Résolution de systèmes linéaires
3.1 Méthodes directes
3.1.2 Exercices et résultats préliminaires
1
Exercice 3.1.2: correction page 200
SoitAPMn,npCqune matrice etpλ, uuuqun élément propre deAavec}uuu}2“1.
Q. 1 En s'aidant de la base canonique teee1, . . . , eeenu, construire une base orthonormée txxx1, . . . , xxxnu telle quexxx1“uuu.
Notons Pla matrice de changement de base canoniqueteee1, . . . , eeenudans la basetxxx1, . . . , xxxnu:
P“
¨
˝ xxx1 . . . xxxn
˛
‚
SoitBla matrice dénie parB“P˚AP.
Q. 2 1. Exprimer les coecients de la matriceBen fonction de la matriceAet des vecteursxxxi, iP v1, nw.
B“P˚AP.
2. En déduire que la première colonne de Bestpλ,0, . . . ,0qt.
Q. 3 Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice que la matrice As'écrit A“UTU˚
oùU est une matrice unitaire etTune matrice triangulaire supérieure.
Q. 4 En supposant Ainversible et la décompositionA“UTU˚ connue, expliquer comment résoudre
"simplement" le système linéaireAxxx“bbb.
Correction Exercice 3.1.2
2
Q. 1 La première chose à faire est de construire une base contenant uuu à partir de la base
canon-3
ique teee1, . . . , eeenu. Comme le vecteur propre uuu est non nul, il existe j P v1, nw tel que xuuu, eeejy ‰ 0. La
4
familletuuu, eee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenuforme alors une base deCn caruuun'est pas combinaison linéaire des
5
teee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenu.
6
On notetzzz1, . . . , zzznula base dont le premier élément estzzz1“uuu:
7
tzzz1, . . . , zzznu “ tuuu, eee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenu.
Méthodes directes
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires 61
On peut ensuite utiliser le procédé de Gram-Schmidt, rappelé en Proposition B.19, pour construire une base orthonormée à partir de cette base.
On calcule successivement les vecteursxxxi à partir de la base tzzz1, . . . , zzznuen construisant un vecteurwwwi
puis on obtient le vecteurxxxi en normalisant x x xi“ wwwi
}wwwi}
Q. 2 1. En conservant l'écriture colonne de la matricePon obtient
B“
Q. 3 On veut démontrer, par récurrence faible, la proposition suivante pourně2 3
pPnq @APMnpCq, DUPMnpCqunitaire, DTPMnpCqtriangulaire supérieure, telles queA“UTU˚.
Initialisation : Montrons quepP2qest vérié. 4
Soit A2 P M2pCq. Elle admet au moins un élément propre pλ, uuuq(voir Proposition B.36 par ex.) 5 avec }uuu} “1. On peut donc appliquer le résultat de la question précédente : il existe une matrice 6 unitaireP2PM2pCqtelle que la matrice B2 “P2A2P˚2 ait comme premier vecteur colonnepλ,0qt. 7
La matriceB2est donc triangulaire supérieure et commeP2est unitaire on en déduit 8 A2“P˚2B2P2.
On poseU2“P˚2 matrice unitaire etT2“B2 matrice triangulaire supérieure pour conclure que la 9
propostion pP2qest vraie. 10
Hérédité : Supposons quepPn´1qsoit vériée. Montrons quepPnqest vraie. 11
Soit An PMnpCq. Elle admet au moins un élément propre pλ, uuuq (voir Proposition B.36 par ex.) 12
avec }uuu} “1. On peut donc appliquer le résultat de la question précédente : il existe une matrice 13 unitairePnPMnpCqtelle que la matriceBn“PnAnP˚n s'écrivent 14
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires
oùcccn´1PMn´1pCqetAn´1PMn´1pCq.Par hypothèse de récurrence,DUn´1PMn´1pCqunitaire
1
etTn´1PMn´1pCqtriangulaire supérieure telles que
2
La matriceQn est unitaire. En eet on a
5
La matriceTn est donc triangulaire supérieure et on a par dénition deBn
6
Méthodes directes
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires 63
1. on chercheyyysolution deTyyy“U˚bbb.CommeUest unitaire on adetpUqdetpU˚q “detpIq “1et donc detpAq “detpUTU˚q “detpUqdetpTqdetpU˚q
“detpTq
Or A inversible équivalent à detpAq ‰ 0 et donc la matrice T est inversible. La matrice T étant 1 triangulaire supérieure on peut résoudre facilement le système par la méthode de remontée. 2 2. une foisyyy déterminé, on résoudU˚xxx“yyy.CommeUest unitaire, on obtient directementxxx“Uyyy. 3
˛ 4
On tire de cet exercice le théorème suivant 5
Théorème 3.1: Décomposition de Schur
SoitAPMnpCq.Il existe une matrice unitaireUet une matrice triangulaire supérieureTtelles que
A“UTU˚ (3.5)
Proof. voir Exercice 3.1.2 6
Théorème 3.2: Réduction de matrices
1. SoitAPMnpCq.Il existe une matrice unitaireUtelle queU-1AUsoit triangulaire.
2. SoitAPMnpCqune matrice normale. Il existe une matrice unitaireUtelle queU-1AUsoit diagonale.
3. Soit A P MnpRq une matrice symétrique. Il existe une matrice orthogonale Ptelle que P-1APsoit diagonale.
Proof. voir [1] Théorème 1.2-1 page 9 7
Exercice 3.1.3: Matrice d'élimination
8
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires oùeee1 est le premier vecteur de la base canonique deCn.
SoitmPN˚.On noteErm,vvvsPMm`npCqla matrice triangulaire inférieure à diagonale unité dénie
2. Déterminer l'inverse deErm,vvvs en fonction de l'inverse deErvvvs. SoitCla matrice bloc dénie par
C“
Q. 1 1. La matrice Ervvvs est triangulaire : son déterminant est donc le produit de ses éléments
diago-3
naux (voir Proposition B.51, page 191). On a alorsdetpErvvvsq “1.
4
La matrice X est donc solution de ErvvvsX “ I. Grace à l'écriture bloc des matrices on en déduit
Méthodes directes
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires 65
rapidement la matriceX. En eet, en utilisant les produits blocs des matrices, on obtient
ErvvvsX“
Ceci revient à résoudre les4 équations 2
a“1, bbb˚“000tn´1, aeee`ccc“000n´1 et eeebbb˚`D“In´1
Il aurait été plus rapide d'utiliser la Proposition B.52, page 191.
Q. 2 1. Pour simplier les notations, on noteE“ErAAA1s.Par dénition du produit de deux matrices 4
En conclusion, la matriceA˜ s'écrit 9
A˜“
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires
Q. 3 1. La matrice Erm,vvvs est triangulaire inférieure. Son déterminant est donc le produit de ses
4
éléments diagonaux. Comme cette matrice est à diagonale unité (i.e. tous ses éléments diagonaux
5
valent1), on obtientdetErm,vvvs“1.
6
Une autre manière de le démontrer. On peut voir que la matriceErm,vvvsest bloc-diagonale. D'après
7
la Proposition B.52, page 191, son déterminant est le produit des déterminant des blocs diagonaux
8
: detErm,vvvs“detImˆdetErvvvs“1.
9
2. On noteXl'inverse de la matriceErm,vvvs.Cette matrice s'écrit avec la même structure bloc
10 On doit donc résoudre les4équations suivantes :
12
X1,1Im“Im, X1,2In“O, X2,1Im“O et X2,2Ervvvs“In. Comme la matriceErvvvs est inversible, on obtient
13
Plus rapidement, comme la matriceErm,vvvsest bloc-diagonale, on en déduit (voir Proposition B.52, page 191) directement le résultat.
Q. 4 Le produitErm,vvvsCpeut s'eectuer par bloc car les blocs sont de dimensions compatibles et on a Erm,vvvsC“
On tire de cet exercice le lemme suivant
17
Lemme 3.3
SoitAPMnpCqavecA1,1‰0.Il existe une matriceEPMnpCqtriangulaire inférieure à diagonale unité telle que
EAeee1“A1,1eee1 (3.11) oùeee1 est le premier vecteur de la base canonique deCn.
Exercice 3.1.4: Matrice de permutation
18
Méthodes directes
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.2Exercicesetrésultatspréliminaires 67
Soitpi, jq P v1, nw2,on notePri,jsn PMnpRqla matrice identitée dont on a permuté les lignes ietj.
Q. 1 Représenter cette matrice et la dénir proprement.
SoitAPMnpCq.On noteAAAr,: ler-ème vecteur ligne deAetAAA:,s les-ème vecteur colonne deA.
Q. 2 1. Déterminer Pri,jsn Aen fonction des vecteurs lignes de A.
2. DéterminerAPri,jsn en fonction des vecteurs colonnes deA.
Q. 3 1. Calculer le déterminant dePri,jsn . 2. Déterminer l'inverse dePri,jsn .
1
Correction Exercice 3.1.4 On noteP“Pri,jsn . 2
Q. 1 On peut dénir cette matrice par ligne, 3
$
ou par colonne 4
$
On peut noter que la matricePest symétrique. 6
Q. 2 1. On noteD“PA.Par dénition du produit matriciel on a 7
3.Résolutiondesystèmeslinéaires 3.1.Méthodesdirectes3.1.3MéthodedeGauss-Jordan,écriturematricielle
2. On noteE“AP.Par dénition du produit matriciel et par symétrie dePon a
1 On obtient en raisonnant par colonne,@rP v1, nw,