lide
Les zones de fortes pertes présentes dans le spectre en transmission d’une fibre BIP à cœur solide se situent dans des intervalles de longueurs d’onde qui peuvent
être modifiés en faisant varier les paramètres optogéométriques de la fibre. Cette propriété peut être utilisée pour réaliser des filtres accordables [59] ou minimiser le gain Raman [60].
Cette propriété peut également être combinée à un dopage avec des ions terres rares afin de réaliser des lasers à des longueurs d’onde inhabituelles [26, 27]. Dans ces références, les zones de fortes pertes servent à éliminer une transition afin d’en favoriser une autre permettant la génération d’une longueur d’onde se situant dans une BIP. Un laser à fibre dopée aux ions néodyme émettant à 907 nm [27] et un laser à fibre dopée aux ions ytterbium à 980 nm [26] ont ainsi pu être conçus. Le dopage en ions ytterbium a également permis la fabrication d’un amplificateur dans la gamme 1150-1200 nm [25], l’utilisation de la fibre à cœur solide permettant alors de supprimer l’émission spontanée amplifiée à 1030 nm [61].
La possibilité de pouvoir modifier la position des BIP et donc des zones de disper- sion normale et anormale a également permis la conception d’un laser à fibre dopée aux ions ytterbium émettant à 1035 nm à l’aide d’une fibre BIP à cœur solide [62]. Cette fibre a permis d’effectuer simultanément une amplification grâce au dopage en ions ytterbium et une compensation de la dispersion normale introduite par la cavité grâce à la zone de dispersion anormale présente dans une partie de la BIP utilisée. Cette compensation de dispersion peut aussi être effectuée grâce à d’autres éléments comme des réseaux de diffraction, mais l’utilisation de la fibre permet d’obtenir un système plus robuste.
La photo-inscription d’un réseau de Bragg peut également être réalisée dans ce type de fibres. Malheureusement, les inclusions de haut indice sont généralement constituées de silice dopée au germanium qui absorbe la lumière ultraviolette ce qui entraîne une inscription du réseau dans les inclusions plutôt que dans le cœur de la fibre [22, 23]. Toutefois, comme cela sera décrit au chapitre 3, l’utilisation d’un autre type de dopage pour la silice contenue dans les inclusions peut résoudre ce problème [24].
La connaissance de la position des BIP étant primordiale pour les applications ex- posées, la partie suivante sera consacrée à la technique de décomposition en ondes planes qui permet de calculer numériquement le diagramme de densité d’états.
Chapitre 2
La méthode de décomposition en
ondes planes
De nombreuses méthodes numériques permettent de calculer les propriétés des fibres à cristal photonique. Les plus connues sont la méthode multipolaire [63, 64, 65], les différences finies [66, 67], l’utilisation d’éléments finis [68] et la décomposition par ondes planes [28, 69, 70]. Cette dernière est très utilisée car elle permet notamment de calculer le diagramme de bandes pour des inclusions de forme et de profil d’indice quelconques avec un coût numérique contenu. Elle permet également de déterminer l’indice effectif et le profil des modes de cœur à l’aide de la méthode de la "supercellule" même si cela requiert un long temps de calcul.
Au début de cette étude, le logiciel MPB développé au MIT [28, 29] était très utilisé au laboratoire. Ce logiciel est disponible librement et permet de modéliser tous les types de cristaux photoniques (2D et 3D) grâce à l’utilisation d’un lan- gage de script. Il utilise la méthode de décomposition en ondes planes qui revient à formuler le problème à résoudre sous la forme d’une équation aux valeurs propres :
~ ∇ ∧ 1 ε(~r) ~ ∇ ∧ ~H(~r) = ω c 2 ~ H(~r) (2.1)
La résolution de cette équation permet de calculer la longueur d’onde des modes autorisés lorsque la constante de propagation β est fixée. Cette méthode permet l’utilisation d’algorithmes performants car la matrice à diagonaliser est hermi- tienne mais elle est aussi à l’origine d’une limitation majeure du logiciel MPB : la non prise en compte de la dispersion des matériaux. Il est toutefois possible de procéder à un calcul itératif permettant de pallier à cet inconvénient [29], mais cela nécessite un temps de calcul important et la convergence n’est pas toujours assurée. L’utilisation d’un développement perturbatif peut aussi permettre le cal- cul du diagramme de bandes dans le cas d’une fibre contenant un seul matériau
faiblement dispersif [71].
La décomposition par ondes planes peut néanmoins être utilisée dans le cas de ma- tériaux dispersifs en résolvant une équation différente de celle résolue par MPB. Bien que le principe soit décrit dans les références [30, 31], aucun logiciel libre ou commercial utilisant cette méthode n’est disponible. La conception d’un pro- gramme basé sur cette méthode fût donc un préalable à l’étude de la formation des BIP dans les fibres mircrostructurées. Ce chapitre sera donc consacré à la méthode de décomposition en ondes planes et à la compréhension de la formation des BIP.
2.1
Equation à résoudre
Hypothèse : Le milieu constituant la gaine de la fibre à cristal photonique est supposé infini, non magnétique, linéaire et ne contient ni charges libres ni courants. L’indice de réfraction de ce milieu est périodique dans le plan transverse de la fibre Oxy et il est invariant suivant l’axe longitudinal Oz. Les inclusions peuvent être organisées en réseau carré ou triangulaire1 dont le pas sera noté Λ et les vec- teurs de base ~a1 et ~a2. Ces deux types de réseaux sont représentés sur la figure 2.1. Pour chaque réseau, la maille de Wigner-Seitz2 est représentée en bleu. Sur cette figure, une seule inclusion est présente par maille élémentaire mais il est possible d’avoir en moyenne plus d’inclusions dans une seule maille.
Puisque le but de cette partie est l’étude de la propagation dans une fibre d’axe Oz, nous supposerons un champ électromagnétique se propageant suivant cet axe. L’invariance suivant Oz permet d’écrire le champ magnétique sous la forme :
~
H (~r, t) = ~h (x, y) .ei(βz−ck0t) (2.2)
où k0 = 2πλ est la norme du vecteur d’onde dans le vide.
De plus, en notant ε(x, y) la permittivité relative, les équations de Maxwell s’écrivent : ~ ∇ ∧−→E = −µ0∂ − → H ∂t ~ ∇.ε−→E= 0 ~ ∇.−→H = 0 ~ ∇ ∧−→H = ε0ε∂ − → E ∂t (2.3)
1. Il existe d’autres réseaux de Bravais possibles, mais il ne sont pas réalisables expérimenta- lement ou très difficilement
Figure 2.1 – Exemple de réseau (a) triangulaire et (b) carré. Les vecteurs ~a1 et ~
a2 sont les vecteurs de base du réseau. La maille de Wigner-Seitz est représentée en bleu.
Le rotationnel de l’équation de Maxwell-Ampère permet d’obtenir l’équation sui- vante : −∆−→H = ε0∇ ∧~ ε ∂−→E ∂t ! (2.4) Après utilisation des équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère, cette équation devient : −∆−→H = ~∇ (ln (ε)) ∧ ~∇ ∧−→H − ε c2 ∂2−→H ∂2t (2.5)
En utilisant la forme du champ magnétique donnée par l’équation 2.2 et en proje- tant sur le plan transverse, l’équation suivante pour la composante transverse ~ht du vecteur ~h est obtenue :
~∇2 t + k 2 0ε ~ht+ ~∇tln(ε) ∧ ~∇t∧ ~ht = β2h~t (2.6)
où ~∇t est la composante transverse de l’opérateur ~∇.
A l’inverse de l’équation 2.1, la résolution de cette équation permet de déterminer les indices effectifs des modes autorisés à longueur d’onde donnée. Si les matériaux sont dispersifs, il suffit de faire varier la valeur de la permittivité relative avec la longueur d’onde. Avant d’introduire la décomposition par ondes planes permettant de résoudre numériquement cette équation, l’invariance d’échelle vérifiée par cette équation sera mise en évidence.