III . − Les anneaux de polynômes
III. 2 . − Anneau des polynômes à une indéterminée
∀(α, β)∈(AN\ {ζ}) × (AN\ {ζ}), val(α+ANβ) ≥ min val(α), val(β) avec égalité dans le cas oùval(α) 6= val(β).
Preuve: Voir l’exercice III.7.4.question 5).
Définition III.1.14 (Valuation) Pour toutα ∈ AN\ {ζ},on appelleravaluationX-adiqueou simplement de α,l’entierval(α).
Remarque III.1.15 a) On peut interpréter la valueation d’un élémentαdeAN \ {ζ},comme la plus grande puissance deXdivisantα.La définition de valuation donnée en III.1.14 est alors à rapprocher de la notion de valuationp-adique donnée en I.13.5.5, et on aurait affaire ici à la « valuationX-adique » en quelque sorte.
b) On peut prolonger l’application valuation deAN\ {ζ}àANen posant : val(ζ) = (+∞).
Sit on noteN := N ∪ {(−∞),(+∞)}val(·)est une application deANà valeurs dansN.
On peut prolonger partiellement l’addition+deNàNen posant :
∀n∈N, n+ (+∞) = (+∞) +n = (+∞) n+ (−∞) = (−∞) +n = (−∞) (+∞) + (+∞) = (+∞)
(−∞) + (−∞) = (−∞). On peut aussi prolonger la relation d’ordre surN,en posant
∀n∈N, (−∞) < n < (+∞).
Avec ces définitions, les énoncés III.1.13.ii) et III.1.13.iii) sont vérifiés pour tout(α, β) ∈ AN × AN. Proposition III.1.16 SiAest un anneau commutatif intègre il en est de même deAN.
Preuve: Voir l’exercice III.7.4.question 4).
III.2 . − Anneau des polynômes à une indéterminée
On reprend les notations du paragraphe III.1.
Notation III.2.1 On noteraAN,0 ⊂ ANl’ensemble des éléments deANqui sont des «suites presque nulles» c’est-à-dire queAN,0est l’ensemble des éléments αn
,n∈N ∈ ANtel qu’il existep ∈ N,tel que
∀n∈N, n≥p ⇒ αn = 0. Il est immédiat de constater que
ζ ∈ AN,0, υ ∈ AN,0et∀n∈N, εn ∈ AN,0. Proposition III.2.2 i) Pour tout αn
,n∈N ∈ AN,0, α 6= ζ,il existe un unique entier natureldeg(α)tel que αdeg(α) 6= 0 et∀n∈N, n > deg(α) ⇒ αn = 0.
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 1).
ii)
∀(α, β)∈AN,0 × AN,0, deg(α∗ANβ) ≤ deg(α) + deg(β) avec égalité dans le cas oùAest un anneau intègre.
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 2).
iii)
∀(α, β)∈(AN,0\ {ζ}) × (AN,0\ {ζ}), deg(α+ANβ) ≤ max deg(α), deg(β) avec égalité dans le cas oùdeg(α) 6= deg(β).
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 3).
iv) (Divisibilité)
SiAest un anneau intègre,
∀α∈AN,0,∀β∈AN,0, α|βetβ 6= 0 ⇒ deg(α) ≤ deg(β).
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 6).
Définition III.2.3 (Degré) Pour toutα ∈ AN,0 \ {ζ},l’entierdeg(α)sera appelédegrédeα.
Remarque III.2.4 De même que pour la valuation, on peut prolonger le degré àAN,0en posant deg(ζ) := (−∞)
(cf. III.1.15.b).) Les assertions III.2.2.ii) et III.2.2.iii) sont alors vérifiées pour tout(α, β) ∈ AN,0 × AN,0. Proposition III.2.5 i) Le triplet(AN,0,+AN,∗AN)est un anneau (commutatif siAl’est), (intègre si Aest intègre.)
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 4).
ii) Le morphismei : A → ANétant celui défini en III.1.5.1, l’image deiest incluse dansAN,0et l’on a Imi = {α ∈ AN,0; deg(α) = 0}.
Il s’ensuit quei : A → AN,0est un morphisme injectif d’anneaux.
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 7).
iii) L’ensembleAN,0× des éléments inversibles de AN,0 s’identifie (c’est-à-dire est isomorphe en tant que groupe abélien) àA×.
Preuve: Voir l’exercice III.7.6.question 8).
iv) La loi externe·définie en III.1.7 se restreint àAN,0et vérifie encore les axiomes III.1.8.Mod1) à III.1.8.Mod4).
Preuve: Est une conséquence presque immédiate du point ii).
v) La familleXn,n∈Nest unebasedeAN,0c’est-à-dire que : a) (elle estgénératrice)
pour toutα ∈ AN,0il existed ∈ Net und-upletai,1≤i≤d ∈ Atels que α =
Xd
j=0
aj·Xj; b) (elle estlibre)
pour toutn ∈ N,toutn-upletai,1≤i≤n ∈ A, Xn
j=0
aj·Xj = ζ ⇒ ∀1≤j≤n, aj = 0. Preuve:
a) C’est presqu’uniquement un jeu d’écriture. On peut cependant donner un argument un peu plus formel par récurrence. On remarque en effet que sideg(α) = 0,
α = i(a) = i(a)∗ANυ = a·X0. Pourd ∈ N,sideg(α) = d+ 1,on écrit
α = αd·Xd + β
et l’on constate quedeg(β) ≤ d.Si on fait donc l’hypothèse de récurrence qu’on peut écrire β =
Xd
j=0
βj·Xj
on peut décomposerαde manière analogue ce qui prouve le résultat par récurrence sur le degré.
b) Exercice.
Notation III.2.6 Il est donc usuel de noter les élémentsα ∈ AN,0 : α =
deg(α)
X
j=0
αjXj et l’anneau(AN,0,+AN, ∗AN)A[X].
De même que pour l’anneau des séries formelles (cf. III.1.12,) la notationA[X]recouvre toute la structure d’anneau deAN,0si bien qu’il n’est n’ul besoin de spécifier que l’addition est donée par +AN et la multiplica-tion par ∗AN.L’élément neutreζsera bien entendu noté0et l’élément unitéυ1.
Définition III.2.7 L’anneauA[X]est appeléanneau des polynômes àune indéterminée à coefficients dansA.
Un élément deAest appelépolynôme.
Exemple III.2.8 Dans l’anneauA := Z/p2Z,pourpun nombre premier, les éléments α := (1, p,0, . . . ,0, . . . etβ := (1,−p,0, . . . ,0, . . . deAN,0.On constate qu’alors
α∗ANβ = (1,0,−p2,0, . . . ,0, . . . = (1,0, . . . ,0, . . . = υ alors qu’on adeg(α) = deg(β) = 1.
Proposition III.2.9 (Propriété universelle de l’anneau des polynômes) Soient f : A → Bun morphisme d’anneaux etb ∈ B . Il existe un unique morphisme d’anneaux
φb : A[X] → Btel queφb(X) = betf = φb ◦ i (oùi : A → A[X]est le morphisme défini en III.1.5.1.)
Ceci entraîne en particulier que :
∀α∈A[X], α =
deg(α)
X
k=0
αkXk ⇒ φb(α) =
deg(α)
X
k=0
f(αk)∗Bbk. III.2.9.1
Preuve: i) (Unicité)
Un élémentb ∈ Bétant fixé, s’il existe un morphismeφb : A[X] → Btel queφb(X) =b, nécessaire-ment∀n∈N∗, φb(Xn) = bn.Puisqueφbest un morphisme d’anneaux,
φb(1A[X] = 1B ⇒ φb(υ) = 1B ⇒ φb(X0) = 1B
d’où il résulte finalement :
∀n∈N, φb(Xn) = bn. 1 Par ailleurs si on note·la loi externe définie en III.1.7,φb◦i = f entraîne :
∀α∈A[X],∀β∈A[X],
∀a∈A, ∀b∈A, φb(a·α+ANb·β) = φb(i(a)∗ANα+ANi(b)∗ANβ)
= φb(i(a))∗Bφb(α) +Bφb(i(b))∗Bφb(β)
= f(a)∗Bφb(α) +Bf(b)∗Bφb(β).
L’applicationφbest donc «A-linéaire » et l’image de la base{Xn}n∈Nétant déterminée d’après 1,φb est nécessairement unique.
ii) (Existence) ce qui prouve queφbvérifie l’axiome I.2.4.Ann6).
Il est enfin clair que l’axiome I.2.4.Ann7) est satisfait.
Notation III.2.10 Avec les hypothèses et notations de la proposition III.2.9 ci-dessus, on noteraA[b]l’image deA[X]dansBpar le morphismeφb.
Corollaire III.2.11 (Fonctorialité de l’anneau des polynômes) En particulier, étant donné un morphisme d’anneauxf : A → B,il existe un unique morphisme d’anneaux
f[X] : A[X] → B[X]caractérisé par : f[X](X) = X etf[X] ◦ iA = iB ◦ f ce qui entraîne en particulier que :
∀α∈A[X], α :=
Preuve: Il suffit d’appliquer la proposition III.2.9 au morphisme d’anneauxiB◦f : A → B[X]et à l’élé-mentX ∈B[X].
Exemple III.2.12 Le corollaire III.2.11 justifie un certain nombre d’opérations :
a) Sif : R → Cest l’inclusion naturelle du corpsRdes réels dans le corpsCdes complexes, le morphisme f[X] : R[X] → C[X]
consiste simplement à considérer les coefficients d’un polynôme à coefficients réels comme des nombres com-plexes.
b) En considérant l’inclusionZ ⊂ Q, on obtient également une inclusionZ[X] ⊂ Q[X] et comme dans l’exemple a) elle consiste juste à considérer les coefficients entiers comme des nombres rationnels.
c) Soitσ : C → Cla conjugaison complexe. L’applicationσest bien un morphisme d’anneaux deCdans lui-même si bien qu’on peut lui appliquer le corrollaire III.2.11 pour en déduire un morphisme
σ[X] : C[X] → C[X]qui vérifie, qu’on écrira de manière plus usuelle :
Xd
akXkà coefficients entiers, le polynômeP = Xd
i=0
akmodnXkdont les coefficients sont des entiers modulon.En particulier sinest un nombre premier on obtient un polynôme à coefficients dans un corps et l’on peut appliquer tous les résultats du paragraphe III.5
Corollaire III.2.13 (Polynômes à plusieurs indéterminées) SoitAun anneau commutatif etA[X]l’anneau des polynômes à une indéterminée et à coefficients dansA.PuisqueA[X]est un anneau, on peut construire (A[X])[Y]l’anneau des polynômes à une indéterminée et à coefficients dansA[X]qu’on va simplement noter A[X][Y].C’est également une notation temporaire, qu’on va pouvoir encore simplifier au vu de ce qui suit.
En effet, la suite d’inclusions
A−−−−→iA A[X]−−−−→iA[X] A[X][Y]
permet de considérerAcomme un sous-anneau deA[X][Y].Il existe donc, grâce à la proposition III.2.9, un unique morphisme d’anneaux
A[X] → A[X][Y], X 7→ Y
respectant les inclusions ci-dessus. Ce dernier morphisme, permet, toujours grâce à la proposition III.2.9, de construire un morphisme
A[X][y] → A[X][Y], (X, Y) 7→ (Y, X).
On laisse le soin au lecteur de montrer que ce dernier morphisme est un isomorphisme d’anneaux. Cela justifie la notationA[X, Y] := A[X][Y].
On peut dès lors définir par récurrrence
A[X1, . . . Xn+1] := A[X1, . . . , Xn][Xn+1].
Pour ne nécessiter que des arguments plutôt formels pour être définis, les anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées nécessitent cependant des outils un peu plus élaborés pour être étudiés que les anneaux à une indéterminée et en particulier quandAest un corps.