85 Figure 4.15 : Structure retenue de l’observateur par intervalles
4.5.3 Réglage des gains de l’observateur par intervalles
] )(4.61) avec : [ ]
Rappelons que cette majoration sur l’erreur est une estimation pessimiste, et que donc l’erreur finale peut être plus faible, mais sans garantie qu’elle soit nulle en régime permanent.
En effet, l’erreur finale dépend fortement des incertitudes sur les paramètres et .
4.5.3 Réglage des gains de l’observateur par intervalles
Pour simplifier l’étude, considérons l’observateur dans le cas dit nominal (incertitudes uniquement sur les paramètres du modèle de croissance). Dans cette section, trois techniques
pour le choix des gains et de l’observateur par intervalles seront présentées. La première
consiste à fixer les valeurs propres de la matrice (4.49), la deuxième à minimiser l’erreur
asymptotique (4.57) pour obtenir une précision souhaitée ; Les gains obtenus par ces deux premières approches sont constants. La troisième approche quant à elle consiste à déterminer des gains variables, pour plus de robustesse et d’efficacité. Nous avons pour cela opté pour l’application d’un filtre de Kalman étendu. Ces trois approches de détermination des gains de l’observateur sont détaillées dans ce qui suit dans le cas nominal (le cas général est obtenu avec une démarche similaire).
4.5.3.1 Choix des valeurs propres de
Cette approche de réglage repose sur l’hypothèse que la dynamique de l’erreur (4.51) est gouvernée par un système du second ordre de la forme :
(4.62)
avec : la pulsation propre du système, son coefficient d’amortissement, et p la variable de
Laplace. Par ailleurs, le taux de dilution est supposé constant dans un premier temps, pour les développements théoriques. L’observateur ainsi réglé sera ensuite testé en simulation pour un taux de dilution variable dans le temps.
L’objectif de l’approche proposée réside dans l’amélioration de la convergence
exponentielle de la dynamique à travers du choix des valeurs propres de la matrice
Jacobienne de la borne supérieure de l’erreur d’estimation; sachant que les valeurs propres du système sont les racines du polynôme caractéristique :
89
A partir de (4.63) et par correspondance terme à terme, on obtient les deux égalités suivantes : { [ ] (4.64)
Ainsi, le réglage des gains , est donné par :
{
(4.65)
Le réglage des gains de l’observateur par intervalles repose sur le choix des paramètres
et du système du second ordre. En combinant ces expressions aux conditions (4.54),
garantissant la coopérativité et la stabilité du système, on obtient :
{
√ √ (4.66)
D’après cette relation, on peut constater que la vitesse de convergence, même si elle peut être améliorée par rapport à un observateur asymptotique classique, reste limitée dans une plage de valeur qui dépend du taux de dilution.
4.5.3.2 Minimisation de l’erreur asymptotique
La seconde approche développée consiste à déterminer les gains de l’observateur qui minimisent l’erreur finale obtenue sur l’estimation de la concentration de biomasse, tout en respectant les conditions de coopérativité et de stabilité du système. Les gains de l’observateur sont donc solution du problème d’optimisation suivant :
[‖ ( )‖]
(4.67)
Cependant, la résolution de cette fonction d’optimisation (4.67), en utilisant l’expression détaillée du critère, donnée par (4.58), permet d’aboutir à une solution mathématique non
réalisable physiquement, à savoir un gain égal à et un gain . Afin
d’obtenir une solution finie, il est nécessaire de réaliser un compromis entre la convergence de l’observateur et la valeur d’équilibre de l’erreur d’estimation.
Nous proposons donc de déterminer les gains afin de garantir une précision finale sur
l’erreur d’estimation en biomasse, notée . Ainsi, le problème (4.67) devient :
‖ ( ) ‖
(4.68)
Cette approche permet de trouver la meilleure solution garantissant une précision d’estimation imposée a priori.
90
4.5.3.3 Gains variables par application d’un filtre de Kalman
Les gains déterminés précédemment sont fixes et présentent l’inconvénient d’être peu robustes vis-à-vis d’incertitudes sur le modèle. D’autre part, ils sont déterminés pour un taux de dilution constant, or, notamment en transitoire d’une réponse à une consigne en biomasse, ce taux est variable. Pour remédier à ces inconvénients, nous proposons de les déterminer par application d’un filtre de Kalman étendu, ce qui présente l’avantage de pouvoir modéliser les incertitudes sur le modèle via des bruits additifs fictifs. Pour ce faire, les observateurs des bornes supérieures et inférieures donnés par (4.43) sont réalisés par application de la théorie du
filtre de Kalman à (4.38). Ainsi, les gains ( ) sont les gains du filtre de Kalman étendu,
obtenus selon l’algorithme décrit à la section 4.3.1.2. L’état à estimer est dans ce cas :
(4.69)
Les mesures sont supposées disponibles selon un pas d’échantillonnage , tel que .
(4.70)
La dynamique de ce système est obtenue par discrétisation de la dynamique (4.43) avec l’approximation d’Euler, de façon similaire à ce qui a été appliqué à la section 4.3.2.
L’efficacité de ce filtre de Kalman dépend essentiellement des matrices de variance Q et R, dont le choix consiste à effectuer un compromis entre stabilité et vitesse de convergence.
Par ailleurs, cette approche de choix des gains de l’observateur par intervalles présente l’inconvénient majeur de ne pas prendre en compte la condition de coopérativité (4.42). Aussi, le risque serait que les gains ainsi obtenus conduisent à deux observateurs n’encadrant plus la trajectoire réelle du système. Ce point est donc à prendre en compte lors de la mise en œuvre de l’observateur, pour détecter cette perte de coopérativité. Une étude complémentaire est nécessaire pour analyser ce point et proposer des alternatives pour y remédier.
4.5.4 Performances en simulation
Les conditions opératoires et paramètres de simulation sont les mêmes qu’à la section 4.3.3. Des limites supérieure et inférieure de l’initialisation en concentration de biomasse ont été choisies égales à ± 60% de la valeur nominale. On a opté pour une désadaptation importante de la condition initiale afin de vérifier la convergence de l’observateur, particulièrement sous des conditions d’incertitudes des paramètres du modèle et de la dynamique du système.
Dans un premier temps, les résultats obtenus avec des gains fixes sont donnés afin d’illustrer l’efficacité de l’observateur par intervalles. Ensuite, une analyse des performances de l’observateur en fonction des gains choisis et de la méthode de synthèse sera décrite. Rappelons que le profil du débit d’alimentation est variable et donné par (4.20). La synthèse de l’observateur par placement de pôles est effectuée pour la première valeur du débit (soit
0,1 L.h- 1). Les gains ainsi déterminés sont ensuite fixés et appliqués pour le profil variable
défini dans (4.20). Elle peut également être réalisée à chaque instant (cacul des gains à chaque instant temporel).
4.5.4.1 Simulation du cas nominal
Les performances de l’observateur par intervalles sont analysées en l’absence d’incertitudes sur les paramètres du modèle. Les résultats obtenus sont donnés par la figure 4.16. Dans ce cas, les gains de l’observateur ont été choisis fixes, obtenus par l’approche avec choix des valeurs
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propres de la matrice jacobienne (section 4.5.3.1), avec et (
√ ) .
Figure 4.16 : Observateur par intervalles : Estimation de la concentration de biomasse et erreur d’estimation dans le cas nominal
On peut constater que l’observateur par intervalles permet d’encadrer la biomasse réelle par un intervalle décroissant dans le temps. L’erreur d’estimation finale dépend du taux de dilution. On peut noter en effet, que plus le taux de dilution est élevé, plus l’erreur finale d’estimation est faible. D’après (4.58), l’erreur finale est inversement proportionnelle au taux de dilution ce qui explique ce résultat. Aussi, on peut conclure qu’il est préférable pour les besoins de l’estimation, d’imposer un taux de dilution le plus grand possible. Cette solution n’est pas toujours faisable car le taux de dilution est issu d’une loi de commande et donc ne peut être choisi librement d’une part, et d’autre part il faut éviter les problèmes de lessivage de la culture observés lorsque la quantité de biomasse sortante est supérieure à la quantité produite.
Les gains utilisés ici et fixés par placement de pôles satisfont les conditions de stabilité et coopérativité données par (4.65) et (4.66). Nous allons maintenant analyser l’impact du choix de la dynamique de l’erreur d’estimation, via le choix de ses valeurs propres, sur la performance de l’observateur. La figure 4.17 illustre la performance de l’observateur pour deux
valeurs du coefficient d’amortissement ( et ), avec . Dans ce cas, le
débit d’alimentation a été supposé constant et égal à 0,3 L.h-1
pour simplifier l’étude et rendre les résultats de simulation plus clairs. Les valeurs de choisies correspondent aux deux cas de satisfaction ou non de la condition coopérativité ( ). Dans le cas d’un inférieur à 1, on constate une inversion des bornes supérieure et inférieure de la biomasse estimée, traduisant une perte de coopérativité.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 5 10 15 20 25 30 35 B io m a s s e ( 1 0 9 ce ll. L -1) Temps (h) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -15 -10 -5 0 5 10 15 E rr e u r (1 0 9 ce ll. L -1) Temps (h) X+ X -Modèle eX+ eX