La réduction du poids des concours « passifs »

A estimação pontual não fornece informações da margem de erro que é cometida ao se estimar um determinado parâmetro. A estimação por intervalo procura corrigir essa lacuna a partir da criação de um intervalo que garanta uma alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro desconhecido. Assim, para ilustrar esse processo, na estimação da produtividade média de uma nova cultivar de milho o seguinte intervalo é um possível exemplo desse processo de estimação: [8,0t/ha; 9,2t/ha]. Isso significa que o verdadeiro valor da produtividade média, o qual é desconhecido, tem uma elevada probabilidade de ser um único valor compreendido pelo intervalo apresentado. Essa probabilidade é denominada de coeficiente de confiança e é representada por γ ou 1 − α. Em geral, nos trabalhos científicos que utilizam a estimação, esse coeficiente de confiança (γ) é fixado em 90%, 95% ou 99%.

O valor de α se refere à probabilidade de o valor do parâmetro não pertencer ao intervalo gerado. Em geral, essa probabilidade é baixa, ou seja, por estar sob o controle do investigador científico, é fixada em 10%, 5% ou 1%. Por outro ponto de vista, o coeficiente de confiança (γ) pode ser interpretado como a proporção média de intervalos de confiança, gerados a partir de um grande número de amostras, que cobrirá o parâmetro, ou seja, que conterá o valor real do parâmetro entre seus limites. Essa é visão do ponto de vista frequentista. Uma vez obtido um intervalo, ele conterá ou não o parâmetro. Então desse ponto de vista, a confiança γ é só válida para um grande número, tendendo para infinito, de intervalos obtidos e não para um intervalo em particular já computado em uma amostra. A probabilidade α, também se aplicará apenas a um grande número de intervalos, ou seja, espera-se que 100α% deles não contenham o verdadeiro valor do parâmetro que se está estimando. Existe uma outro linha da estatística, em que a incerteza sobre os parâmetros é vista como um modelo de probabilidade. Essa é a estatística bayesiana. Nesse caso, o intervalo de confiança terá uma probabilidade de 100γ% de conter o verdadeiro valor do parâmetro.

A maior parte dos cientistas interpretam o intervalo de confiança intuitivamente de uma uma forma subjetiva/bayesiana: “há 100γ% de probabilidade de o intervalo conter o verdadeiro parâmetro”, ou seja, o valor de 100γ% tem ligação direta de prova para o intervalo observado. Essa será a abordagem feita nesse Livro, uma vez que se entende, dada uma determinada amostra observada e um intervalo computado, que a incerteza de que o valor do parâmetro esteja nesse intervalo é dada pelo coeficiente de confiança γ ou pelo seu valor complementar α. O que se quer dizer é que dado um certo intervalo, a incerteza de que ele contém o verdadeiro valor do parâmetro é de 100γ% de probabilidade.

O método da função pivô é o mais comum para a obtenção de regras gerais para a construção dos limites, inferior e superior, de um intervalo de confiança. A função pivô depende do parâmetro (θ) e da amostra por intermédio do estimador (ˆθ), mas sua distribuição de probabilidade não depende de θ. Dessa forma, percentis da distribuição dessa função podem ser obtidos sem a necessidade de se conhecer o valor do parâmetro. Igualando-se esses percentis à função pivô, a qual depende do parâmetro, e em se explicitando θ nessa equação gerada, se estabelece o intervalo de confiança a partir de escolhas adequadas de dois percentis dessa distribuição.

Para ilustrar o procedimento geral da função pivô, é considerada a amostragem de uma população normal com parâmetros µ e σ2. Numa primeira abordagem, será considerado que o valor de σ2

7.2 Estimação por intervalo 115

seja conhecido. Sabe-se que a distribuição de ¯X, obtida a partir de amostras da distribuição normal, tem também distribuição normal com média µ e variância σ2/n. A distribuição de ¯X depende da quantidade desconhecida µ, não sendo possível, portanto, a obtenção de quantis dessa distribuição de probabilidade. Para contornar essa dificuldade, constrói-se uma função que depende de µ, mas cuja distribuição de probabilidade não. Essa função aleatória é definida por

Z =X − µ¯ _σ

√ n

A função pivô Z tem distribuição normal padrão, ou seja, distribuição normal com média 0 e variância 1. A distribuição de Z não depende da quantidade desconhecida µ, sendo possível obter os quantis inferior e superior α/2 (−Zα/2e Zα/2). A afirmativa probabilística seguinte, a

definição de Z anterior e os quantis inferior e superior da distribuição N (0, 1) permitem que se construa a regra de estimação de µ por intervalo. Deve-se observar que Zα/2é uma quantidade

escalar fixa e não uma variável aleatória. Assim,

P −Z_α/2≤ Z ≤ Z_α/2
=1 − α.

Substituindo a definição de Z nessa expressão obtém-se

P −Z_α/2≤ X − µ¯ _σ √ n ≤ Z_α/2 ! =1 − α,

que se for isolado µ, resulta em

P  ¯ X − Z_α/2√σ n ≤ µ ≤ ¯X + Zα/2 σ √ n  =1 − α. (7.2.1)

A afirmativa probabilística (7.2.1) significa que o parâmetro desconhecido µ apresenta uma probabilidade de 1 − α de estar entre os limites ¯X − Z_α/2σ/√n e ¯X + Z_α/2σ/√n. A escolha dos quantis −Zα/2e Zα/2, no caso específico de uma distribuição simétrica como essa, é devida à

necessidade de que o intervalo tenha o menor comprimento dentre todos os possíveis intervalos de confiança. Poderia se pensar em escolher os valores −Z_α/4 e Z_3α/4, mas o intervalo gerado não teria comprimento mínimo dentre todos os possíveis intervalos, pois a diferença dos limites do último intervalo, comparado com a diferença do primeiro, estabelece a seguinte relação: (Zα/4+ Z3α/4)σ/

√

n > (2Zα/2)σ/

√

n. Em palavras, significa dizer que a amplitude do intervalo com os quantis simétricos é menor do que a do intervalo obtido com quantis assimétricos em relação a média 0 da normal padrão. Merece ser mencionado o fato de que, para a maioria das situações reais, o valor de σ2 não é conhecido e o intervalo (7.2.1) teria sua utilidade prática limitada. Para o caso de variâncias desconhecidas e amostragem de populações normais, a função pivô é determinada de acordo com a equação 7.15. Essa função aleatória tem distribuição t de Student e é a formula mais útil usada para a construção de intervalos de confiança para a média de uma população normal. A literatura especializada é repleta de outros critérios os quais não são abordados neste Livro. Os limites ¯X − Z_α/2σ/√n e ¯X + Z_α/2σ/√n formam o intervalo de confiança de 100γ% = 100(1 − α)% almejado, sendo, respectivamente, limites inferior e superior.

116 Teoria da Estimação

7.3

Intervalo de confiança para a média de uma população normal