Modèle approximatif pour la détermination des bords de bande

Aux très faibles longueurs d’onde, les inclusions se comportent comme si elles étaient isolées puisque le champ électrique se confine dans les zones de haut in- dice. Le supermode constituant le mode autorisé est en première approximation la superposition des modes LP d’une inclusion isolée. Lorsque la longueur d’onde augmente, les modes présents dans les inclusions vont se coupler pour former les supermodes qui constituent les bandes autorisées du cristal photonique. Par ana- logie avec la physique du solide ou la théorie des orbitales moléculaires, Birks et al. ont supposé que les bords de bande sont constitués par les supermodes "liants" et "anti-liants" vérifiant respectivement dE/ds = 0 et E = 0 sur le bord de la maille de Wigner-Seitz, où s est la coordonnée normale au bord de la maille.

– Les supermodes "liants" sont symétriques par rapport aux bords de la maille de Wigner-Seitz. Ils possèdent le minimum de variations transverses donc l’indice effectif le plus élevé et constituent les bords supérieurs des bandes

autorisées.

– Les supermodes "anti-liants" sont antisymétriques par rapport aux bords de la maille de Wigner-Seitz. Ils possèdent le maximum de variations transverses et constituent les bords inférieurs des bandes autorisées.

Le calcul des bords de bande nécessite la résolution de l’équation de propagation scalaire 2.18 dans la maille de Wigner-Seitz présentant les conditions de bords données précédemment. Ce calcul ne peut se faire analytiquement car le bord de la maille ne possède pas la symétrie circulaire de l’inclusion. Afin de contourner ce problème, la maille hexagonale peut être approximée par une maille circulaire comme cela est représenté sur la figure 2.23. Pour cette approximation :

– le rayon de l’inclusion est inchangé afin de ne pas modifier les indices effectifs des modes LP aux faibles longueurs d’onde

– le facteur de remplissage f reste constant afin de ne pas modifier les indices effectifs aux grandes longueurs d’onde

Pour satisfaire ces deux conditions le rayon R0 de la maille approximative doit être égal à √3/2π
1/2Λ.

La figure 2.24 permet de comparer ce modèle avec la méthode de décomposi- tion en ondes planes. Les zones grises correspondent aux zones de densité d’états non nulle déterminées à l’aide de la décomposition en ondes planes. Les courbes vertes représentent les indices effectifs des modes LP, les courbes rouges les indices effectifs des supermodes "liants" et les courbes bleues les indices effectifs des su- permodes "anti-liants". Ce graphique permet de vérifier immédiatement que les résultats obtenus à l’aide de ce modèle sont très proches de ceux donnés par la méthode de décomposition en ondes planes sauf pour la première BIP dont l’éten-

Figure 2.23 – (a) Maille de Wigner-Seitz. (b) Approximation utilisée pour la maille de Wigner-Seitz.

1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 neff 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 λ/Λ

Figure 2.24 – Modèle de Birks et al. : les zones grises correspondent aux bandes autorisées déterminées par la méthode de décomposition en onde planes, les courbes vertes correspondent aux indices effectifs des modes LP, les courbes rouges correspondent aux supermodes "liants" du modèle et les courbes bleues aux su- permodes "anti-liants".

due est nettement sous-estimée.

Ce modèle permet donc de prévoir très rapidement les bords de bandes mais pos- sède plusieurs limites :

– l’approximation de la maille de Wigner-Seitz circulaire n’est plus valide lorsque le diamètre des inclusions est proche du pas du réseau car les in- clusions sont alors fortement couplées

– pour déterminer les bords de bande, il faut résoudre analytiquement l’équa- tion scalaire ce qui n’est pas possible pour une inclusion de forme ou de profil d’indice quelconque.

L’indice effectif du mode de cœur peut également être prévu de façon approxi- mative avec ce modèle en supposant qu’il s’agit du mode LP01 d’une fibre à saut d’indice avec un cœur d’indice de réfraction égal à l’indice bas de la structure et une gaine possédant un indice égal à l’indice effectif du bord de bande inférieur [83].

Chapitre 3

Photo-inscription d’un réseau de

Bragg

3.1

Motivations et design utilisé

La photo-inscription d’un réseau de Bragg dans le cœur d’une fibre est généra- lement peu efficace dans le cas des fibres BIP à haut indice de cœur. En effet, la silice dopée au germanium habituellement utilisée pour les inclusions de haut in- dice absorbe les longueurs d’onde UV utilisées pour la photo-inscription (193 nm, 244 nm et 248 nm) alors que le cœur de bas indice (habituellement en silice) n’est pas photosensible. Par conséquent, une grande partie de l’énergie du faisceau per- mettant la photo-inscription est absorbée par les inclusions. Ce phénomène limite la puissance disponible dans le cœur et engendre l’inscription du réseau de Bragg dans les inclusions plutôt que dans le cœur [22, 23]. De plus, l’augmentation de l’indice des inclusions lors de l’inscription modifie le spectre en transmission de la fibre [22].

Pour contourner ce problème, les expérimentateurs de l’équipe ont mis au point une fibre dont les inclusions sont constituées de silice dopée au phosphore, le cœur étant constitué de silice dopée au germanium et au fluor [24]. Le choix d’un dopage au phosphore a été effectué car :

– la silice dopée au phosphore absorbe peu à 240 nm [84] et il devient donc possible d’utiliser un faisceau à 244 nm pour inscrire efficacement le réseau de Bragg dans le cœur uniquement,

– l’indice de réfraction de la silice dopée au phosophore est supérieur à celui du cœur, ce qui permet d’obtenir un guidage par BIP.

Les profils d’indice des préformes utilisées pour les inclusions de haut indice et le cœur sont représentés sur la figure 3.1a.

Position (mm) Di ffér ence d 'ind ice d e r éfr actio n Inclusions Coeur

Figure 3.1 – (a) Profils d’indice des préformes utilisées pour les inclusions de haut indice (en bleu) et pour le cœur (en rouge). (b) Image de la fibre obtenue au microscope optique.

Les profils d’indice des préformes étant très particuliers à cause des contraintes de fabrication, plusieurs diagrammes de bandes ont été calculés avec des paramètres optogéométriques différents en tenant compte du profil d’indice réel des inclusions. La dispersion de la silice a également été prise en compte à l’aide de la relation de Sellmeier [85] mais la différence d’indice entre la silice dopée et la silice a été supposée indépendante de la longueur d’onde. Ces calculs ont permis de trouver un design permettant d’obtenir une BIP centrée sur la longueur d’onde de 1550 nm généralement utilisée dans les télécommunications. La densité d’états du design retenu est représentée sur la figure 3.2. La courbe rouge représente l’indice de la silice c’est-à-dire approximativement l’indice du cœur avant la photo-inscription du réseau. Dans les fibres BIP classiques, la BIP 3 est généralement utilisée car elle présente un bon compromis entre les pertes par confinement et les pertes par courbure. Néanmoins, le diagramme de densité d’états met en évidence le fait que cette BIP se referme avant d’atteindre l’indice du cœur. En conséquence, la photo- inscription a dû être réalisée dans la BIP 2.

Une image optique de la fibre réalisée avec les paramètres optogéométriques adé- quats est reproduite sur la figure 3.1b. Cette fibre possède un pas Λ = 13, 1 µm. Le diamètre des inclusions de haut indice est d’environ D = 8, 9 µm et celui de la zone photosensible du cœur d’environ d = 7, 6 µm.