@kP v1, nw, gpxq “Skpxq,@xP rxk´1, xks.Le problème de dénition deg provient du fait queg est dénie deux fois enxk,kP v1, n´1w. En eet, on a

gpxkq “Skpxkqetgpxkq “Sk`1pxkq.

Or par construction desSk, on aSkpxkq “Sk`1pxkq “fk et donc la fonctiong est bien dénie sur 3

ra, bs. 4

2. Par construction, sur chaque intervallerxk´1;xks, la fonctiong est polynomiale de degré inférieur ou égal à3.Pour quelle soit un spline cubique, il reste à démontrer qu'elle est deux fois continûment diérentiable surra, bs.Il sut pour celà de vérier qu'en chaque pointxk, kP v1, n´1w,la fonction g est continue et admet des dérivées premières et secondes.

La continuité est immédiate puisquegpxkq “fk.Pour les dérivées premières et secondes, il faut que leurs limites à gauche et à droite soient égales, c'est à dire

@kP v1, n´1w, Sk1pxkq “Sk`11 pxkqet Sk2pxkq “Sk`12 pxkq.

Par construction des Sk, la seconde équation est immédiate : Sk2pxkq “ S2k`1pxkq “ mk. On a S1kpxq “ ´3akpxk´xq2`3bkpx´xk´1q2´αkk et donc

Sk1pxkq “3bkh2´αkk“ h 2mk` 1

hpfk´f k´1q ´h

6pmk´mk´1q De même, on obtient

Sk`11 pxkq “ ´3ak`1h2´αk`1k`1“ ´h 2mk`1

hpfk`1´f kq ´h

6pmk`1´mkq Doncg sera dérivable enxk siSk1pxkq “Sk`11 pxkq,c'est à dire si

h 2mk` 1

hpfk´f k´1q ´h

6pmk´mk´1q “ ´h 2mk`1

hpfk`1´f kq ´h

6pmk`1´mkq ce qui s'écrit encore, @kP v1, n´1w,

mk`1`4mk`mk´1“ 6

h2pfk`1´2fk`fk´1q

4.Interpolation 4.3.Exercices4.3.0Stabilité

Q. 4 1. La conditiong2paq “0se traduit parS12px0q “0or par (4.52c) aveck“1on aS21px0q “m0

d'oùm0“0.

La conditiong2pbq “0se traduit parS2npxnq “0or par (4.52d) aveck“non aS2npxnq “mn d'où mn“0.

Pour déterminer les mk, k P v0, nw, on a n`1 équations linéaires qui s'écrivent sous la forme matricielleAMMM “bbbavec

A

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

1 0 0 . . . 0 1 4 1 ... ...

0 ... ... ... 0 ... ... 1 4 1 0 . . . 0 0 1

˛

etbbb“ 6 h2

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˝

0 f0´2f1`f2

...

fn´2´2fn´1`fn 0

˛

2. La matriceAest à diagonale strictement dominante : elle est donc inversible.

1

˛

2 3

5

Chapitre 5