Commande prédictive non-linéaire

Du fait des limitations de la commande prédictive linéaire vis-à-vis des procédés ayant une dynamique fortement non-linéaire, soumis à des contraintes et/ou régis par un changement fréquent de régimes de fonctionnement, l’application de la commande prédictive non-linéaire est à privilégier. Cette approche non-linéaire peut être considérée comme une commande optimale, dont l’objectif de poursuite repose sur la résolution d’un problème d’optimisation non-linéaire (Henson, 1998 ; Tatjweski, 2007). Cette non-linéarité est issue, principalement, du modèle non-linéaire de prédiction (Long et al., 2006), mais également des contraintes, ce qui rend très difficile la détermination de l’optimum global (Cannon, 2004 ; Magni et al., 2009). La mise en œuvre de la stratégie de commande prédictive non-linéaire dépend principalement du type de modèle utilisé (Findeisen et al., 2007) et de l’algorithme d’optimisation appliqué pour le calcul de la séquence de commande optimale (Cannon, 2004). L’utilisation d’un modèle non-linéaire permet d’optimiser la précision de la prédiction et, par conséquent, d’améliorer les performances du système en boucle fermée (Idiri, 2011). En contrepartie, une prédiction non-linéaire des sorties implique nécessairement un modèle complexe et, par conséquent, un temps de calcul plus important (Idiri, 2011). Ainsi, un compromis doit être effectué entre précision du modèle et complexité de calcul.

Le second aspect concerne le type d’algorithme d’optimisation utilisé et le temps de calcul. Le temps de calcul dépend de l’algorithme d’optimisation implanté pour la minimisation en ligne de la fonction de coût. L’algorithme adopté doit assurer la convergence et la faisabilité de l’optimisation, afin de garantir la stabilité en boucle fermée (Mayne et al., 2000) ; sachant que le calcul de la séquence de commandes futures, à chaque instant d’échantillonnage, doit être effectué en un temps inférieur à la période d’échantillonnage (Cannon, 2004 ; Magni et al., 2009). A ce sujet, Magni et al. (2009) proposent une synthèse des différentes approches utilisées dans le cadre de la mise en œuvre de la commande prédictive non-linéaire. La formulation du problème d’optimisation utilisé par la suite est détaillée ci-dessous.

5.3.3.1 Définition du critère

Le système considéré est représenté par un modèle discret non-linéaire défini par la représentation d’état suivante :

{ (5.1) avec :  : état du système ;  : variable de commande ;  et : fonctions non-linéaires;  : la sortie du système.

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où l’indice k représente la valeur de la variable à l’instant k T_e, T_e période

d’échantillonnage. Ce modèle sera utilisé pour prédire le comportement du système.

L’élaboration de la stratégie de commande prédictive non-linéaire est associée à la minimisation sur un horizon fini d’une fonction de coût incluant deux termes quadratiques : le premier est lié aux erreurs futures entre la sortie prédite et la consigne, et le deuxième

correspond aux valeurs futures de la commande. A chaque instant d’échantillonnage et

connaissant l’état de référence , la fonction de coût utilisée pour le calcul de la séquence

de commande optimale est donnée sous forme très générale par la relation suivante :

̃ ∑ (( ) ( ) )

(5.2)

avec :

 : horizon de prédiction ;

 ̃ : vecteur des séquences des commandes futures à appliquer ;

 :matrice de pondération sur l’état final, semi-définie positive ;

 : matrice de pondération de l’état, semi-définie positive ;

 : matrice de pondération de la commande, définie positive.

Le terme portant sur l’état final est parfois ajouté de façon à améliorer la stabilité de la loi de commande. Concernant les contraintes prises en compte, elles caractérisent, généralement, les limitations physiques sur la commande, sur l’état ou sur la sortie du système (Idiri, 2011). Ces contraintes sont introduites lors de la synthèse du correcteur, afin d’éviter tout changement brusque sur la commande. De manière générale, les contraintes sont définies sur l’horizon de prédiction par des inégalités de la forme :

(5.3)

où et représentent des vecteurs pouvant être constants. Ce type de contrainte définit la plage de variations des commandes. On ferait de même pour des contraintes sur

l’état ou la sortie.Le vecteur d’optimisation ̃ du profil de commande est défini par :

̃ { … } (5.4)

5.3.3.2 Formulation du problème d’optimisation

La commande prédictive consiste à minimiser le critère (5.2), tout en tenant compte des contraintes ((5.3) par exemple). Son principe général est donné par la figure 5.3.

La démarche de résolution du problème d’optimisation peut être formalisée par les étapes suivantes à un instant d’échantillonnage (Hafidi, 2008) :

1. Calcul de la séquence optimale { … … } minimisant la

fonction de coût ̃ , en tenant compte des contraintes de fonctionnement :

̃ { ̂ (5.5)

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avec : , et sont des matrices constantes, p, r et pT sont des vecteurs regroupant

les valeurs limites à respecter au niveau des contraintes.

2. solution de la résolution du problème d’optimisation : séquence de commande

optimale ̃ { … } ;

3. implantation de la première commande au système ;

4. réitération selon la stratégie de l’horizon fuyant à l’instant d’échantillonnage

suivant .

Figure 5.3 : Schéma de mise en œuvre de la commande prédictive non-linéaire

Dans la section suivante, cette démarche d’optimisation, formulée jusqu’ici de façon très générale, est appliquée dans le cadre de la synthèse spécifique d’une loi de commande prédictive non-linéaire pour la culture de microalgues dans le photobioréacteur.

5.4 Application au système étudié

Cette section s’intéresse à l’élaboration d’une commande prédictive non-linéaire pour la culture de Chlorella vulgaris dans un photobioréacteur. Une première étape consiste à définir les objectifs visés pour la loi de commande. La structure de la commande prédictive non-linéaire sera par la suite présentée à travers la définition du critère de performance et la résolution du problème d’optimisation en utilisant l’approche CVP « Control Vector

Parametrization ».

A l’instant k

Mesures des sorties du système

Modèle de Prédiction Contraintes sur :

- les états - la commande - la sortie actuelle et futures : - commande - perturbations Sorties futures du système

Résolution du problème d’optimisation

Séquence de commande optimale

Application de la première commande

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