Empilements de dimères

Définition 1.36. On appelle dimère un segment de longueur 1.

Les dimères sont donc les segments contenant une seule arête. Pour cette raison, on confondra souvent un dimère avec son unique arête.

En utilisant la même relation de concurrence que pour les segments, l’ensemble des dimères est un modèle d’empilements. Attribuons le poids t à chaque dimère. Le modèle des empilements de dimères étant un sous-modèle de celui des segments, les séries génératrices des empilements de dimères peuvent être obtenues en effectuant dans les séries comptant les empilements de segments les substitutions q1 = t et qℓ = 0 pour ℓ 6= 1. Ainsi, la série génératrice Q(z) vaut tz.

Soit Hk(t) la série génératrice des empilements de dimères inclus dans Vk. Comme le montre le lemme 1.31, cette série s’écrit 1/Tk(t), avec

X

k>0

T_k−1(t)zk = ¹ 1 − z + tz2.

Définition 1.37. Les polynômes de Fibonacci, notés Fk(t), sont les polynômes obéissant à la relation de récurrence suivante :

F0(t) = F1(t) = 1 ;

Fk(t) = F_k−1(t) − tFk−2(t), k >2. Cette définition est équivalente à

X

k>0

Fkz^k= ¹ 1 − z + tz2.

On en déduit l’identité T_k−1(t) = Fk(t). Pour cette raison, les polynômes de Fibonacci apparaîtront chaque fois qu’un problème d’énumération fait intervenir des empilements de dimères.

Considérons maintenant le modèle des segments de longueur > 1 inclus dans Vk, et utili-sons les poids qℓ = tℓ pour ℓ > 1. La série Q(z) vaut donc

Q(z) = ^tz 1 − tz^. Notons Hd

k(t) la série comptant les empilements de segments sans adjacence droite de ce modèle. D’après la lemme 1.34, cette série vaut 1/Td

k(t), avec X k>0 T_k^d(t)zk = ¹ 1 − z + tz 1−tz = 1 − tz 1 − z + tz2.

On réécrit cette égalité comme 1 + z^X

k>0

T_k^d(t)zk = ¹ 1 − z + tz2.

On en déduit que la série Td

k(t) vaut le polynôme de Fibonacci Fk+1(t). On a donc l’égalité

Td

k(t) = Tk(t), donc aussi Hd

k(t) = Hk(t).

Cette égalité s’explique par une bijection entre empilements de segments sans adjacence droite et empilements de dimères. Cette bijection s’obtient en remplaçant chaque segment [i, j] par l’empilement de dimères [i, i + 1] · · · [j − 1, j] (figure 1.10). La bijection inverse consiste à regrouper en segments tous les dimères adjacents à droite.

Figure 1.10 – La bijection entre empilements de segments de longueur non nulle sans adjacence droite et empilements de dimères. Chaque segment est remplacé par une suite de dimères adjacents à droite.

Excursions discrètes

Rappelons qu’une excursion discrète est un chemin qui prend des pas de hauteur dans un ensemble S ⊆ Z, qui commence et termine à hauteur 0 et qui ne visite que des hauteurs positives (figure 3). On définit la hauteur d’une excursion comme la hauteur maximale d’un de ses sommets.

On considère maintenant pour tout pas s de S un poids qs à valeur dans un corps K. Notons Ek la série génératrice des excursions de hauteur au plus k comptées selon ces poids. Il est classique [2] que cette série est rationnelle, et s’écrit sous la forme

E_k = ^Fk

Fk+1

,

où les Fk sont des polynômes, dont nous donnerons une interprétation combinatoire par la suite.

Soit F (z) la série

F(z) = ^X

k>0

Fkz^k. (2.1) Supposons que cette série est rationnelle, et s’écrit F (z) = N(z)/D(z). Soit E la série génératrice des excursions sans contrainte de hauteur. En écrivant la relation de récurrence des polynômes Fk et en faisant tendre k vers l’infini, on trouve l’identité D(E) = 0 (une preuve plus détaillée se trouve dans [6]). Ainsi, la série E est algébrique sur le corps K. Dans son article [6], Bousquet-Mélou montre que la série F (z) est rationnelle si l’ensemble

Sdes pas autorisés est fini. Plus précisément, si max S = a et min S = −b, on peut prendre les polynômes N(z) et D(z) de degrés respectifs da,b− a − b et da,b, où da,b=^a+b

a



. Ceci montre donc que la série E est algébrique de degré au plus da,b. Bousquet-Mélou montre également que, si l’ensemble S est symétrique, ce qui implique a = b, le dénominateur peut être réduit au degré 2a.

Dans ce chapitre, nous étudions les excursions discrètes dans deux cas. Le premier est celui des chemins de Łukasiewicz, dont l’ensemble des pas S est inclus dans Z−∪ {1}. Nous verrons que, dans ce cas, la série F (z) est rationnelle dès que la série ^P_jq_−jzj l’est. Le deuxième est le cas plus classique où l’ensemble S est fini. Nous donnons une explica-tion combinatoire au fait que la série F (z) est raexplica-tionnelle en donnant des interprétaexplica-tions combinatoires du numérateur N(z) et du dénominateur D(z), ainsi que de leurs degrés. Nous étudions aussi le cas où l’ensemble S est symétrique. Dans ce cas, nous montrons que

la fraction rationnelle N(z)/D(z) se simplifie, et nous en déduisons plusieurs propriétés intéressantes des polynômes Fk et des séries Ek.

Le chapitre est organisé comme suit. La chapter 2.1 donne des outils classiques, dus à Viennot, pour relier les chemins dans un graphe quelconque aux empilements de cycles élémentaires ; nous utilisons ces outils pour interpréter combinatoirement les polynômes

Fk. La chapter 2.2 applique ces résulats à l’étude des chemins de Łukasiewicz. La chap-ter 2.3, quant à elle, étudie le cas où l’ensemble des pas S est fini, ainsi que le cas particulier où il est, de plus, symétrique.

2.1 Chemins dans un graphe orienté

Dans cette chapter, on notera G = (V, A) un graphe orienté. Un chemin de G est une suite

α = a1· · · an d’arcs de A consécutifs (c’est-à-dire que le point d’arrivée de chaque arc est le point de départ du suivant). Si s est le point de départ de a1 et t le point d’arrivée de

an, on dira que α joint s à t et on notera α : s → t. Pour tout sommet s de V , on définit également le chemin vide au point s, noté εs, qui ne contient aucun arc et joint s à s. Un sommet u est visité par un chemin α si u est le point de départ ou d’arrivée d’un arc de α. L’ensemble des sommets visités par α est appelé le support de α, et noté supp(α). Comme pour les empilements, on attribue à chaque arc a un poids a. Si α = a1· · · an est un chemin de G, on note α son poids, défini comme le produit des poids des arcs qui le composent :

α= a1· · · an.

On note également Wst la série génératrice des chemins de G joignant s à t :

Wst = ^X

α : s→t

α.

De la même manière que pour les empilements, nous supposerons que les poids des arcs sont universels, c’est-à-dire que nous travaillons dans l’anneau des séries formelles avec une indéterminée a pour chaque arc a. Ceci garantit l’existence de Wst; considérer d’autres poids revient ensuite à spécialiser cette série.