4.3 Sites adjacents, boucles et périmètre de site
4.3.3 Réseau triangulaire
Nous obtenons également des résultats valables sur le réseau triangulaire traitant du nombre de sites adjacents et de boucles. Notons que Bousquet-Mélou [5] étudie également le nombre de boucles des animaux sur le réseau triangulaire, mais utilise une définition différente des boucles, qui donne une série plus difficile à calculer. Nos méthodes ne per-mettent en revanche pas d’obtenir de résultat sur le périmètre ; on pense par ailleurs que la série donnant le périmètre total des animaux d’aire fixée est transcendante [15], ce qui laisse penser qu’une telle approche ne peut fonctionner.
Théorème 4.25. Les séries donnant le nombre total de sites adjacents et de boucles des
animaux de source incluse dans S et d’aire fixée sont J△ [S](t) = tM △ [S](t) − W△ [S](t) 1 + t ; (4.23) L△ [S](t) = tJ△ [S](t). (4.24)
Les mêmes séries comptant des animaux de source S sont J△ S(t) = tM △ S(t) + j(S)A△ S(t) − W△ S(t) 1 + t ; (4.25) L△ S(t) = tJ△ S(t). (4.26)
Nous n’avons cette fois besoin que de deux lemmes, un certain nombre de résultats sur le réseau carré se traduisant directement sur le réseau triangulaire.
Lemme 4.26. L’identité suivante est vérifiée :
L△
[S](t) = tJ△ [S](t).
Preuve. La preuve de ce lemme est identique à celle du lemme 4.20, à ceci près que
nous utilisons la bijection F↓ plutôt que Fs
↓, à cause du fait que nous travaillons sur des empilements généraux plutôt que presque stricts.
Comme pour le réseau carré, nous définissons les ensembles suivants, dont les éléments sont des empilements généraux dont les pièces minimales sont à positions dans S : – J△
[S] l’ensemble des empilements marqués de deux pièces adjacentes ; – I2△
[S] (resp. I3△
[S]) l’ensemble des empilements marqués de deux pièces indépendantes de positions i et i + 2 (resp. i et i + 3).
Nous notons I2△
[S](t) et I3△
[S](t) les séries génératrices des ensembles I2△
[S] et I3△ [S].
Lemme 4.27. L’identité suivante est vérifiée :
I[S]2△(t) − J△ [S](t) = t 1 − t 2J△ [S](t) + I3△ [S](t).
Preuve. Nous utilisons une nouvelle bijection, φ△ 1: I2△ [S] \ J△ [S] →J△ [S] + J△ [S] ∪ I[S]3∗,
où + désigne l’union disjointe. Cette bijection est similaire à φ1 (voir lemme 4.22) et illustrée figure 4.6. Soit (H, {x, y}) un élément de I2△
[S] \ J△
[S]. Soit (H1, H2) son image par
F↓, obtenue en tirant les pièces x et y vers le bas. Les pièces x et y ne sont pas adjacentes, donc pas à la même hauteur ; supposons que x est la plus haute. Soit H′
1 l’empilement obtenu en retirant de H1 toutes les pièces de la pile de x qui sont strictement plus hautes que y (figure 4.6) et H′ = H′
1H2. L’empilement H′
1 a nécessairement une deuxième pièce maximale, que nous appelons z. On pose φ△
1(H, {x, y}) = (H′, {y, z}). Deux cas sont possibles :
1. les pièces y et z sont adjacentes : l’empilement marqué (H′, {y, z}) est dans J△ [S]; 2. les pièces y et z sont de positions à distance 3 : l’empilement marqué (H′, {y, z})
est dans I3△ [S].
La bijection inverse est obtenue en replaçant la pile de la pièce x sur la pièce z. Dans le cas 2, les pièces y et z ne peuvent être à la même hauteur par le lemme 4.7. La pièce z est donc déterminée sans ambiguïté comme la plus haute des deux pièces maximales de H′
1. En revanche, dans le cas 1, la pièce z peut être indifféremment celle de gauche ou celle de droite, menant au facteur 2 devant la série J△
[S]. x y H1 z y H′ 1 y x H1 y z H′ 1 z y H′ 1 y z H′ 1 I[S]2△(t) − J△ [S](t) I[S]3△(t) J△ [S](t) J△ [S](t) Figure 4.6 – La bijection φ△
1 : nous retirons toutes les pièces de la pile de x qui sont strictement plus hautes que y. Ceci découvre une pièce maximale z de H′
1, qui est soit adjacente à y, soit plus haute que y et à une position à distance 3.
Preuve du théorème 4.25. Nous commençons par l’équation (4.23). Soit (H, {x} un
em-pilement compté par M△
[S](t). Nous utilisons la bijection F↓ pour tirer la pièce marquée vers le bas. Nous remarquons ensuite qu’une paire (H1, H2) d’empilements peut être ob-tenue en remplaçant chaque domino d’une paire d’empilements stricts par une pile de
dominos ; les paires d’empilements stricts sont en bijection avec les empilements presque stricts (lemme 1.28). On a donc
M△ [S](t) = M∗ [S] t 1 − t ! . Les séries I2 [S](t) et I3
[S](t) vérifient des liens similaires. Enfin, la série W△
[S](t) vérifie W△ [S](t) = W⋄ [S] t 1 − t ! = (1 − t)W∗ [S] t 1 − t ! ,
à cause du lien (4.22). En combinant les identités des lemmes 4.23 et 4.24 et en faisant la substitution t 1−t, on trouve donc I[S]2△(t) + W△ [S](t) = t 1 − t M△ [S](t) + I3△ [S](t).
Le lemme 4.27 permet ensuite d’obtenir (4.23). Le lemme 4.26, quant à lui, prouve (4.24). Les deux identités manquantes sont prouvées par le même argument d’inclusion-exclusion que pour le théorème 4.18, notant que le lemme 4.20 est également valable sur le réseau triangulaire.
4.3.4 Asymptotique
Nous tirons maintenant des théorèmes 4.18 et 4.25 des résultats asymptotiques. Soit n > 0 et S une source linéaire. Nous notons jS(n), ℓS(n), pe
S(n) et pi
S(n) les valeurs moyennes du nombre de sites adjacents, nombre de boucles, périmètre externe et périmètre interne des animaux dirigés de source S et d’aire n.
Corollaire 4.28. Plaçons nous dans le réseau complet, dans le demi-réseau, ou dans un
réseau cylindrique. Dans le réseau carré, on a les équivalents suivants quand n tend vers l’infini : jS⋄(n) ∼ n µ⋄+ 1; ℓ⋄S(n) ∼ (µn⋄)2; pi⋄S(n) ∼ pe⋄ S(n) ∼ µ⋄n µ⋄+ 1.
Sur le réseau triangulaire, on a, de plus : j△ S(n) ∼ n µ△+ 1; ℓ△ S(n) ∼ n µ△(µ△+ 1).
Les constantes µ⋄et µ△sont données par la proposition 4.16. Dans les réseaux non bornés, ces constantes valent µ⋄ = 3 et µ△= 4. On a donc
jS⋄(n) ∼ n4; ℓS⋄(n) ∼ n9; pi⋄S(n) ∼ pe⋄
S(n) ∼ 3n4 .
Sur le réseau triangulaire, on a
j△
S(n) ∼ n5; ℓ△
Preuve. Soit aS(n) le nombre d’animaux de source S. Nous commençons par utiliser les équations (4.15) et (4.25) qui donnent la série JS(t) en fonction des séries MS(t), AS(t) et
WS(t). En utilisant l’identité (4.8) et la proposition 4.16, on remarque que le coefficient d’ordre n de AS(t) et WS(t) est O(aS(n)).
De plus, dans les réseaux considérés, la position i + 2 est toujours dans l’ensemble B dès que i est dans B. On en déduit que la série MS(t) compte les animaux de source
S marqués d’un domino quelconque. Le coefficient d’ordre n de MS(t) est donc naS(n), ce qui montre que les contributions de AS(t) et WS(t) sont négligeables. Le terme t
1+t
tendant vers 1
µ+1 quand t tend vers 1/µ, on trouve donc [tn]JS(t) ∼ naS(n)
µ+ 1 .
Ce coefficient étant égal à aS(n)jS(n), on en déduit l’équivalent de jS(n). Les équivalents de ℓS(n) et pe
S(n) sont calculés de la même manière. Pour prouver celui de pi
S(n), il suffit de voir que la contribution de la série ES(t) est négligeable. Cette série est nulle dans les réseaux complet et cylindriques. Dans le demi-réseau, le lemme 1.29 montre que
ES⋄(t) 6 E⋄
[S](t) 6 A⋄[S](t)A⋄{0}(t) 1 + t . La série A⋄
[S](t) a une singularité en (1 − 3t)1/2 (voir proposition 4.16), tandis que la série A⋄
{0}(t) = D⋄(t) vaut 1 + O((1 − 3t)1/2). Leur produit a donc aussi une singularité en (1 − 3t)1/2, et le coefficient d’ordre n est bien négligeable devant naS(n).