2.5.1
Principe
La méthode de décomposition en ondes planes nécessitant un milieu périodique, il est a priori impossible de calculer les propriétés des modes de cœur. Il existe toutefois une astuce permettant de le faire : une maille plus grande contenant la fibre et le défaut constituant le cœur est reproduite périodiquement. Un exemple de supercellule est représenté sur la figure 2.6. Elle contient 48 inclusions ainsi que le cœur situé en son centre et sera répétée à l’identique avec un pas de 7Λ, Λ étant le pas du réseau formé par les inclusions. Le mode de cœur étant par défini- tion localisé dans le défaut situé au centre de la supercellule, les interactions entre les modes de cœur de deux supercellules voisines seront négligeables si le nombre d’inclusions par supercellule est suffisamment élevé. Les caractéristiques du mode de cœur ne seront alors pas affectées par la périodicité factice introduite par cette méthode.
La pas du réseau de supercellules étant plus élevé que celui du réseau d’inclusions, la zone de Brillouin utilisée dans le cas d’une supercellule possédera une aire plus faible que celle du réseau d’inclusions. Par exemple, la zone de Brillouin irréduc- tible (ΓM’K’) du réseau de supercellules de la figure 2.6 est représentée en bleu sur la figure 2.7 avec les vecteurs de base ~b0
1 et ~b02 du réseau réciproque corres- pondant. La zone de Brillouin irréductible du réseau d’inclusions en l’absence de défaut (ΓMK) est représentée en pointillés noirs. Les vecteur de base ~b0
Figure 2.6 – Exemple d’un réseau permettant le calcul du mode de cœur. La supercellule représentée en blanc possède une taille égale à 7Λ.
Figure 2.7 – Zone de Brillouin irréductible du réseau de supercellules (ΓM’K’ en bleu) et du réseau d’inclusions (ΓMK en pointillés) dans le cas du réseau représenté sur la figure 2.6. Les vecteurs ~b0
1et ~b02sont les vecteurs de base du réseau réciproque du réseau de supercellules.
possèdent une norme 7 fois plus petite que les vecteurs de base ~b1 et ~b2 du réseau réciproque du réseau d’inclusions. Il faudra donc augmenter le nombre d’ondes planes en multipliant NG par 7 pour conserver la même précision sur les bandes ce qui augmente fortement le temps de calcul. Néanmoins, le calcul ne doit être effectué qu’en un seul point de la zone de Brillouin irréductible. Ce point peut théoriquement être choisi arbitrairement puisqu’il n’influe que sur les différences de phase entre les supercellules. Cette méthode étant basée sur le fait que les in-
teractions entre les supercellules sont négligeables lorsque le mode est confiné dans le cœur, leurs différences de phase ne modifient pas l’indice effectif du mode de cœur.
A titre d’exemple, nous avons déterminé l’indice effectif du mode de cœur se pro- pageant dans la fibre dont le diagramme de densité d’états de la structure infinie constituant la gaine est représenté sur la figure 1.11. Le diagramme de bandes de cette structure est également représenté en gris sur la figure 2.8. La gaine est consti- tuée d’inclusions de silice dopée au germanium de diamètre D = 0, 5Λ possédant un profil parabolique d’indice de réfraction avec un maximum de différence d’indice par rapport à la silice ∆n = 32 × 10−3. Une inclusion a été enlevée afin d’obtenir le cœur de la fibre qui est donc constitué de silice ici supposée non dispersive. Le profil d’indice de la supercellule utilisée est celui de la figure 2.6. Le diagramme de bandes contenant les 200 premiers modes calculés au point Γ est représenté en rouge sur la figure 2.8. La plupart des modes calculés avec la supercellule se superposent quasiment aux modes autorisés dans le cristal photonique représentés en gris. Cela est dû au fait que le calcul au point Γ pour la supercellule revient
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1,40 1,48 1,46 1,44 1,42 1,45 Bandes
autorisée BIP Mode de
coeur
Figure 2.8 – En couleur : diagramme de bandes calculé à l’aide de la supercellule de la figure 2.9a. Le mode représenté en bleu est le mode guidé dans le cœur. En gris : diagramme de bandes de la structure infinie dont est constituée la gaine et qui a permis de calculer la densité d’états représentée sur la figure 1.11.
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 2.9 – Variations transverses de la coordonnée longitudinale du vecteur de Poynting dans une supercellule pour le mode de cœur à la longueur d’onde λ = 0.3Λ.
à calculer les modes pour d’autres points de la zone de Brillouin irréductible du cristal photonique à cause des translations par les vecteurs ~b0
1 et ~b02. Le calcul est donc effectué au point Γ et aux sept points représentés en vert sur la figure 2.7. Les indices effectifs calculés avec la supercellule sont toutefois légèrement plus faibles du fait de l’absence d’une inclusion de haut indice. Il existe également un mode traversant la BIP et représenté en bleu sur la figure 2.8. Ce mode est autorisé dans la structure possédant un défaut alors qu’il ne l’est pas dans la structure parfaite et infinie, il s’agit donc d’un mode guidé dans le cœur de la fibre. Les variations transverses de la composante longitudinale Πz du vecteur de Ponyting sont repré- sentées sur la figure 2.9. Comme attendu, la majorité de l’énergie est concentrée dans le défaut constituant le cœur. De plus, les inclusions les plus éloignées du cœur ne transportent quasiment aucune énergie électromagnétique ce qui conforte l’approximation effectuée par l’utilisation d’une supercellule.
2.5.2
Précision de la méthode
La précision de la méthode de la supercellule a été étudiée en calculant l’indice effectif du mode fondamental de la première BIP de la fibre de la figure 1.11. Ce mode est représenté en bleu sur la figure 2.8.
Le résultat de la méthode de la supercellule ne dépend théoriquement pas du point de la zone de Brillouin choisi pour effectuer le calcul. Néanmoins, le champ au bord de la supercellule n’étant pas rigoureusement nul (puisque la supercellule ne possède pas un nombre infini d’inclusions), il peut exister de faibles couplages entre les différents modes de cœur de chaque supercellule. Laegsgaard et al. ont
(a) (b)
Figure 2.10 – Variations de l’indice effectif du mode fondamental de la BIP 1. Les courbes correspondent aux valeurs trouvées à l’aide de la décomposition en ondes planes au point Γ (en trait plein) et au point (3/8, 1/8) (en pointillés) avec une supercellule de taille 5×5 (bleu), 7×7 (rouge) et 9×9 (vert). Les zones grises correspondent aux bandes autorisées. La figure (b) est un agrandissement de la figure (a) à proximité du bord de bande.
cependant montré qu’il existe un point de la zone de Brillouin qui permet de mi- nimiser le couplage entre une supercellule et ses voisines directes [71]. Le calcul en ce point permettra donc une meilleure précision. Pour le réseau triangulaire, ses coordonnées sont (3/8, 1/8) dans la base~b0
1, ~b02
.
De plus les modes de gaine ne sont pas tous calculés par cette méthode puisque le calcul n’est effectué que pour quelques points de la zone de Brillouin irréductible du réseau d’inclusions (points verts de la figure 2.7 dans le cas d’une supercellule 7×7). Certains couplages entre les modes de gaines et le mode de cœur pouvant apparaître à proximité des bords de bande ne seront donc pas pris en compte. L’augmentation de la taille de la supercellule permet de minimiser cet effet au prix d’une augmentation du coût numérique.
Le graphique 2.10(a) représente les résultats donnés par la méthode de la super- cellule aux points Γ (en trait plein) et au point (3/8, 1/8) (en pointillés) avec une supercellule de taille 5×5 (bleu), 7×7 (rouge) et 9×9 (vert). Les courbes noires représentent les bords de bande et les zones grises sont les bandes autorisées. Les différents calculs effectués mènent à des résultats quasiment identiques au centre la BIP mais l’agrandissement de la figure 2.10b montre des différences sensibles à proximité du bord de bande pour les calculs effectués au point Γ. L’utilisation du point (3/8, 1/8) permet néanmoins une convergence en fonction de la taille de la supercellule beaucoup plus rapide.
Afin de vérifier la précision de cette méthode, elle est comparée à une méthode d’éléments finis. Sur la figure 2.11, les courbes en pointillés correspondent toujours aux résultats de la méthode de la supercellule au point (3/8, 1/8) avec le même code couleur que précédemment. Les courbes en trait plein sont les résultats obte-
(a) (b)
Figure 2.11 – Variations de l’indice effectif du mode fondamental de la BIP 1. Les courbes en pointillés correspondent aux valeurs trouvées à l’aide de la décom- position en ondes planes au point (3/8, 1/8) avec une supercellule de taille 5×5 (bleu), 7×7 (rouge) et 9×9 (vert). Les courbes en traits pleins correspondent aux résultats trouvés par éléments finis avec 4 (en rouge), 5 (en bleu) et 6 couronnes (en vert). Les zones grises correspondent aux bandes autorisées. La figure (b) est un agrandissement de la figure (a) à proximité du bord de bande.
nus par une méthode d’éléments finis avec 4 (en rouge), 5 (en bleu) et 6 couronnes (en vert). La méthode d’éléments finis donne des résultats différents en fonction du nombre de couronnes à proximité des bords de bande [53]. Ce résultat provient du fait que le nombre de modes de gaine dépend du nombre d’inclusions. Le mode de cœur interagissant fortement avec ces derniers lorsqu’ils sont situés à sa proxi- mité dans le diagramme de bandes, son indice effectif va donc varier en fonction du nombre d’inclusions près des bords de bande. Les deux méthodes aboutissent néanmoins à des résultats très proches même à proximité du bord de bande. En effet, pour λ = 0, 4Λ, la différence relative sur l’indice effectif du mode de cœur entre l’utilisation d’une supercellule 9×9 et une méthode d’éléments finis avec 6 couronnes est inférieure à 0,01%.