Régulation en commande de vitesse de déformation vraie constante
Annexe 1 : Régulation en commande de vitesse de déformation vraie constante__________
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(Annexe à valeur de document interne pour le LEMTA)
I._Généralités
Dans le cadre de nos objectifs de modélisation du comportement mécanique du PEHD à l’échelle macroscopique, il nous apparaît primordial de nous assurer de la qualité des signaux de contrainte vraie et de déformation vraie mesurés au cours d’une sollicitation imposée où la vitesse de déformation vraie longitudinale ε&11 doit être constante. Ce type d’essai mécanique nécessite que le système électronique Flextest (i) récupère en temps réel le signal de déformation vraie longitudinale ε11 mesuré par Vidéotraction et (ii) impose une commande sur la traverse de la machine de traction (asservissement par pression hydraulique variable) afin de respecter la consigne. Par conséquent, un système de régulation est nécessaire. Cette étape de réglage de régulation est normalement très classique mais ici entre le signal de commande et celui correspondant à la mesure en sortie, le matériau étudié joue un rôle prépondérant. En effet, le PEHD étant un matériau de nature complexe et non linéaire, la fonction de transfert entrée/sortie est donc elle aussi très complexe. On comprend donc que les réglages de régulation sont peu aisés et que la qualité des résultats expérimentaux peut s'en ressentir.
Le signal de déformation vraie ε11 mesuré par le vidéo-extensomètre arrive en entrée sur le système Flextest qui réalise un asservissement en boucle fermée à travers un système de régulation conventionnel « PID » avec l’utilisation classique d’un gain proportionnel « P », d’un gain intégrateur « I », d’un gain dérivé « D ». Cet asservissement surveille à tout moment la valeur de déformation vraie ε11 mesurée en temps réel et la compare avec la consigne. Le système génère un signal de sortie qui est lui-même proportionnel à la différence entre la mesure et la consigne (l’erreur). Dans une boucle PID, la correction à partir de l'erreur peut être réalisée par réglage des gains susmentionnés (figure A1.1)
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Afin de pouvoir faire tendre le plus rapidement possible la valeur de sortie vers la consigne, il est nécessaire en premier lieu d’ajuster la réponse en multipliant cette dernière par le gain proportionnel Kp (ou P ). Cependant, l’inertie de la machine n’est pas négligeable et un gain trop fort peut engendrer un dépassement (« overshoot »), pouvant conduire à un pilotage oscillant. A l'inverse un gain trop faible produit un pilotage stable mais avec un décalage systématique par rapport à la consigne. Dans le cas d’un système non linéaire, la correction par un seul gain proportionnel ne suffit pas. En basant la régulation sur un signal d’erreur Intégré sur une durée (et non plus sur un seul instant), affecté d'un certain gain Ki
(ou I ), on oblige le système à réduire l'écart moyen entre la mesure en sortie et la consigne. Une boucle PI bien réglée résulte généralement en une sortie se rapprochant lentement de la valeur de la consigne. L'action Dérivée utilise aussi la notion de temps et cherche à anticiper l'erreur future. La pente de l'erreur est calculée pendant un certain laps de temps et est affectée d'un gain Kd (ou D ). Le gain dérivé joue sur la réactivité du signal (phase transitoire de la commande) mais est plus délicat à régler. La figure A1.2 montre l’influence d’une modification des gains P , I et D (en multipliant ou en divisant leur valeur par deux par rapport à un jeu de valeurs de référence).
Fig. A1.2 : Influence de la modification des gains P , I et D (signal de commande idéal en bleu).
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Il n'existe pas de méthode unique pour effectuer un bon réglage PID. Le régulateur idéal n'existant pas, il s’agit en fait de trouver des compromis. En règle générale, on se fixe des conditions à respecter sur le temps de montée, le dépassement de la valeur de consigne et le temps d'établissement à la valeur de la consigne finale. Le tableau A1.1 résume brièvement l’influence des gains P , I et D sur le signal en sortie que l’on doit adapter à la consigne.
Tableau A1.1 : Effet de l’augmentation des gains proportionnel, intégral et dérivé sur le signal de sortie devant être adapté à la consigne.
Le nouveau système électronique Flextest de pilotage des machines MTS associé au contrôle en boucle fermée du contrôleur PID (« feedback ») permet un contrôle en boucle ouverte (« feedforward ») qui permet d’anticiper la commande afin de corriger d’éventuels effets de retard (à travers un gain additionnel «F2 »). Ce paramètre a également été testé. Une fois bien réglé, il n’engendre pas d’oscillations du signal observé autour de la consigne et améliore en général la stabilité de la réponse.
II. Réglages de régulation pour le PEHD sollicité à une vitesse de déformation vraie constante
Nous souhaitons travailler avec plusieurs vitesses de sollicitation. Pour chaque cas de figure, il s’avère indispensable de revoir les réglages de régulation si l’on souhaite obtenir un pilotage ajusté au mieux. Cela nous permet de considérer dans la procédure d'identification paramétrique une excitation idéalisée qui permet de mieux circonscrire l'effet des biais expérimentaux. Dans le cas des éprouvettes en PEHD sollicitées à une vitesse de déformation
3
11 = 5 ⋅ 10−
ε& s-1, le tableau A1.2 représente les gains P , I , D et F2 obtenus par ajustement séquentiel.
Annexe 1 : Régulation en commande de vitesse de déformation vraie constante__________ 187 Réglage P I D F2 1 300 0 0 0 2 350 30 40 0 3 350 30 40 340 4 350 30 40 420
Tableau A1.2 : Tableau regroupant les réglages successifs P , I , D et F2 adoptés pour tester la réponse du PEHD sollicité à une de vitesse de déformation constante
3
11 = 5 ⋅ 10−
ε& s-1.
La figure A1.3 représente la commande et la sortie après un réglage de régulation simpliste muni d’un gain proportionnel P seul. On confirme que cette régulation est inadaptée puisque l’on observe non seulement un retard trop important du signal de déformation par rapport à la consigne, mais également, un écart de valeur statique par rapport à cette dernière. On note également que pour des vitesses de déformation plus importantes un tel réglage n’assure absolument pas la stabilité du système.
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Lorsque l’on effectue un réglage de régulation basé sur les gains P , I et D , on constate que les gains I et D permettent un réajustement de la valeur moyenne de la sortie à celle de la consigne mais le retard par rapport à cette dernière n’est toujours pas comblé (figure A1.4). L’explication de ce retard réside dans le fait que la régulation s’effectue sur la valeur de la déformation vraie ε11 qui est mesurée au niveau des taches inscrites dans la striction de l’éprouvette, alors que son action ne peut cibler que la traverse mobile de la machine de traction dans laquelle la partie inférieure de l’éprouvette est fixée. En d’autres termes, la qualité d’une régulation de ce type est fortement tributaire du matériau sollicité. Dans le cas d'un polymère (matériau viscoélastique), la sollicitation engendre inévitablement un décalage temporel considérable entre la commande imposée et la réponse observée. C’est pourquoi l’utilisation du gain F2 s’avère nécessaire afin de remédier à ce problème.
Fig. A1.4 : Réponse obtenue par un réglage P , I , D (Réglage n°2).
Sur la figure A1.5 sont présentées les courbes commande/réponse après le réglage P ,
I , D , F2 final adopté pour cette vitesse de sollicitation (réglage 3). Le gain F2 nous a bien permis de combler le retard (moins de 1 s) par rapport à la consigne. Par contre, l’amplitude du signal de sortie n’est pas aussi importante que celui de la consigne. Une augmentation de la valeur de F2 (réglage 4) permet de corriger cette insuffisance d’amplitude (sans pouvoir pour autant, améliorer le retard) (figure A1.6a). Cependant, ce réglage pourtant parfait à première vue, amène finalement à une régulation trop réactive au cours du véritable essai de traction entraînant des oscillations très néfastes sur les observables (figures A1.6b et A1.6c) notamment durant le régime d’adoucissement du matériau. On voit là la difficulté d'optimisation de la régulation sur un système non linéaire. Dans sa phase d'écoulement plastique, on n'a déjà plus affaire au même matériau et un réglage visiblement correct durant le régime viscoélastique n’implique pas obligatoirement un bon réglage sur la totalité de l’essai et nécessite de rechercher le meilleur compromis.
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Fig. A1.5 : Réponse obtenue par un réglage P , I , D , F2 (Réglage n°3).
a)
b) c)
Fig. A1.6 : a) Autre réglage P , I , D , F2 (réglage 4) ; b) Oscillations observées sur le pilotage en déformation vraie ε11 ; c) Oscillations observées sur la contrainte vraie σ *.
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La figure A1.7 ci-dessous permet de juger de la qualité de la régulation optimale retenue pour le pilotage en déformation vraie longitudinale ε11 tout au long d’un essai de traction effectué pour ε&11 = 5 ⋅ 10−3s-1. Avec le réglage P , I , D , F2 n°3 adopté, l’écart entre la déformation vraie expérimentale et la déformation vraie théorique de pilotage est inévitablement important aux premières secondes de l’essai puis revient à moins de 3% au bout de 10 secondes. Il reste de l’ordre de 0.6 % après 50 secondes.
Fig. A1.7 : Ecart entre la déformation vraie longitudinale mesurée et la commande imposée pour le pilotage (essai de traction à vitesse de déformation constante ε&11 = 5 ⋅ 10−3s-1).
La procédure est renouvelée pour chaque type d'essai (autres vitesses, commande de type fluage…) et peut être mémorisée dans l'application logicielle du Flextest pour permettre à l'opérateur de retrouver les réglages optimaux associés à chaque type d'expérience. On peut par exemple proposer les figures A1.8 et A1.9 qui présentent les résultats du pilotage sur ε11
respectivement pour les vitesses de déformation ε&11 = 2.5 ⋅ 10−3 s-1 et ε&11 = 10−2 s-1.
Fig. A1.8 : Ecart entre la déformation vraie longitudinale mesurée et la commande imposée pour le pilotage (essai de traction à vitesse de déformation constante ε&11 = 2.5 ⋅ 10−3s-1).
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Fig. A1.9 : Ecart entre la déformation vraie longitudinale mesurée et la commande imposée pour le pilotage (essai de traction à vitesse de déformation constante ε&11 = 10−2 s-1).