IV . − Réduction des endomorphismes
IV. 10 . − Réduction de J ORDAN
Dans ce paragraphe (IV.10,) on suppose queEest de dimension finie. Tout comme pour le théorème de CAYLEY–HAMILTON(cf. IV.7.2,) on dispose des outils nécessaire pour établir l’existence d’une réduction de JORDANdans le cas des espaces cycliques (cf. IV.4.2.)
Ici encore, le théorème IV.11.5 de réduction de FROBENIUSpermettra de déduire le théorème IV.10.10 de la proposition IV.10.3 tout comme on pouvait déduire le théorème IV.7.2 de la proposition IV.6.4.
Définition IV.10.1 (Réduction de JORDAN) On dit qu’un
endomorphismeu ∈ EndK(E)(ou même le couple(E, u) ) admet uneréduction deJORDANs’il existe
des sous espacesEi,1≤i≤k deEet des élémentsλi,1≤i≤k ∈ KdeK tels que :
J1)
E = Mk
i=1
Ei; J2) ∀1≤i≤k, Eiest stable paru;
J3)
∀1≤i≤k, u|Ei est de JORDANde paramètreλiet d’échelondimKEi.
Le point J3) équivaut à dire qu’il existe une base dans laquelle la matrice deu|Ei est un bloc de JORDAN
JdimKEi(λi).Par conséquentuadmet une réduction de JORDANsi et seulement si il existe une base deEdans laquelle la matrice deus’écrit par blocs :
Jd1(λ1) 0 0 . . . 0 0 0 Jd2(λ2) . . . 0 0 0 0 . . . Jdk(λk).
.
On dira qu’une telle matrice est uneréduite deJORDAN. On dira queJ ∈ Mn(K)est uneréduite deJORDAN
pour une matriceA ∈ Mn(K)siAetJsont conjuguéesi.e.si
∃P ∈ GLn(K), A = P JP−1. On pourra écrire
(E, u) = Lk i=1
(Ei, θi)
où∀1≤i≤k, θi : Ei → Ei est de JORDANde paramètreλiet d’échelondimKEi. IV.10.1.1 Notation IV.10.2 Il r’ésulte immédiatement du corollaire IV.8.5 que, si(E, u)possède une réduction de JOR
-DANcomme en IV.10.1.1∀1≤i≤k, , λiest une valeur propre deuet que le couple(Ei, θi)est uniquement caractérisé parλietdimKEi.
Étant donnée une réduction de JORDAN de (E, u) on notera, pour toutλ ∈ Sp(u), D(λ)le uplet des dimensiondimKEitels queλ = λidans la décomposition IV.10.1.1 ; c’est-à-dire le uplet des échelons (taille des matrices) des blocs de JORDANde paramètreλ.On pourra supposer les éléments deD(λ)rangés par ordre décroissant. On pourra même supposer, que pour toutλ ∈ Sp(u)lesD(λ)ont tous même nombre d’éléments r,quitte à donner la valeur0aux derniers éléments. On dira que
{(λ, D(λ))},λ∈Sp(u)
est l’ensemble de paramètres de la réduction.
Par exemple siua pour réduite de JORDAN
l’ensemble de paramètre de cette réduction est
{(1,(2,1))(2,(2,0))(3,(1,0))}.
Proposition IV.10.3 (Existence dans le cas cyclique) Si(E, u)est un espace cyclique de polynôme minimal (ou caractéristique (cf. IV.6.4,)) scindé,
Pcaru = Pminu = Y
λ∈Sp(u)
(X−λ)dλ, (E, u)possède une réduction deJORDANd’ensemble de paramètres
{λ ∈ Sp(u) ; (λ,(dλ))}.
Preuve: Il découle de la proposition IV.4.6, que
E = M c’est-à-dire deJORDANde paramètreλet d’échelondλ.
Définition IV.10.4 (Réduction de FROBENIUS) On dit que(E, u)a uneréduction deFROBENIUSs’il existe r ∈ Ndes sous-K-espaces vectorielsEj,1≤j≤rdeEet des polynômesµj,1≤j≤r ∈ K[X]tels que :
Frob1)
∀1≤j≤r, Ejest stable paru . Frob2)
∀1≤j≤r, (Ej, u|Ej)est cyclique de polynôme minimalµj.
Frob3)
Les polynômesµj,1≤j≤rs’appellent lesinvariants de similitudede(E, u)ou simplement deu(cf. IV.11.9.) On constate immédiatement sur cette définition que
Pminu = µ1.
Remarque IV.10.5 i) Il faudra se reporter au théorème IV.11.5 de réduction de FROBENIUS pour garantir qu’une telle réduction existe toujours pour un couple(E, u),cette dernière étant même unique.
ii) Néanmoins si(E, u)est cyclique, il est pour ainsi dire tautologique qu’il est sa propre réduction de FRO
-BENIUS.
iii) Il est tout aussi immédiat de constater, que dans le cas où(E, u)est cyclique, la proposition IV.10.3, signifie en fait qu’une réduction de FROBENIUSdétermine l’existance d’une réduction de JORDANdans le cas où le polynôme minimal est scindé. Ce résultat se généralise comme suit (proposition IV.10.6.
Proposition IV.10.6 Supposons que(E, u)possède une réduction deFROBENIUS Ej,1≤j≤r, µj,1≤j≤r et queµ1 = Pminusoit scindé. Alors(E, u)possède une réduction deJORDANd’ensemble de paramètres
{(λ, dλ,j,1≤j≤r)},λ∈Sp(u)
où
∀1≤j≤r, µj = Y
λ∈Sp(u)
(X−λ)dλ,j .
Preuve: Il suffit d’appliquer la proposition IV.10.3 à chaque(Ej, u|Ej)qui est cyclique ; et de constater que la condition IV.10.4.Frob4) entraîne que∀λ∈Sp(u), dλ,jest une fonction décroissante dej.
Remarque IV.10.7 On remarque dans la construction ci-dessus (proposition IV.10.6 que
∀1≤j≤r, , dλ,jn’est autre que la valuation(X−λ)−adique deµj
au sens où elle a été définie en toute généralité pour les anneaux principaux en I.13.5.5, ou plus précisément pour le cas particulier des anneaux de polynôme en III.5.5.
Proposition IV.10.8 Supposons que(E, u)possède une réduction deJORDANd’ensemble de paramètres {(λ, dλ,j,1≤j≤r)},λ∈Sp(u).
Preuve: Le fait que les sous-K-espacesEj,1≤j≤rsoient cycliques est encore une conséquence de la proposi-tion IV.4.6.
Lesνj,1≤j≤rsatisfont à IV.10.4.Frob4) puisquedλ,jest décroissante enj.
Proposition IV.10.9 (réduction de JORDAN, réduction de FROBENIUSet isomorphisme) Soient EetFdesK-espaces vectoriels de dimension finie
et
u ∈ EndK(E) (resp.v ∈ EndK(F))un endomorphismeK-linéaire deE(resp.F .) On suppose que(E, u)(resp.(F, v),) possède une réduction deJORDANde paramètres
PE := {(λ,(du,λ,1, . . . , du,λ,r))},λ∈Sp(u)(resp.PF := {(λ,(du,λ,1, . . . , du,λ,s))},λ∈Sp(u). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
a) Les espaces(E, u)et(F, v)ont même ensemble de paramètres deJORDANi.e.PE = PF . b) Il existe un isomorphisme deK-espaces vectoriels
φ : E → F tel queφ ◦ u = v ◦ φ;
c’est-à-dire, dans le formalisme dévelopé au paragraphe IV.1, et plus particulièrement en IV.1.2.ii), un isomor-phisme deK[X]-modules
φ : (E, u) ∼= (F, v).
c) Les espaces(E, u)et(F, v)ont même réduction deFROBENIUSi.e.ont mêmes invariants de similitude et leur polynôme minimal commun est scindé.
Preuve: (resp.(F, v) ;) ces blocs pouvant éventuellement être{0};ce qui permet néanmoins d’écrire :
E = L L’assertion a) entraîne en particulier queSp(u) = Sp(v)et de plus que
∀λ∈Sp(u) = Sp(v), ∀1≤k≤r, du,λ,k = dv,λ,k.
Les sous-espacesEλ,k (resp.Fλ,k) étant cycliques, par définition même d’une réduction de JORDAN, il existe
Puisque, par hypothèse,du,λ,k = dv,λ,kon peut définir φλ,k: Eλ,k −→ Fλ,k
ui(xλ,k) 7−→ vi(yλ;k)0≤i≤dx,λ,k−1
(resp.ψλ,k: Fλ,k −→ Eλ,k
vi(yλ,k) 7−→ ui(xλ;k)0≤i≤dy,λ,k−1.) On a alors, par construction
φλ,k◦ψλ,k = IdFλ,k, ψλ,k◦φλ,k = IdEλ,k , φλ,k◦u|Eλ;k = v|Fλ,k◦ψλ,k;
1 (cf. Problème n◦II, exercice D, question 4), b)pour une justification complète de la dernière égalité.)
Il existe alors, d’après la proposition IV.8.7.ii), un unique morphismeK-linéaire4 φ : E → F
(resp. ψ : F → E)
tel que∀λ∈ Sp(u) = Sp(v),
∀1≤k≤r, φ|Eλ,k = φλ,k
(resp. ψ|Fλ,k = ψλ;k.)
Il résulte alors de 1 que
φ ◦ ψ = IdF , ψ ◦ φ = IdE, φ ◦ u = v ◦ ψ . ii) (b)⇒c))
L’existence d’une réduction de JORDANpour(E, u)(resp.(F, v),) donne, grâce à la proposition IV.10.8 une réduction deFROBENIUSde(E, u)(resp.(F, v),) d’invariants de similitude
∀1≤j≤r, µE,j = Y
λ∈Sp(u)
(X−λ)du,λ,j (resp.∀1≤j≤s, µF,j = Y
λ∈Sp(v)
(X−λ)dv,λ,j.)
Ceci assure déjà que
Pminu = µE,1(resp.Pminv = µF,1,)est scindé.
Le point b) et le corollaire IV.11.10 assurent alors que
r = set∀1≤j≤r, µE,j = µF,j . iii) (c)⇒a))
Comme ci-dessus une réduction deJORDANpermet de construire, graçe à la proposition IV.10.8 une réduc-tion deFROBENIUS. L’unicité dans la décomposition en produit de facteurs irréductibles (cf. I.13.5.3,) assure alors que
Sp(u) = Sp(v) et∀1≤j≤r, ∀λ∈Sp(u), du,λ,j = dv,λ,j .
4. En observant bien les énoncés précités, on s’apercevrait qu’il s’agit même d’unK[X]-morphisme.
Théorème IV.10.10 (de réduction de JORDAN) SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien ∈ N∗, u ∈ EndK(E)un endomorphismeK-linéaire deEtel que son polynôme minimalPminu(ou de manière équi-valente son polynôme caractéristiquePcarU) est scindé. Alors :
1) L’endomorphismeuadmet une réduction de JORDAN.
Preuve: Le théorème IV.11.5 assure de l’existence d’une réduction de FROBENIUSpour(E, u).La proposi-tion IV.10.6 permet alors de construire une réducproposi-tion deJORDAN.
2) (E, u)possède une unique réduction deJORDANau sens des équivalences de la proposition IV.10.9.
Remarque IV.10.10.3 L’unicité dans le théorème de réduction IV.10.10 est a rapprocher de la remarque B.6.13.3. Les blocs de JORDANdans la décomposition de JORDANne sont en effet rien d’autres que lesdiviseurs élémentaires(cf. B.6.10,) dans le cas particulier où les facteurs irréductibles de l’annulateur sont des polynômes scindés.
Corollaire IV.10.11 SiEest unK-espace vectoriel de dimension finie, on peut grâce au théorème IV.3.2, écrire Ecomme somme directe de ses sous-espaces caractéristiques
E = Mk
i=1
E[Pi],
où lesPi,1≤i≤k ∈ K[X]sont les facteurs irréductibles du polynôme minimalPminu(aussibien que du poly-nôme caractéristiquePcaru.) Il n’y a en toute généralité aucune raison que lesE[Pi]soient cycliques. Cependant le théorème IV.11.5 permet de décomposer chacun desE[Pi]comme une somme directe d’espaces cycliques
E[Pi] =
ri
M
j=1
Ei,j
oùEi,jest cyclique de polynôme minimalµi,javecµi,1 = Pi. Si l’on suppose, de plus quePminuest scindé,
∀1≤i≤k, ∃λi ∈ K, ∃di,1 ∈ N∗, µi,1 = Pi = (X−λi)di,1. Il s’ensuit, en vertu de IV.10.4.Frob4), que
∀1≤i≤k, ∀1≤j≤ri, ∃di,j ∈ N∗, µi,j = (X−λi)di,j.
Il en résulte que les sous-espacesEi,j,1≤i≤k ,1≤j≤risont deJORDAN. L’énoncé IV.10.10.2) d’unicité assure alors qu’il s’agit de la réduction deJORDANde(E, u).
Remarque IV.10.12 Le corollaire IV.10.11 ci-dessus confronté à la proposition IV.10.6 fait apparaître qu’on peut déterminer la réduction de JORDANde(E, u),pour peu qu’elle existei.e.que le polynôme minimal soit scindé, de deux manières différentes :
i) Soit on applique le théorème IV.11.5 de réduction de FROBENIUSà(E, u)puis le théorème IV.3.2 de dé-composition en sous-espaces caractéristiques à chacun des sous-espaces stables de la réduction de FROBENIUS. On peut d’ailleurs dans ce cas, se contenter de la proposition IV.4.6.
C’est la manière dont nous avons procédé dans la proposition IV.10.6.
ii) On peut d’abord décomposer l’espace(E, u)en une somme directe de sous-espaces caractéristiques, grâce au théorème IV.3.2 ; et décomposer ensuite chacun d’eux en sommes directe de sous-espaces cycliques, grâce au théorème IV.11.5.
C’est la manière dont nous avons procédé dans le corollaire IV.10.11.
L’énoncé IV.10.10.2) d’unicité assure cependant que les constructions i) et ii) déterminent l’unique réduction de JORDANde(E, u).
Corollaire IV.10.13 (du théorème IV.10.10 : Conséquences matricielles) Soitn ∈ N∗.
i) La proposition IV.10.9 assurent que deux réduites deJORDANJetK ∈ Mn(K)ayant mêmes paramètres, sont conjuguéesi.e.
∃P ∈ GLn(K), K = P JP−1.
ii) Pour tout(A, B) ∈ Mn(K)× Mn(K), AetBsont conjuguées si et seulement si elles ont même réduite deJORDAN(i.e.des réduites deJORDANayant les mêmes paramètres.)
iii) Si le polynôme minimalPminu = µ1deuest de la forme(X −λ)dλ,1 autrement dit siµ1 a un unique facteur irréductible qui est de degré1,
∀2≤j≤r, µj = (X−λ)dλ,j, dλ,j ≤ dλ,j−1
oùµj,1≤j≤r sont les invariants de similitude donnés par la réduction deFROBENIUS (cf. IV.10.4.) Alors les sous-espaces cycliquesEjqui leur sont associés, sont de JORDANet la réduction deFROBENIUSest déjà une réduction deJORDAN. Le polynôme minimal deEjest
µj = (X−λ)dλ,j = La matrice compagnon qui lui est associée est alors :
Cj = En vertu de la proposition IV.8.3, un bloc deJORDAN
Jj = On constate néanmoins que sixest un vecteur cyclique alors
(u−λ)k(x) = 0 ⇒ (X−λ)dλ,j|(X−λ)k
puisque précisément, sixest cyclique
Pminv u|Ej = Pminu|Ej . La base
x, u(x)−λx, . . . ,(u−λIdEi)dλ,j−1(x) est alors une base dans laquelle la matrice deu|Ej estJj.
On peut ainsi déterminer un changement de base permettant de passer deCjàJj.
iv) Dans le cas oùλ = 0,i.e.uest nilpotent, la matrice compagnon (iii).1)Cjet le bloc de JORDAN(iii).2) coïncident sans qu’il soit nécessaire de changer de base.
IV.11 . − Théorème de réduction de F
ROBENIUS(cf. II.10, B.6)
On démontrera dans ce paragraphe (IV.11,) le théorème IV.11.5 dit deréduction deFROBENIUS. Une formulation beaucoup plus concrète de ce résultat est donnée au corollaire IV.11.7 :
Théorème 1 Étant donnée une matriceM ∈ Mn(K)(carrée de taillenà coefficients dans un corpsK,) il existe une matrice inversibleP ∈ GLn(K)telle que :
P−1M P =
L’entierrqui apparaît dans l’écriture ci-dessus est exactement celui qui apparaît dans le théorème de réduction de FROBENIUS, à savoir le nombre de sous-modules cycliques dans la décomposition.
Il est possible, à travers l’identification entreK[X]-modules etK-espaces vectoriels munis d’un endo-morphisme faite au paragraphe IV.1, de voir le théorème de réduction de FROBENIUScomme un avatar du théorème desfacteurs invariants(cf. B.6.13.) un tel point de vue pourrait certes être suffisant pour obtenir un résultat du type du corollaire IV.11.10 qui n’est qu’une reformulation du corollaire B.6.15.
Cependant, le caractère abstrait de ce point de vue ne permet pas d’en tirer directement de méthode pour construire la réduite de FROBENIUS d’un endomorphisme qui serait concrètement donné par sa matrice par exemple. Nous allons donc, dans ce paragraphe (IV.11,) adopter un point de vue spécifique auxK-espaces vectoriels de dimension finie.
Notation IV.11.0 ( (cf. II.10.0, B.6.0)) Dans tout ce paragraphe (IV.11,)Kest un corps,EunK-espace vec-toriel de dimension finie etu ∈ EndK(E)un endomorphismeK-Linéaire. Rappelons (cf. IV.2.6,) qu’il re-vient au même de demander que (E, u) soit un K[X]-module de type fini (cf. II.1.5,) et de torsion (cf.
IV.2.2.vi).) En particulier (cf. IV.2.6,) le polynôme minimalPminuest non nul.
Proposition IV.11.1 (Existence d’un vecteur cyclique maximal (cf. II.10.1, B.6.3)) Soient EunK-espace vectoriel de dimension finie
et
u ∈ EndK(E)un endomorphismeK-linéaire deE .
Alors il existex ∈ Etel que lepolynôme minimal deuenx Pminx u(cf. IV.2.2.iii),) soit le polynôme minimal Pminudeu.Il s’ensuit queC := Vect
{un(x)},n∈N est un sous-espace deEstable paruet cyclique de polynôme minimalPminu(i.e.un sous-K[X]-module cyclique de(E, u).)
Preuve: (cf. TD n◦VI, exercice D.)
On pourrait à ce point utiliser un analogue de la proposition II.10.4, puisque, comme dans le cas des groupes abéliens finis on dispose d’un invariant qui décroît strictement dans les suites exactes. Plus précisément la proposition IV.11.1 assure qu’on a dès lors une suite exacdte comme en II.10.2.1 ou B.6.4.1. La suite desK -espaces vectoriels sous-jacents est alors exacte en vertu du point IV.1.2. On peut donc lui applicquer leprincipe d’Euler-Poincaré(cf. I.9.19,) à savoir que la dimension du quotient dans la suite exacte est strictement inférieure à la dimension du terme central. On pourrait alors montrer que cette suite est scindée.
On peut cependant ici employer un argument propre à la structure sous-jacente deK-espaces vectoriels des K[X]-modules :
Notation IV.11.2 ( (cf. II.10.2, B.6.4)) SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,u ∈ EndK(E)un endomorphismesK-linéaire deEde polynôme minimalPminu.Soit
C ⊂ Eun sous-K-espace vectoriel deEstable paru
(i.e. un sous-K[X]-module de(E, u),)cyclique de polynôme minimalPminu. IV.11.2.1 On a donné dans la proposition IV.4.1 un certain nombre de caractérisations équivalentes des espaces cy-cliques. En particulier,
∃x ∈ C, C = Vect
{un(x)},n∈N
ce qui signifie de manière équivalente que le morphisme deK-espaces vectoriels K[X] → E , X 7→ X·x = u(x), est surjectif, à valeurs dansCet de noyau
Pminx uK[X] = PminuK[X] = AnnK[X](x). On a donc un isomorphisme
K[X]/Pminx uK[X] = K[X]/PminuK[X] = K[X]/AnnK[X](x) ∼= C . En vertu de la proposition IV.4.1,Cest alors de dimension
d := deg(Pminx u) = deg(Pminu) IV.11.2.2 en tant queK-espace vectoriel et{x, u(x), . . . , ud−1(x)}en est une base.
On complète cette base en une base
ei,1≤i≤dimKE avec∀1≤i≤d, ei = ui−1(x). IV.11.2.3 Notonse∗i,1≤i≤dimKEsa base duale, si bien qu’on a, en particulier,
∀ai,0≤i≤d−1∈K, e∗d
d−1X
i=0
aiui(x)
= ad−1. IV.11.2.4
Soit enfin
S := {y ∈ E; K[X]·y ⊂ Kere∗d}; IV.11.2.5 c’est-à-dire queSest l’ensemble desy ∈ Etels que
∀P ∈K[X], P(u)(y) ∈ Kere∗d.
On va montrer queSest un supplémentaire deCen tant queK-espace vectoriel stable paru;ce qui revient en fait à montrer que c’est un supplémentaire deCen tant queK[X]-module.
Proposition IV.11.3 ( cf. II.10.3) i) L’ensembleS(cf. IV.11.2.5,) est un sous-K-espace vectoriel deEstable paru(i.e.un sous-K[X]-module de(E, u).
Preuve: Bien entendu0 ∈ Ssi bien queS 6= ∅.Pour tout
(y1, y2) ∈ S×S , tout(A1, A2) ∈ K[X]×K[X], toutP ∈ K[X], e∗d P·(A1·y1+A2·y2)
= e∗d (P A1)·y1+ (P A2)·y2
= e∗d[(P A1)·y1] +e∗d[(P A2)·y2]
= 0 ; si bien que
A1·y1+A2·y2 ∈ S assurant queSest un sous-K[X]-module deE.
ii) Les espacesCetSétant come en IV.11.2.1, (resp. IV.11.2.5,) C ∩ S = {0}.
Preuve: Soity ∈ S∩C.En particuliery ∈ Csi bien qu’il existe ai,1≤i≤d ∈ Ktel quey =
Xd
i=1
aiei = Xd
i=1
aiui−1(y). Par ailleurs, puisquey ∈ S,pour toutn ∈ N,
e∗d(Xn·y) = 0. Alors :
∀0≤j≤d−1, 0 = e∗d(Xj·y)
= e∗d uj[ Xd
i=1
aiui−1(v)]
= e∗d Xd
i=1
aiui+j−1(v)
= ad−j. Il s’ensuit quey = 0.
iii) L’application
φ : K[X] → E∗, P 7→ e∗d◦P(u) est un morphismeK-linéaire dont le noyau estK[X]Pminu.
Preuve:
∗) (φestK-linéaire)
Puisque uest un endomorphismeK-linéaire deE,pour tout P ∈ K[X], P(u)est encore un endomor-phismeK-linéaire deEet
φ(P) := e∗d◦P(u) puisqueCest stable sousu,si bien qu’il existe
ai,j,1≤j≤d ∈ Ktel queXj·ei =
PuisqueKere∗dest unK-espace vectoriel, il découle de 1 que, pour toutQ ∈ K[X], Q·(P·ei) ∈ Kere∗d
c’est-à-dire que
K[X]·(P·ei) ⊂ Kere∗d. Il s’ensuit queP·ei ∈ S .
¶) (P(u)|C = 0)
OrP·ei ∈ C,et d’après ii),C∩S = {0}.Donc
P(u)(ei) = P·ei = 0. 1
Commeei,1≤i≤dest une base deC,il s’ensuit queP(u)|C = 0.
k) (Pminu|P) Il s’ensuit que
Pminu|C|P . OrCest précisément construit de sorte que
Pminu = Pminu|C
ce qui termine la preuve.
iv) Le morphismeφétant construit comme dans le lemme iii) il existe un unique morphismeK-linéaire injectif φtel que le diagramme suivant, où la flèche vertical est la surjection canonique, soit commutatif :
K[X] −−−−→φ E∗
↓ րφ K[X]/(K[X]Pminu)
Preuve: Remarquons queK[X]Pminuest un idéal deK[X]donc un sous-K[X]-module deKkXlui-même.
C’est donc aussi (cf. IV.1.2.iii),) un sous-K-espace vectoriel deK[X]5. Ceci peut également se déduire du fait, que dans iii), on a identifié
K[X]Pminuau noyau d’une applicationK-linéaire.
Il suffit désormais d’appliquer la factorisation des morphismes deκ-espaces vectoriels àφ.
5. Ni l’un ni l’autre d’ailleurs n’étant deK-dimension finie alors qu’ils sont de type fini comeK[X]-modules.
v) Notons
F := Imφ ⊂ E∗(cf. iv) ;) le sous-espaceSétant comme en IV.11.2.5 :
S = F⊥ = {y ∈ E; ∀f ∈F, f(y) = 0}.
Preuve:
∗) (S ⊂ F⊥)
Pour touty ∈ S,par définitionK[X]·y ⊂ Kere∗dc’est-à-dire que pour toutP ∈ K[X], P ·y ∈ Kere∗d c’est-à-dire que
e∗d(P·y) = 0 ⇔ e∗d[P(u)(y)] = 0 ⇔ φ(P)(y) = 0 c’est-à-dire que
S ⊂ (⊥Imφ) = (⊥Imφ) = F⊥.
†) (F⊥ ⊂ S)
Pour touty ∈ F⊥,pour toutP ∈ K[X], φ(P)(y) = 0c’est-à-dire quee∗d[P(u)(y)] = 0ou encore P·y ∈ Kere∗dou encore, de manière équivalentey ∈ S,ce qui achève la preuve.
vi) Les espacesCetSétant come en IV.11.2.1, (resp. IV.11.2.5,) dimKS + dimKC = dimKE .
Preuve: On déduit de iv) que
dimKImφ = dimKK[X]/K[X]Pminu.
OrK[X]/K[X]Pminuest un K[X]-module cyclique au sens de la définition IV.4.2, si bien qu’en vertu de la proposition IV.4.1,
dimKK[X]/K[X]Pminu = deg(Pminu) = d = dimKC . C’est un résultat connu de dualité dans les espaces vectoriels que
dimKF + dimKF⊥ = dimKE et qui permet de conclure.
Proposition IV.11.4 ( cf. II.10.4) Étant donnés unK-espace vectorielEde dimension finie, un endomorphis-meu ∈ EndK(E)Kkk-linéaire deE, Cun sous-espace deEstable paruet cyclique de polynôme minimal Pminu, Cpossède un supplémentaire stable paru.
Preuve: On construit un supplémentaireSdeCcomme en IV.11.2.5, puis on applique IV.11.3.ii) et IV.11.3.vi) pour montrer queCetSsont supplémentaire.
Théorème IV.11.5 (de réduction de FROBENIUS(cf. II.10.5, B.6.13)) SoientEunK-espace vectoriel de di-mension finie etu ∈ EndK(E)un endomorphismeKk-linéaire deE.Alors :
1) (Existence)
Le couple(E, u)possède une réduction deFROBENIUS au sens où nous l’avons déjà définie en IV.10.4 et que nous rappelons ici : Il existe un entierr ∈ N, Ej,1≤j≤r des sous-K-espaces vectoriels de E,et des polynômesµj,1≤j≤r ∈ K[X]tels que :
Frob1)
∀1≤j≤r, Ejest stable paru . Frob2)
∀1≤j≤r, (Ej, u|Ej)est cyclique de polynôme minimalµj. Frob3)
E = Mr
j=1
Ej.
Frob4)
∀1≤j≤r−1, µj+1|µj .
Preuve: On a vu IV.2.6 queupossède un polynôme minimalPminu ∈ K[X]non nul.
La proposition IV.11.1 assure alors qu’il existe un sous-espace cycliqueCdeEde polynôme minimalPminu
ce qui signifie un sous-K-espace vectorielCdeE,stable paruet de dimensiondeg(Pminu).
La proposition IV.11.4 assure alors queCpossède un supplémentaireSdansE,tel queSest stable paru.
LeK-espace vectorielS étant de dimension strictement inférieure à celle deE,on peut faire l’hypothèse de récurrence que(S, u|S)possède une réduction deFROBENIUS.
Il existe doncS2,j≤2≤rdes sous-K-espaces vectoriels deSstables parucycliques de polynômes minimaux respectifsµj,2≤j≤ravec
S = Mr
2=j
Siet∀2≤j≤r−1, µj+1|µj. On montre le résultat en posant
E1 := Cet∀2≤j≤r, Ej := Sj
pour peu qu’on montre queµ2|Pminu.Or par hypothèse de récurrence,µ2est le polynôme minimalPminu|S2 de la restriction deuàS2.Or, par définition du polynôme minimal deu
∀x∈E, Pminu(u)(x) = 0 donc
∀x∈E2, Pminu(u)(x) = 0 ⇔ ∀x∈E2, Pminu(u|E2)(x) = 0 ce qui prouve que
µ2|Pminu.
2) (Unicité)
L’entierret ler-upletµj,1≤j≤rsont uniques et ne dépendent que de l’endomorphismeu.
Preuve: On suppose
sont des réduction deFROBENIUSde(E, u).
On a alors, d’après la proposition IV.4.1 : Xr
Finalementµt = νtce qui contredit l’hypothèse et assure donc que µi,1≤i≤r = νj,1≤j≤s .
IV.11.6 .−Preuves des lemmes IV.11.5.2).2).2 et IV.11.5.2).2).3 Preuve(du lemme IV.11.5.2).2).2): Par hypothèse surt
µk = νk = Xd− Il résulte de cette relation que, si l’on définit
φ : Ek → Fk, uℓk(x) 7→ vkℓ(y),
φest un isomorphisme deK-espaces vectoriels (puisqu’il envoie une base sur une base) et de plus
∀z∈Ek, φ[uk(z)] = vk[φ(z)]. On peut réécrire cette dernière identité, puisque
uk = u|Eketvk = u|Fk,
∀z∈Ek, φ[u(z)] = u[φ(z)]
(ce qu’on pourrait résumer par le fait queφest en fait un isomorphisme deK[X]-modules (cf. IV.1.2.ii).)) Il s’ensuit que
φ ◦ µt|Ek = µt|Fk ◦ φ ce qui prouve le résultat.
Preuve(du lemme IV.11.5.2).2).3): tout d’abord
∀t≤k≤r, µk|µt
Ceci se réécrit, en vertu du lemme IV.11.5.2).2).2,
Le corrollaire qui suit reformule l’énoncé d’existence IV.11.5.1) en termes de réduction de matrices : Corollaire IV.11.7 SoientKun corps,n ∈ N∗un entier etM ∈ Mn(K)une matrice carré de taillen.Alors il existe une matrice carré inversibles de taillen, P ∈ GLn(K)telle que
P−1M P =
Preuve: Considérons la matriceM comme la matrice d’un endomorphismeK-linéaireudeE := Kn.Le théorème IV.11.5.1) donne une décomposition deEen somme directe
E = Mr
i=1
Ei
de sous-K-espaces vectoriels stables paruce qui correspond à une écriture de la matrice deupar blocs. Chaque bloc est la matrice d’un endomorphisme cyclique deEiet l’on peut donc trouver, (cf. IV.4.1.j),)une base dans laquelle c’est une matrice compagnon.
Le corollaire qui suit est une conséquence de l’énoncé d’unicité IV.11.5.2) et correspond presque mot pour mot au corollaire B.6.15 (voir aussi le corollaire II.10.7.)
Corollaire IV.11.8 SoientKun corps,n ∈ N∗un entier et(M, N) ∈ Mn(K)× Mn(K)un couple de ma-trices carrées de tailn.Les matricesM etNsont semblables
(i.e.∃P ∈ GLn(K), M = P−1N P )
si et seulement si ler-uplet de polynômesµi,1≤i≤rdéfini par le théorème IV.11.5 est le même pourM etN.
Définition IV.11.9 (Invariants de similitude (cf. II.10.6, B.6.14)) Le corollaire ci-dessus conduit a nomer ler−upletµi,1≤i≤r ∈ K[X]
lesinvariants de similituded’un endomorphisme ou d’une matrice.
Ces invariants ne sont ni plus ni moins que les facteurs invariants dans la décomposition d’un module de torsion (cf. B.6.14.)
Corollaire IV.11.10 ( (cf. II.10.7, B.6.15)) Étant donnés desK-espaces vectorielsEetFde dimension finie u ∈ EndK(E) (resp.v ∈ EndK(F) )un endomorphismeK-linéaire deE(resp.F ,)
et
f : E → Ftel quef ◦ u = v ◦ f,
(i.e.un morphisme deK[X]-modules (cf. IV.1.2.ii),))f est un isomorphisme (deK-espaces vectoriels aussibien que deK[X]-modules) si et seulement si(E, u)et(F, v)ont les mêmes invariants de similitude.
Corollaire IV.11.11 (de la proposition IV.6.4) Soientµi,1≤i≤rles invariants de similitude deu(cf. IV.11.9,) alors :
Pcaru = Yr
i=1
µi.
Preuve: Le théorème IV.11.5 de réduction deFROBENIUSpermet d’écrire E =
Mr
i=1
Ei
où lesEi,1≤i≤rsont stables paruet cycliques de polynômes minimal respectifµi. En appliquant la proposition IV.6.4 à chacun des sous-espaces cycliquesEi,on obtient
∀1≤i≤r, Pcaru|Ei = Pminu|Ei = µi. Il résulte alors du lemme IV.6.3.iii) que :
Pcaru =
Remarque IV.11.12 Lorsqu’on considère(E, u)muni de sa structure deK[X]-module, l’inclusion IV.5.3.i) correspond à l’inclusionE[X−λ] ⊂ E[(X−λ)k].On a vu, au paragraphe B.6, l’importance du rôle joué parE[P]lorsqueP est un élément irréductible. Dans ce cas, en effet, siκ := K[X]/(K[X]P)est le corps résiduel enP, E[P]est unκ-espace vectoriel de dimension finie.
SiP = X−λ
κ = K[X]/(K[X](X−λ)) = K
et alorsdimκ· = dimK· s’interprète comme la dimension surKde l’espace vectoriel sous-jacent. Dans le cas où le polynôme minimalPminu deuest scindé, la proposition B.6.11 se réinterprète comme suit (cf.
et alorsdimκ· = dimK· s’interprète comme la dimension surKde l’espace vectoriel sous-jacent. Dans le cas où le polynôme minimalPminu deuest scindé, la proposition B.6.11 se réinterprète comme suit (cf.