rant des câbles inélastiques de type segments de longueurs figées, Roberts et collab.
définissent le statut « complètement contraint » de la plate-forme comme les poses aux- quelles aucun mouvement n’est alors possible. Roberts et collab. [1998, theorème 3] définissent uneCondition Nécessaire et Suffisante (CNS) pour une configuration com- plètement contrainte en une pose non-singulière X : que le noyau de la matrice de la correspondance des efforts articulaires et cartésiens J−T contienne un vecteur aux
composants strictement positifs :
W CW = X ∈ R6 ker J−T(X)∩ R∗+dim(ker(J −T )) 6= {} (5.4)
Compléments et nouvel espace de travail
Dans le cas des CDPRs suspendus, la masse de la plate-forme est généralement élevée de part les types d’applications1. Dans le cas d’efforts extérieurs dans le cadre
de l’application inférieurs en norme à la valeur du poids de la plate-forme, ce poids agit effectivement, et pour toute l’application, comme un câble supplémentaire. La clô- ture d’effort de l’espace de travail précédent peut donc être définie par extension pour un tel CDPR suspendu. Aussi, on définira « l’Espace de travail de clôture par équi- libre statique – ou Static Equilibrium-Closed Workspace (SECW)», utilisant la matrice
˜
J−T correspondant à la matrice de correspondance des efforts du robot, augmentée de
l’action du poids de la plate-forme et formellement définie section5.4 :
SECW = X ∈ R6 ker ˜ J−T (X)∩ R∗+dim(ker(J˜−T)) 6= {⊘} (5.5)
1. Transport d’une personne avecMARIONET-CRANE,MARIONET-ASSIST, et RoboCrane (in-
carnation du NIST de 2006) ; de plusieurs personnes ou de parties d’infrastructures civiles avecCa- bleBot; de conteneurs de 20 à 40 pieds avecRoboCrane/LVI Lo/Lo, et cætera.
5.2.4 Espace de travail des efforts faisables (WFW)
Rappel du chapitre d’introduction
L’Espace de travail des efforts faisables – ou Wrench-feasible Workspace (WFW), est l’espace où les actionneurs permettent d’équilibrer n’importe quelle action parmi un certain domaine appliquée à la plate-forme, et dont les câbles ont des tensions comprises à l’intérieur de limites données.
La définition du WFWdonnée dans l’introduction est :
W F W(T , W) =nX ∈ R6 ∀w ∈ W, ∃τ ∈ Rm+, J−T(X) τ = w o ∩ n X ∈ R6
∀i ∈ J1 ; mK tel que le câble i n’est pas lâche, τi ∈ [τimin; τimax] o
Compléments
Cette définition n’est guère exploitable, mais maintenant que les concepts des CC
et CFC sont définis, on peut la reformuler :
W F W(T , W) =nX ∈ R6 ∀w ∈ W, ∃τ ∈ Rm+, J−T(X) τ = w o ∩nX ∈ R6 ∀i ∈ J1 ; mK ∩ C(F )C(X), τi ∈ T |i o (5.6) avec T la boîte définissant les contraintes sur les tensions des câbles sans considération de statut :
T = {τ ∈ Rm | ∀i ∈ J1 ; mK, τi ∈ [τimin; τimax]}
Dans la définition de Bosscher et Ebert-Uphoff [2004]; Riechel et Ebert- Uphoff [2004], l’idée était d’étendre le WCW pour inclure les domaines des confi- gurations de facto contraintes par l’effort appliqué sur la plate-forme. L’utilité de cet espace est alors d’assurer la faisabilité des équilibres pour des efforts « raisonnables », ou faisables, c’est à dire quelque soit l’effort appliqué sur la plate-forme dans le cadre de l’application (l’effort faisable par l’extérieur au robot, sur le robot).
Dans la définition deGouttefardeet collab.[2011], il s’agit d’une part de vérifier la contrainte maximum des câbles dans la gamme d’utilisation de l’application pour prévenir le mode de défaillance par rupture, voir de limiter la fatigue en imposant un grand facteur de sécurité entre la tension de rupture et la tension maximale autorisée ; mais aussi d’assurer une rigidité minimale à la plate-forme en toute pose de cet espace. Sans considérer les CCs/CFCs, cette définition pratique est très limitante, puisque restreignant le WFWaux poses de CC comprenant l’ensemble des câbles.
Le WFW tel que défini ici combine les deux volontés : la première partie de la définition (5.6) du WFW contient le WCW, un effort quelconque restreignant plus l’espace des poses auxquelles il peut s’appliquer sans déplacement de la plate-forme qu’un effort limité par une quantité connue ; et la seconde partie limite la tension des câbles soumis aux plus grandes contraintes puisque les câbles lâches ne sont que très peu sollicités ; elle établit aussi une rigidité minimum, dépendante de la boîte d’effort extérieurs W. De part cette description et les études simplifiées de la section3.4.1, il faut toutefois ajouter une contrainte de valeur minimum des seuils des tensions qui n’existe pas dans la définition de Gouttefardeet collab.: ∀i ∈ J1 ; mK, τimax≥ τimin ≥ µ0gρi.
Note 1. Le WFW définit l’ensemble des poses telles que les câbles équilibrent les efforts appliqués, ainsi que les listes des configurations de câbles (CCs ou CFCs) asso- ciées, et respectant des limites sur les tensions. Le respect de ces contraintes n’implique
pas la faisabilité de toute trajectoire dont les poses la composant sont toutes inclues
dans leWFW. Les garanties apportées par le WFW sont simplement que chacune des
CCspossibles définit une configuration des câbles à même de d’équilibrer une action ex- térieure sur la plate-forme, et qu’aucune des poses duWFWn’admet de configuration sous-contrainte (au sens des efforts faisables, c’est-à-dire en prenant en compte l’action extérieure) ; mais ces garanties relèvent de l’espace opérationnel (ou espace cartésien, avec nos définitions). Le passage d’une pose X1 à une pose X2 se fait dans l’espace
articulaire, et bien qu’il puisse exister des trajectoires articulaires telles que la pose en tout point de cette trajectoire soit dans leWFW, il existe potentiellement d’autres trajectoires articulaires, pour lesquelles certains points peuvent conduire à des poses hors du WFW. Comme le contrôle est empreint d’incertitudes (selon la manière dont le contrôleur gère la trajectoire articulaire, et selon l’influence des erreurs de mesure sur les câbles et sur les coefficients d’élasticité), il faudrait que l’ensemble des points de la trajectoire réelle correspondent effectivement à des poses du WFW.
Note 2. La notion de configuration complètement contrainte n’est définie que pour
des câbles de modèle segment. Pour rester le plus générique possible ici, on n’utilise ni cette terminologie, ni les outils associés pour la résolution.
5.2.5 Espace de travail des inclinaisons autorisées
Indépendamment des considérations de configurations contraintes, on peut vouloir seulement limiter l’effort maximum dans le câble, en particulier si le robot considéré est sous-contraint, ou si les configurations sous-contraintes sont autorisées. Cette limi- tation est d’intérêt particulier pour lesCDPRs suspendus : les applications de ceux-ci comportent généralement une masse élevée fixée à la plate-forme. L’effort induit dans un câble par l’effort vertical appliqué sur son point d’attache est inversement propor- tionnel au cosinus de l’angle de la verticale à la corde du câble, on a donc tout intérêt à limiter cette inclinaison, inclinaison des câbles alors établie avec la verticale (l’axe
z).
Sur un tout autre registre, il peut y avoir des contraintes physiques dans l’espace de la conception du robot sur les inclinaisons maximales ou minimales des câbles.
5.2.6 Espace de travail sans collision (NIW)
L’Espace de travail sans collision – ou Non-Interference Workspace (NIW). Cet espace est défini par les contraintes du chapitre précédent, par conséquent nous ne nous étendrons pas sur le sujet ici.
5.3 Résolution du modèle géométrique : GW et in-
clinaisons autorisées
Variables
Les équations du modèle géométrique sont paramétrées par les quantités connues suivantes :
— OAi, la position du guide de sortie du câble considéré, pouvant être n’importe
quelle position incluse dans une boîte de positions (position nominale et erreurs), boîte définie dans la conception du robot ;
— OQ, la position de la plate-forme, incluse dans la boîte de position courante, elle-même incluse dans la part de l’espace de travail requis pour la position de la plate-forme, défini par l’application ;
— R, la matrice de rotation dépendante des angles définissant l’orientation de la plate-forme, angles inclus dans la boîte d’orientation courante, elle-même incluse dans la part de l’espace de travail requis en orientation tel que défini par l’appli- cation ;
— QBi|Rm, la position du point d’attache mobile dans le repère de la plate-forme,
pouvant être n’importe quelle position incluse dans une boîte de positions (posi- tion nominale et erreurs) qui est définie dans la conception du robot.
Espace de travail géométrique
On considère ici l’évaluation des longueurs de corde des câbles d’unCDPR. Plutôt que d’exprimer explicitement ces longueurs, on garde la forme implicite exprimant le carré des longueurs des jambes pour éviter les évaluations coûteuses en temps de calcul des racines : ρj2 = kAiBik2 = −OAi+ OQ + RQBi|Rm 2 (5.7) Les expressions de ces carrés des longueurs des jambes sont évaluées sur une boîte de pose Bi, issue de l’algorithme de bissection principal du processus d’analyse, similaire
au schéma typique Algo. 2.1 des algorithmes de bissection introduit au chapitre 2, page 34.
Puisque le carré de la longueur des jambes est exprimé, on compare l’évaluation aux carrés des limites imposées par le GW. De plus, comme on utilise des intervalles et qu’on a une expression à base de fonctions carrées, le GWest rapidement obtenu en mettant en œuvre les heuristiques de contraction 2B (notamment) et 3B.
Espace de travail des inclinaisons autorisées
Pour les inclinaisons des cordes par rapport à la verticale (l’axe z), on commence par calculer les cosinus des inclinaisons, dépendants de la pose :
cos (αincli) =
AiBi|z
kAiBik (5.8)
Plutôt qu’une formulation explicite des orientations, on garde cette formulation, d’une part pour épargner le temps de calcul des réciproques des cosinus, et surtout car la fonction cosinus est paire, et permet donc d’évaluer la contrainte avec une seule inégalité : cos (αincli) ≤ cos (incl_maxi).