3.2 Énumération
3.2.1 Ponts partiellement dirigés
La proposition 3.6 montre que les chemins faiblement dirigés sont essentiellement des suites de facteurs partiellement dirigés irréductibles ; de plus, tous ces facteurs sauf le premier et le dernier sont des ponts. En conséquence, pour énumérer ces chemins, nous commençons par énumérer les ponts partiellement dirigés. Il est en fait plus agréable d’étudier les pseudo-ponts, ou chemins joignant v0 à vf tels que tout sommet v vérifie
h(v0) 6 h(v) 6 h(vf) (figure 3.4).
Figure 3.4 – À gauche, un pseudo-pont NSE du modèle horizontal. Au milieu, un pseudo-pont NSO du modèle diagonal. À droite, un pseudo-pont NSE du modèle diagonal.
Prenons l’exemple des ponts NSE dans le modèle horizontal. Attribuons la hauteur 1 au pas N, la hauteur −1 au pas S et la hauteur 0 au pas E. Un pseudo-pont NSE est alors, dans la terminologie du chapitre 2, un chemin pseudo-culminant. Cependant, la famille
des chemins NSE ne rentre pas directement dans le cadre de ce chapitre à cause de la condition d’auto-évitance, qui interdit les motifs NS et SN.
Pour contourner cette difficulté, nous donnons une autre manière de voir les chemins NSE. Nous dirons qu’un chemin NSE est propre s’il ne commence ni ne finit par un pas S. Cette restriction n’a pas d’importance, car tous les pseudo-ponts sont des chemins propres. Si
α est un chemin NSE (donc auto-évitant) propre, nous appelons facteur descendant tout facteur situé strictement entre deux pas N consécutifs. On obtient ainsi une factorisation du chemin α en pas N et en facteurs descendants. Le chemin α étant auto-évitant et propre, tous les facteurs descendants sont des chemins SE propres. Le langage D des facteurs descendants possibles est reconnu par l’expression régulière non ambiguë
D = 1 + E + E(E + S)∗E. (3.2) De plus, par construction, la factorisation ne contient pas deux facteurs descendants consécutifs.
Nous pouvons maintenant compter les ponts partiellement dirigés du modèle horizontal. Nous avons montré que les facteurs irréductibles d’un chemin faiblement dirigé sont né-cessairement des chemins NSE ou des chemins NSO. Par symétrie, nous nous contentons donc d’étudier les chemins NSE.
Proposition 3.7. Soit k > 0. La série génératrice des pseudo-ponts NSE de hauteur k
dans le modèle horizontal est
ˆ
Bk(t) = tk
Gk(t),
où les Gk(t) sont les polynômes définis par
G0(t) = 1 − t, G1(t) = 1 − 2t + t2
− t4,
Gk(t) = (1 − t + t2 + t3)Gk−1(t) − t2Gk−2(t) pour k > 2. La série génératrice des ponts NSE vaut, quant à elle,
B(t) = 1 + tX
k>0
ˆ
Bk(t).
Preuve. Comme indiqué précédemment, nous factorisons les pseudo-ponts en isolant les
pas N. Le facteur N a pour hauteur 1 dans le modèle horizontal, tandis qu’un facteur des-cendant β a pour hauteur −|β|S, où |β|S est le nombre de pas S dans le chemin β. Ceci fait de l’ensemble de pas {N}∪D un modèle de chemins de Łukasiewicz ; deux facteurs descen-dants ne pouvant être consécutifs, les pseudo-ponts sont les chemins pseudo-culminants stricts de ce modèle.
Soit D(t, z) la série génératrice des facteurs descendants, où t compte le nombre de pas et z la hauteur. L’expression régulière non ambiguë (3.2) se traduit en
D(t, z) = t + t2 1 − t − tz. Le théorème 2.15 donne donc
ˆ
Bk(t) = tk
où les polynômes Gk sont définis par X k>0 Gk(t)zk = 1 1 − z + D(t, tz) = 1 − t − t2z 1 − (1 − t + t2+ t3)z + t2z2.
On en déduit la formule de récurrence des polynômes Gk(t). Enfin, un pont NSE est soit vide, soit un pseudo-pont NSE suivi d’un pas N. On en déduit la formule donnant B(t). Nous étudions maintenant le modèle diagonal. Dans ce modèle, il nous faut étudier quatre types de ponts : les ponts NSO, les ponts NSE, les ponts NEO (équivalents, via la symétrie par rapport à l’axe NE, aux ponts NSE) et les ponts SEO (équivalents aux ponts NSO.
Proposition 3.8. Soit k > 0. La série génératrice des pseudo-ponts NSO de hauteur k
dans le modèle diagonal est
ˆ
Bk1 = tk
Gk(t),
où les polynômes Gk(t) sont définis par
G0(t) = 1, G1(t) = 1 − t2,
Gk(t) = (1 + t2)Gk−1(t) − t2(2 − t2)Gk−2(t) pour k > 2. La série des ponts NSO vaut
B1(t) = 1 + tX
k>0
ˆ
B1k(t).
Preuve. Le cas des pseudo-ponts NSO est traité de la même manière que pour le modèle
horizontal : les facteurs descendants sont les facteurs situés entre deux pas N consécutifs. La différence est que les pas O ont pour hauteur −1 dans le modèle diagonal, ce qui signifie qu’un facteur descendant β a pour hauteur −|β|. On obtient donc la série génératrice
D(t, z) des facteurs descendants
D(t, z) = tz + t2z2 1 − 2tz. Les polynômes Gk(t) sont cette fois définis par
X
k>0
Gk(t)zk= 1 − 2t2z
1 − (1 + t2)z + t2(2 − t2)z2,
ce qui donne bien la formule de récurrence de la proposition. De plus, un pont NSO est soit vide, soit un pseudo-pont suivi d’un pas N.
Proposition 3.9. Soit k > 0. La série génératrice des pseudo-ponts NSE de hauteur k
dans le modèle diagonal vaut
ˆ
Bk2 = (2 − t2)kBˆ1
k(t),
où la série ˆB1
k(t) est donnée par la proposition 3.8. De plus, la série des ponts NSE vaut
B2(t) = 1 + 2tX
k>0
ˆ
Le cas des chemins NSE est plus compliqué, car le pas E a pour hauteur 1 dans le modèle diagonal. Les facteurs de D n’ont donc plus nécessairement une hauteur négative, ce qui nous fait sortir du cadre des chemins de Łukasiewicz. Nous utilisons donc une méthode différente pour nous ramener au cas des chemins NSO.
Nous notons E2
k(t) la série des excursions NSE de hauteur au plus k (une excursion est un chemin positif terminant à hauteur 0). Nous notons également E∗
k(t) la série des excursions NSO de hauteur au plus k ne finissant pas par S.
Lemme 3.10. Les séries E2
k(t) et E∗
k(t) sont liées par 1 + E2
k(t) = (2 − t2)E∗
k(t).
Preuve. Soit α une excursion NSO de hauteur au plus k qui finit par NO ; écrivons α = βNO. Le chemin β est alors une excursion qui ne termine pas par S, ce qui montre que l’excursion α est comptée par t2E∗
k(t). On remarque ensuite que la série E2
k(t) compte également les excursions NSO : en effet, les excursions NSE sont exactement les chemins réciproques des excursions NSO. Le passage au chemin réciproque ne change ni la longueur, ni la hauteur.
Soit donc α une excursion NSO quelconque de hauteur au plus k. On distingue deux cas : – soit α ne finit pas par S : de telles excursions sont comptées par E∗
k(t) ;
– soit α s’écrit βS ; le chemin β ne finit donc pas par N. Soit α′ = βO : le chemin α′ est une excursion finissant par O mais pas par NO. La remarque précédente montre que ces excursions sont comptées par E∗
k(t) − 1 − t2E∗
k(t). Ajouter ces deux contributions permet d’établir le lemme.
Preuve de la proposition 3.9. Soit k > 1 et soit α un pseudo-pont NSO de hauteur k. On
coupe α au dernier passage à hauteur 0. On trouve α = βNγ, où γ est un pseudo-pont de hauteur k − 1 et β est une excursion de hauteur au plus k qui ne termine pas par S. On a donc
B1k(t) = tE∗
k(t)B1
k−1(t).
Soit maintenant α un pseudo-pont NSE de hauteur k. On coupe α un pas après le dernier passage à la hauteur 0, ce qui donne α = βγ, où γ est un pseudo-pont de hauteur k − 1 et β est soit N, soit une excursion de hauteur au plus k suivie d’un pas E (figure 3.5). On en déduit
Bk2(t) =t+ tE2
k(t)Bk−12 (t). Le lemme 3.10 permet de conclure.
Pour finir, un pont NSE est soit vide, soit un pseudo-pont suivi d’un pas N ou E. On en déduit la formule donnant B2(t).
Pour finir, nous énumérons également les ponts NO pour résoudre certaines ambiguïtés.
Proposition 3.11. Soit k > 0. La série génératrice des pseudo-ponts NO de hauteur k
dans le modèle diagonal est
ˆ
Bk0 = tk
Figure 3.5 – À gauche, la factorisation des pseudo-ponts NSO. Au milieu et à droite, la factorisation des pseudo-ponts NSE : le premier facteur est soit un pas N (milieu), soit une excursion suivie d’un pas E (droite).
où les Fk(t2) sont les polynômes de Fibonacci évalués en t2 (voir définition 1.37). De plus, la série des ponts NO est
B0(t) = 1 + tX
k>0
ˆ
Bk0(t).
Preuve. Le pas N ayant pour hauteur 1 et le pas O pour hauteur −1, les pseudo-ponts NO
sont identiques à des chemins de Dyck pseudo-culminants. La proposition découle donc des résultats de la chapter 2.2.3. Le résultat apparaît par ailleurs tel quel dans [9].