Empilements marqués

; (1.7)

Ainsi, on a, après application du lemme d’inversion :

Hs

[S] = H[S] a → _{1 + a}^a

!

. (1.8)

Alternativement, un empilement général est construit en remplaçant chaque pièce d’un empilement strict par une pile de taille arbitraire. Chaque pièce de position a a cette fois un poids a, ce qui donne :

H_[S] = Hs

[S] a → 1 − a^a

!

.

Ces deux identités sont bien sûr équivalentes.

1.4 Empilements marqués

Un problème auquel nous serons confrontés est d’énumérer des empilements marqués d’un certain ensemble de pièces. Le but de cette chapter est d’introduire des outils pour manipuler ce type d’objets.

1.4.1 Empilements marqués et factorisations d’empilements

et X un ensemble de pièces de H formant une antichaîne pour 4 (i.e. un ensemble de pièces deux à deux non comparables).

Soit H = (P, ℓ, 4) un empilement. On s’intéresse maintenant à factoriser l’empilement

H, c’est-à-dire à trouver un couple (H1, H2) d’empilements tels que H = H1H2. La pro-position 1.8, qui définit le produit de deux empilements, montre que ceci est équivalent à trouver une partition P = P1∪ P2, où P1 est un segment initial de P .

Définition 1.23. Soit (H, X) un empilement marqué. La factorisation de H créée en

tirant les pièces de X vers le bas, notée F_↓(H, X), est le couple (H1, H2) tel que H = H1H2

et où les pièces de H1 sont celles au dessous d’une pièce de X (y compris les pièces de X elles-mêmes).

De même, la factorisation de H créée en poussant les pièces de X vers le haut, noté

F_↑(H, X), est le couple (H1, H₂) tel que H = H1H₂ et où les pièces de H2 sont celles au dessus d’une pièce de X (figure 1.6).

Figure 1.6 – À gauche, un empilement marqué. Au centre, son image par F_↓. À droite, son image par F_↑.

Proposition 1.24. Les applications F_↓ et F_↑ sont des bijections de l’ensemble des empi-lements marqués vers celui des couples d’empiempi-lements.

De plus, soit (H, X) un empilement marqué et (H1, H2) la factorisation F_↓(H, X). Les

pièces maximales de H1 sont exactement les pièces de X. De même, si (H1, H2) =

F_↑(H, X), alors les pièces minimales de H2 sont les pièces de X.

Preuve. D’après la proposition 1.8, trouver une factorisation de H revient à trouver une

partition P1 ∪ P2 de P , tel que P1 est un segment initial et P2 un segment final. La proposition découle donc du lemme 1.3.

Ainsi, on ramène l’étude des empilements marqués à celle de couples d’empilements, plus agréables à traiter. Étant donnés deux empilements H1 et H2, nous montrons maintenant comment trouver les positions des pièces minimales du produit H1H2.

Définition 1.25. Soit H un empilement. On appelle voisinage de H, et on note v(H),

l’ensemble des positions a telles qu’au moins une pièce de H est à une position concurrente à a.

Lemme 1.26. Soit H1 et H2 deux empilements. L’ensemble des positions des pièces mi-nimales du produit H1H2 est donné par :

min(H1H₂) = min(H1) ∪^min(H2) \ v(H1)^.

Preuve. Toute pièce minimale de H1 est encore minimale dans H1H2, car elle ne peut couvrir aucune pièce de H2.

Soit maintenant y une pièce minimale de H2. La pièce y n’est pas minimale dans H1H2

si et seulement si il existe une pièce x de H1 telle que y couvre x. Ceci signifie que les positions de x et y sont concurrentes, donc que la position de y est dans v(H1).

Soit H un empilement tel que min(H) = S. En écrivant l’empilement H sous la forme

SH₂, on trouve ainsi :

H_S = SH[v(S)], (1.9)

où S est le produit des poids des positions de S. Cette identité fournit une alternative à l’équation (1.2) pour calculer la série HS en fonction de séries de type H[T ].

1.4.2 Empilements stricts et presque stricts

Nous traitons maintenant le cas des empilements stricts marqués. Comme précédemment, nous cherchons à ramener leur étude à celle de couples d’empilements stricts. Pour cela, nous définissons un objet intermédiaire.

Définition 1.27. Un empilement marqué (H, X) est dit presque strict si aucune pièce

non marquée n’est couverte par une pièce de même position.

Soit (H, X) un empilement marqué presque strict. On appelle pile de H un ensemble maximal de pièces à la même position empilées directement les unes sur les autres ; on appelle piles marquées les piles de H contenant une pièce de X. Ces piles consistent toujours en une ou deux pièces, et la pièce marquée est toujours en dessous. On appelle

X+ l’ensemble consistant en la pièce du dessus de chaque pile marquée. On définit les transformations, illustrées figure 1.7 :

F_↓^s(H, X) = F_↓(H, X);

F_↑^s(H, X) = F_↑(H, X+).

Figure1.7 – À gauche, un empilement marqué presque strict. Au centre, son image par Fs

↓. À droite, son image par Fs

↑. Les deux factorisations séparant toujours les deux pièces l’une sur l’autre à la même position, tous les facteurs obtenus sont stricts.

Lemme 1.28. Les applications Fs

↓ et Fs

↑ sont des bijections de l’ensemble des empilements marqués presque stricts vers l’ensemble des couples d’empilements stricts.

De plus, soit (H, X) un empilement marqué presque strict et (H1, H2) la factorisation

Fs

↓(H, X). L’ensemble max(H1) est égal à l’ensemble des positions des pièces de X. De

même, si (H1, H2) = Fs

↑(H, X), alors l’ensemble min(H2) est l’ensemble des positions des

pièces de X.

Preuve. Tout d’abord, on remarque que si (H1, H₂) est égal à Fs

↓(H, X) ou Fs

↑(H, X), alors H1 et H2 sont stricts. En effet, si deux pièces x et y sont dans la même pile avec y au dessus de x, alors x est toujours dans H1 et y dans H2.

L’ensemble X étant l’ensemble des pièces inférieures de chaque pile marquée, la transfor-mation (H, X) 7→ (H, X+) est injective ; les fonctions F_↓ et F_↓ étant injectives, Fs

↓ et Fs

↑

sont aussi injectives.

Soit maintenant H1 et H2 deux empilements ; soit X l’ensemble des pièces maximales de

H1 et Y l’ensemble des pièces minimales de H2. Soit Y− l’ensemble des pièces inférieures de chaque pile de l’empilement H1H2 contenant une pièce de Y . On a :

(H1, H2) = Fs

↓(H, X) = Fs

↑(H, Y−),

Tout empilement marqué presque strict s’obtient à partir d’un empilement strict en rem-plaçant chaque pièce marquée par une pile marquée, de taille 1 ou 2. En termes de séries génératrices, cela correspond, pour chaque pièce x de X de position a, à une multipli-cation par 1 + a. Ainsi, on peut ramener l’étude des empilements marqués stricts aux empilements marqués presque stricts, et donc aux paires d’empilements stricts.

1.4.3 Empilements marqués d’une pièce

En application de ce qui précède, nous traitons le cas des empilements marqués d’une seule pièce, à position fixée. Soit (A, C) un modèle d’empilements et a une position de A. Notons M(a) la série génératrice des empilements marqués d’une pièce de position a et

V(a) la série génératrice des empilements H évitant a, i.e. tels que a 6∈ v(H). De même, soit M(a)s la série des empilements stricts marqués d’une pièce de position a et V(a)s la série des empilements stricts évitant a.

Les séries V(a)et V(a)s peuvent être facilement calculées en utilisant le théorème d’inver-sion (théorème 1.11) : en effet, les empilements évitant a sont exactement les empilements du modèle dont les positions sont A \ v(a).

Soit S un sous-ensemble de A ; on note M(a)

[S] et V(a)

[S], les séries comptant les mêmes empilements que ci-dessus, dont les pièces minimales sont à positions dans S. On fait de même pour les empilements stricts.

Lemme 1.29. Supposons que la position a est dans S. On a : M(a) [S] = H[S]H_{a}; (1.10) M(a)s [S] = ¹ 1 + a^Hs[S]Hs {a}. (1.11)

Supposons maintenant que a n’est pas dans S. On a :

M(a) [S] =^H_[S]− V^(a)[S]  H_{a}; (1.12) M(a)s [S] = ¹ 1 + a  Hs [S]− V^(a)s[S]  Hs {a}. (1.13)

Preuve. Soit (H, {x}) un empilement marqué d’une pièce à position a. On utilise la

bijec-tion F_↑ pour construire un couple (H1, H2), tel que min(H2) = {a}. Le lemme 1.26 assure que :

min(H) = min(H1) ∪^{a} \ v(H1)^.

Si a est dans S, alors min(H) est inclus dans S si et seulement si min(H1) l’est : ceci prouve l’équation (1.10). Si a n’est pas dans S, alors min(H) est inclus dans S si et seulement si min(H1) l’est et a est dans v(H1). La série H[S]− V^(a)[S] comptant les empilements ayant a dans leur voisinage, on a bien prouvé l’équation (1.12).

Considérons maintenant le cas des empilements stricts. Soit M(a)∗

[S] la série comptant les empilements marqués d’une pièce de position a presque stricts. Ils sont obtenus en rem-plaçant une pièce de position a par une pile d’une ou deux pièces. On a donc :

M(a)∗

[S] = (1 + a)M(a)s [S] .

On utilise maintenant la bijection Fs

↑ pour transformer les empilements marqués en couples d’empilements stricts. On prouve ainsi les identités (1.11) et (1.13) de la même manière que (1.10) et (1.12).