Réseaux de réactions cinétiques

On étend les réseaux de réactions en ajoutant à chaque réaction une expression cinétique, décrivant sa vitesse. On ajoute également des contraintes aux réseaux de réactions, permettant par exemple d’exprimer des conditions d’équilibre.

Expressions On note Vars un ensemble dénombrable de variables, que nous in- terpréterons plus tard comme des fonctions du temps vers les réels positifs. On suppose que pour chaque espèce moléculaire A ∈ Espèces, il existe une variable xA ∈ Vars représentant sa concentration. On a également besoin de la valeur de

sa concentration initialement, au temps t = 0. On suppose donc qu’il existe une variable (constante) x0_A ∈ Vars. On note Param un ensemble dénombrable de paramètres, qui seront interprétés comme des réels strictement positifs. Une ex- pression e ∈ Exprest une composition de variables, de paramètres et de nombres réels, en utilisant les opérateurs mathématiques de base. La syntaxe des expres- sions est définie formellement dans la Fig. 2.11, avec x ∈ Vars, k ∈ Param et a ∈ R. On note Vars(e) l’ensemble des variables de e, et Espèces(e) = {A | xA ∈ Vars(e)} l’ensemble de ses espèces. Notons que l’ensemble des espèces ne

prend pas en compte la présence des concentrations initiales dans une expressions. Ainsi, A < Espèces(x0

A). Par commodité, on utilise des parenthèses (e) quand la

priorité des opérateurs n’est pas claire, et on définit les notations usuelles présen- tées dans la Fig.2.11. Par exemple, k1x2AxB/(k2+ xD) est une expression, avec les

paramètres k1et k2, et les concentrations des espèces A, B et D.

Les expressions sont évaluées en assignant à chaque paramètre un réel stricte- ment positif, et à chaque variable une fonction du temps vers une concentra- tion, c’est-à-dire un réel positif. Soit β : Param → R>0 l’interprétation des

paramètres. On suppose dans la suite que β est fixé afin de simplifier les nota- tions, mais les simplifications seront correctes pour toute interprétation β. On

Syntaxe

e ∈ Expr ::= x | k | a | −e | e + e0 | ee0 | 1/e Notations e/e0 _{= e(1/e}0 ) e − e0 = e + (−e) en = e . . . e |{z} n f ois Interprétation ~xα = α(x) ~kα = λt ∈ R≥0. β(k)

~aα = λt ∈ R≥0. a ~−eα = −~eα

~e + e0α = ~eα+ ~e0α ~ee0α = ~eα∗ ~e0α

~1/eα =( 1/~eα si ∀t ∈ R≥0. ~eα(t) , 0

undef sinon.

Fig 2.11: Expressions, avec x ∈ Vars, k ∈ Param, a ∈ R.

note α : Vars → (R≥0 → R≥0) l’interprétation des variables, vérifiant pour toute

espèce A que sa concentration initiale x0_A soit constante au cours du temps et égale à la concentration xA au temps t = 0, c’est-à-dire ∀t. α(x0_A)(t) = α(xA)(0).

L’interprétation ~eα ∈ (R≥0 → R) ∪ {undef} d’une expression e ∈ Expr est alors

décrite dans la Fig.2.11. L’interprétation d’une expression e peut parfois être in- définie, notée ~eα = undef. C’est par exemple le cas pour l’expression 1/e s’il

existe un temps t tel que ~eα(t)= 0.

Réactions cinétiques et contraintes Une expression cinétique est une expres- sion e ∈ Expr toujours positive, c’est-à-dire telle que pour toute interprétation α : R≥0 → R≥0, pour tout temps t, on a ~eα(t) ≥ 0. Une réaction cinétique

r = s1As2; e est une paire composée d’une réaction s1As2 et d’une expres-

sion cinétique e. On notera kin(r) = e l’expression cinétique de la réaction r, qui représente la vitesse de la réaction au cours du temps. Lorsque qu’on représente graphiquement une réaction cinétique, on fait apparaître l’expression cinétique à coté du nœud représentant la réaction. Par exemple, la réaction r1 =

2A+ B AC + B ; k1x2AxB/(k2+ xD) sera représentée par :

A B C r1 k1x2AxB/(k2+ xD) 2

On appelle un modificateur de r une espèce A dont la quantité n’est pas mod- ifiée par la réaction r, mais influe sur la vitesse de la réaction, c’est-à-dire telle que stoicr(A) = 0 et A ∈ Espèces(kin(r)). Par exemple, B et D sont deux modifi-

cateurs dans la réaction r1 précédente. L’augmentation de la concentration de B

va ainsi accélérer la vitesse de la réaction, tandis que celle de D va la diminuer. Notons que la notion de modificateur est différente de celle d’activateur présentée précédemment. Par exemple, D ici n’est pas un activateur. Dans la sémantique non déterministe, une réaction n’est applicable que si ses activateurs (et ses autres réactants) sont présents dans la solution du réseau. En sémantique déterministe, elle est applicable au temps t si et seulement si l’interprétation de son expression cinétique au temps t est différente de zéro. La réaction précédente est ainsi appli- cable même si la concentration de xD vaut zéro. En pratique, les activateurs sont

souvent aussi des modificateurs, tandis que la réciproque est fausse. On verra un peu plus loin qu’en sémantique déterministe, on peut normaliser les réactions en supprimant les activateurs des réactants et des produits (sans modifier l’expression cinétique). Dans les représentations graphiques, les modificateurs d’une réaction seront en général indiqués avec une double flèche grisée et en pointillée. Ces flèches sont néanmoins optionnelles, puisque l’information est déjà présente dans l’expression cinétique de la réaction.

Une contrainte C ∈ Contraintes, dont la syntaxe est décrite dans la Fig.2.12, ajoute des restrictions aux comportements possibles d’un réseau cinétique. Une contrainte est construire comme la conjonction ∧ de contraintes atomiques. La contrainte atomique e= e0 impose que les expressions e et e0aient la même inter- prétation (et, en particulier, que leur interprétation soit bien définie). La contrainte cst(e) impose que l’interprétation de e soit constante au cours du temps. Les con- traintes e , 0 et e ≥ 0 imposent respectivement que e soit toujours différente de zero, ou toujours supérieure à zéro. La contrainte > est toujours vérifiée par défi- nition. On définit également par commodité la contrainte e > 0= (e ≥ 0 ∧ e , 0). Une contrainte peut ainsi représenter le fait qu’une espèce A est à l’équilibre, c’est-à-dire que sa concentration est constante au cours du temps (cst(xA)). Elle

peut aussi exprimer des lois de conservation, par exemple que la concentration totale de A et de B reste toujours la même (cst(xA+ xB)), des symétries entre des

espèces (xA = xB), ou encore des contraintes sur les conditions initiales (x0_A =

k1xB+ k2xC).

L’interprétation ~Cα des contraintes, définie formellement dans la Fig.2.12,

attribue à chaque contrainte C une valeur dans B ∪ {undef}.

Réseaux cinétiques Un réseau cinétique M = R&C est alors une paire avec Run ensemble de réactions cinétiques, et C une contrainte. On note R(M) = R

Syntaxe

C ∈ Contraintes::= cst(e) | e = e0 | e , 0 | e ≥ 0 | C ∧ C0 | > Interprétation

~cst(e)α = ∃c.∀t. ~eα(t)= c

~e = e0α =

( undef si ~eα= undef ou ~e0α= undef

~eα = ~e0α sinon.

~e , 0α = ∀t ∈ R≥0. ~eα(t) , 0 ~C ∧ C0α = ~Cα∧ ~C0α

~e ≥ 0α = ∀t ∈ R≥0. ~eα(t) ≥ 0 ~>α = true

Fig 2.12: Contraintes, avec e, e0 ∈ Expr.

l’ensemble des réactions d’un réseau M et C(M)= C sa contrainte. On note égale- ment Expr(M) l’ensemble des expressions apparaissant soit en cinétique d’une réaction de R, soit dans la contrainte C. Enfin, Espèces(M) est l’ensemble des espèces A telles que soit A est dans une réaction, soit il existe une expression e ∈ Expr(M) avec A ∈ Espèces(e).

De plus, on ne considérera que des réseaux cinétiques normalisés. Soit r = s1As2; e une réaction. On dit que r est normalisée si ses réactants et ses pro-

duits n’ont pas de molécules communes, c’est-à-dire s1 ∩ s2 = ∅. En notant

s = s1 ∩ s2, on notebr = s1− sAs2− s ; e la normalisation de r. En effet, pour la sémantique déterministe, il n’est nécessaire que de connaitre le vecteur de stœ- chiométrie stoicr, et on a trivialement stoicr(A) = stoicbr(A). Par exemple, la réac-

tion 2A+B AC+B ; k1x2AxB/(k2+xD) est normalisée en 2AAC ; k1x 2

AxB/(k2+xD).

Cette étape de normalisation n’est pas valable en sémantique non déterministe, puisqu’elle supprime les activateurs, et donc qu’une réaction normalisée n’est pas applicable de la même façon que la réaction originelle. En sémantique déter- ministe, on ne veut donc considérer que les réactions les plus simples pour ce vecteur, c’est-à-dire des réactions normalisées. Notons que dans la réaction ci- dessus, l’information sur le fait que l’espèce B doit nécessairement être présente pour pouvoir appliquer la réaction est déjà présente dans la cinétique : si xB = 0,

la vitesse de la réaction est directement égale à 0. Lors de la normalisation d’un réseau, on va également fusionner toutes les réactions ayant le même vecteur stœ- chiométrique, en sommant leurs cinétiques :

b

R= {r | r normalisée, kin(r) = X

r0∈ R, stoicr0= stoic_r

A B C D r1 k1x2_AxB/(k2+ xD) r2 k3xA 2

Fig 2.13: Représentation graphique du réseau cinétique M.

On note KinNets l’ensemble les réseaux cinétiques normalisés, et on ne con- sidère dans la suite que des réseaux normalisés.

Comme pour les réseaux sans cinétiques, on considère qu’on a un ensemble I fixé d’espèces internes. Alors, pour tout réseau M = R&C et tout contexte M0 = R0_&C0_{tel que Espèces(M}0_{) ∩ I}= ∅, on définit leur composition par :

M | M0 = R ∪ R0&C ∧ C0.

Exemple 13. On reprend l’exemple utilisé précédemment dans le cas non déter- ministe, en ajoutant des cinétiques et des contraintes : M = {r1, r2}&C. Les réac-

tions (normalisées) 2AAC ; k1x2AxB/(k2+ xD) et r2 = A AB ; k3xA sont représen-

tées graphiquement dans la Fig.2.13. On suppose que seule l’espèce B est interne. On prend ici la contrainte C= k2+ xD, 0 ∧ cst(xD). Elle impose que l’on ne fait

pas de division par zéro, donc que notre réseau soit bien défini, et que la concen- tration de D soit constante au cours du temps.