6 . − Polynôme caractéristique

Définition IV.6.1 (Polynôme caractéristique) Pour tout endomorphismeu ∈ EndK(E),lepolynôme carac-téristiquedeuest le polynômes

Pcaru := det(XIdE−u) ∈ K[X].

Lemme IV.6.2 Un élémentλ ∈ Kest une valeur propre deu(cf. IV.5.2.i),) si et seulement siPcaru(λ) = 0 i.e.λest une racine dePcaru.

Preuve: Il suffit de remarquer qu’un endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finie est injectif si et seulement si son déterminant est non nul et d’utiliser la caractérisation IV.5.1.a) des valeurs propres.

Lemme IV.6.3 i)

deg(Pcaru) = dimKE . ii) Si on écrit

Pcaru = det(XIdE−u) = X^d+

d−1X

i=0

aiXⁱ, d = dimKE, on a

a_d−1 = −Tr(u) eta0 = (−1)^ddet(u). iii) SiE = F ⊕ GavecF etGstables paru,

Pcaru = Pcaru|F · Pcaru|G.

Preuve: (cf. D.18.1.)

Proposition IV.6.4 Si(E, u)est un espace cyclique (cf. IV.4.2,) Pcaru = Pminu.

Preuve: (cf. DOC n^◦III, n^◦III.1.exercice C.)

IV.7 . − Théorème de C

–H

Remarque IV.7.1 On va démontrer, dans ce paragraphe (IV.7,) le théorème de C^AYLEY–H^AMILTONqui assure que le polynome minimalPminud’un endomorphismeud’unK-espace vectorielEde dimension finie (cf. IV.2.2.iv),) divise son polynôme caractéristiquePcaru.(cf. IV.6.1.) Ceci peut encore s’exprimer par le fait que le polynômePcaruest un polynôme annulateur deu.

i) On verra au paragraphe IV.11 qu’on peut déduire le théorème de CAYLEY–HAMILTONdu théorème IV.11.5 de réduction de FROBENIUS. Nous allons cependant en donner ici une preuve qui n’utilise pas le résultat précité (cf. IV.7.2.)

ii) (Le cas des espaces cycliques)

Dans le cas où(E, u)est un espace cyclique (cf. IV.4.2.i),) le théorème est une conséquence immédiate de la proposition IV.6.4 ; cette dernière étant d’ailleurs un ingrédient essentiel de la preuve du théorème de C^AYLEY–H^AMILTONà partir de la réduction de F^ROBENIUS.

iii) On a vu que pour toutλ ∈ K, λest valeur propre deusi et seulement si(X, λ)|Pminu (cf. IV.5.1.d).) On a également vu en IV.6.2 queλest valeur propre deusi et seulement si(X,−λ)|Pcaru.Il en résulte que PminuetPcaruont les même facteurs irréductibles de degré1dans une décomposition en produit de facteurs irréductibles.

Cependant il se peut que ces polynômes possèdent également des facteurs irréductibles qui ne sont pas de degré1dont on ne peut rien dire à ce stade.

Il se peut également, et même dans le cas où les facteurs irréductibles seraient tous de degré1,pourK = C par exemple, que les facteurs irréductibles de degré1soient affectés d’un exposant sur lequel on n’a encore guère de contrôle ici.

Dans le cas ttrès très particulier oùPminuest scindé à racines simplesi.e.produit de polynôme de degré1 deux à deux premiers entre eux, le théorème de CAYLEY–HAMILTONpeut résulter des considérations précé-dentes : c’est le cas oùùuest diagonalisable (cf. IV.5.4.)

Théorème IV.7.2 (de C^AYLEY–H^AMILTON) Pour toutK-espace vectoriel de dimension finieE,et tout en-domorphismeK-linéaireu ∈ EndK(E), Pcaru(u) = 0c’est-à-dire quePcaruest un polynôme annulateur de uou encore

Pminu|Pcaru.

Preuve: (cf. DOC n^◦III, n^◦III.1.exercice D.) Corollaire IV.7.3 Pour toutP ∈ K[X]irréductible,

P|Pminu ⇔ P|Pcaru.

On retrouve ici en particulier que les facteurs de degré1dePminusont exactement ceux dePcaru,ce qu’on avait déjà remarqué en IV.7.1.iii).

Corollaire IV.7.4 Il découle du théorème IV.7.2 ci-dessus et du lemmme IV.6.3.i) que pour tout endomor-phismeu ∈ EndK(E),

−∞ < deg(Pminu) ≤ deg(Pcaru) = dimKE . Corollaire IV.7.5 Le polynômePminuest scindé si et seulement siPcaruest scindé.

Corollaire IV.7.6 La proposition IV.5.7 peut alors se reformuler en disant queuest trigonalisable si et seule-ment siPminuest scindé, si et seulement siPcaruest scindé.

Définition IV.7.7 (Multiplicité des valeurs propres) Pour toutλ ∈ Ksiλest valeur propre deu,il existe un unique

(mλ, Q) ∈ N^∗×K[X]tel quePcaru = (X−λ)^mλQ , X−λetQpremiers entre eux . L’entiermλest apelé lamultiplicité de la valeur propreλ.

Proposition IV.7.8 L’endomorphismeuest diagonalisable si et seulement siPcaru(ou de manière équivalente Pminu) est sindé et

∀λ∈Sp(u), mλ = dimKKeru−λIdE.

Preuve: Exercice.

IV.8 . − Blocs de J

, endomorphismes nilpotents

Définition IV.8.1 (Endomorphisme nilpotent) Un endomorphismeu ∈ EndK(E)deEestnilpotent s’il existen ∈ N, tel que uⁿ = 0.

On dit queuestnilpotent d’échelondsidest le plus petit entierntel queuⁿ = 0.

Lemme IV.8.2 Soitu ∈ EndK(E).

i) uest nilpotent d’échlondsi et seulement siPminu = X^d.

ii) uest nilpotent d’échelondet cyclique (cf. IV.4.2.ii),) si et seulement si uest cyclique etdimKe = d . iii) uest nilpotent d’échlondsi et seulement siuest nilpotent de rangd−1.

Preuve: (cf. TD n^◦VII, exercice A.)

Proposition IV.8.3 Pourλ ∈ κ,les assertions suivantes sont équivalentes :

a) (E, u)est un espace cyclique de polynôme minimal(X−λ)^dimKE,(on rappelle (cf. IV.4.1.i),) que le degré du polynôme minimal d’un espace cyclique est la dimension de cet espace ;)

b) u−λIdeest nilpotent d’échelondimKE(ou de manière équivalente de rangdimKE−1 ;) c) il existe une base deEdans laquelle la matrice deuest :

JdimKE(λ) =









λ 0 0 . . . 0 0 1 λ 0 . . . 0 0 0 1 λ . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 λ









; 1

d) il existe

α ∈ N^∗tel quePminu = (X−λ)^αet dimKKer (u−λIdE) = 1. Preuve:

i) (a)_⇔b)) Est immédiat.

ii) (b)_⇒c))

Siν := u−λIdEest nilpotent d’échelondimKE,il existe un éléments x ∈ Etel queν^dimKE−1(x) 6= 0 etν^dimKE(x) = 0. Dès lors

{ν^ℓ(x)},0≤ℓ≤dimKE−1

est une famillle libre deEet partant une base, dans laquelle

la matrice deνest

si bien que la matrice de

u = λIdE + νestJdimKE(λ) =

Définition IV.8.4 (Bloc de JORDAN) i) On pourra dire que leK-espace vectorielEest de J^ORDANde para-mètreλs’il vérifie les conditions équivalentes de la proposition IV.8.3.

ii) On appellerabloc deJORDANde paramètreλet d’échelondune matriceJd(λ)comme en IV.8.3.c).1.

iii) On note usuellementJd := Jd(0)un bloc de JORDANde paramètre0.

Corollaire IV.8.5 Si(E, u)est un espace deJ^ORDANde paramètreλ : i) Eest un^K-espace vectoriel de dimension finie.

ii) λ ∈ Sp(u)est une valeur propre deu.

Lemme IV.8.6 Soit(E, u)un espace de JORDAN.

i) L’espace(E, u)est de paramètre0et d’échelondsi et seulement siuest nilpotent d’échelond.

ii) Si(E, u)est de paramètreλet d’échelond,en notant

C’est la décomposition IV.9.3, deD^UNFORDdans le cas particulier où(E, u) Proposition IV.8.7 SoientEetF desK-espaces vectoriels

Ei,1≤i≤k ⊂ EetFi,1≤i≤k ⊂ F tels que E = il existe une unique applicationK-linéaire

f : E → Ftelle que_∀1≤i≤k, f_|Ei = fi.

Matriciellement cela correspond exactement à l’écriture par blocs de la matrice def ;autrement dit, si chacun desEiest rapporté à une base_Bi,dans laquelle la matrice defiestMi,du fait de la décomposition deEen

ii) Si l’on suppose de plus donnés un endomorphisme (une structure deK[X]-module (cf. IV.1.2.i),)) u ∈ EndK(E) (resp.v ∈ EndK(F) )tel que_∀1≤i≤k,

— Eiest stable paru(resp.Fiest stable parv,)

—

fi ◦ u|Ei = v|Fi ◦ fi,

alors l’application linéaire f construite comme en i) vérifief ◦ u = v ◦ f (i.e. est un morphisme de K[X]-modules (cf. IV.1.2.ii).))

Preuve: (cf. I.14.8.)

iii) Dans le cas particulier oùE = F,si

∀1≤i≤k, fiest nilpotent d’échelondi(resp. diagonalisable) f =

Lk i=1

fiest nilpotent d’échelonmax1≤i≤k(di)(resp. diagonalisable.) Preuve: (cf. IV.12.2.)