Dans cette section, nous donnons deux exemples d’applications rationnelles pr´esentant des caract´eristiques int´eressantes.
Le premier pr´ecise la difficult´e du Th´eor`eme 2.4.6: on construit une application birationnelle (i.e. deg(f ) = 1) de P2 t.q. l’ensemble des points o`u le potentiel du courant de Green v´erifie{G = −∞} contient une r´eunion d´enombrable de courbes.
Proposition 3.5.1. Il existe deux constantes b et c non nulles, telles que l’application birationnelle f : P2→ P2 d´efinie par
f [z : w : t] = [wt + cz(w + t) : w(t + bz) : t(w + bz)] v´erifie les propri´et´es:
1. I(f ) ={[0 : 0 : 1], [0 : 1 : 0], [1 : 0 : 0]};
2. l’ensemble critique de f est r´eduit aux trois hyperplans zwt = 0; 3. f (z = 0) = [1 : 1 : 1], f (w = 0) = [c : 0 : b] , f (t = 0) = [c : b : 0] ; 4. l’hyperplan ∆ = {w = t} est f-invariant, et f|∆ est conjugu´ee `a une
rotation irrationnelle; 5. [1 : 1 : 1]6∈ I(f∞);
6. [1 : 0 : 0]∈ ∪n≥0fn[1 : 1 : 1];
Si G est la fonction de Green associ´ee `a f , 7. G(1, 1, 1) =−∞.
Les assertions 1. 2. 3. et 5. impliquent que f est alg´ebriquement stable, tandis que 7. implique que l’ensemble des pˆoles de G contient le point [1 : 1 : 1], donc {z = 0} et toutes ses pr´eimages. En particulier, l’ensemble{G = −∞} des pˆoles de G n’admet aucun voisinage Stein . D´emonstration. Les assertions 1. 2. et 3. sont imm´ediates. Sur ∆, on a
f [z : w : w] = [w(w + 2cz) : w(w + bz) : w(w + bz)] .
En particulier ∆ est bien invariante. Remarquons tout d’abord que I(f∞)∩ ∆ = ∪n≥0f−n([1 : 0 : 0]). Il suffit donc pour prouver 5. de v´erifier que [1 : 0 : 0]6∈ ∪n≥0fn[1 : 1 : 1].
En coordonn´ees [z : 1 : 1] sur ∆, f se r´e´ecrit f (z) = 2cz + 1
z = 0 w= 0 [0 : 0 : 1] [0 : 1 : 0] t= 0 [1 : 0 : 0] [1 : 1 : 1] [c : 0 : b] [c : b : 0] ∆
Figure 3.1: Exemple d’application birationnelle.
Posons∇ = p4b + (2c− 1)2 en choisissant la solution de partie r´eelle pos-itive. Si∇ 6= 0, les deux points z± = (2c− 1 ± ∇)/2b sont les deux points fixes de f . Le changement de coordonn´ees τ = z− z−/z− z+ conjugue f `a
f (τ ) =−(2c− 1)
2+ 4b +∇(2c + 1)
(2c− 1)2+ 4b− ∇(2c + 1)τ := θτ .
Dans ces coordonn´ees, le point [1 : 0 : 0] est le point τ0 = 1, et le point [1 : 1 : 1] correspond `a τ1= z−− 1/z+− 1. Soient φ et ψ ∈ [0, 1] deux r´eels fix´es, avec ψ non entier. Il est alors possible de choisir b et c, tels que
• τ1(b, c) = e2iπψ 6= 1, • θ(b, c) = e2iπφ.
Pour prouver cela, il suffit de prouver que le syst`eme alg´ebrique suivant admet des solutions dans C3:
(2c− 1)2+ 4b +∇(2c + 1) = −e2iπφ (2c− 1)2+ 4b− ∇(2c + 1) 2c− 2b − 1 − ∇ = e2iπψ(2c− 2b − 1 + ∇)
Le syst`eme `a l’infini se r´e´ecrit
4c2+ 2∇c = −4e2iπφc2+ 2e2iπφ∇c 2c− 2b − ∇ = e2iπψ(2c− 2b + ∇)
∇2 = 4c2
qui ne poss`ede pas de solutions non-nulles. On en d´eduit que le nombre de solutions dans P3 du syst`eme initial est fini, ´egal `a 4, et toutes les racines sont localis´ees dans C3.
Le point (3) du Th´eor`eme 3.2.4 implique que G(1, 1, 1) =−∞ est ´equi-valent `a la divergence de la s´erie
S :=X
n≥0
1
2nlog dist(fn[1 : 1 : 1], I(f )) , qui dans notre cas se majore par
S ≤X n≥0 1 2n log|fn(τ1)− 1| = X n≥0 1 2nlog|e2iπ(ψ+nφ)− 1| = X n≥0 1 2nlog| sin(π(ψ + nφ))| +X n≥0 log 2 2n ≤ X n≥0 1 2nlog|{ψ + nφ}| +X n≥0 1 2nlog 2π , o`u{x} d´enote la partie fractionnaire de x. On choisit maintenant ψ = −1/2, et φ =P
n≥01/2an, avec an d´efini par r´ecurrence, a0=1, et an+1= 22an−1
+ an. On a alors l’estim´ee
1
22an−1 log{ψ + 2an−1φ} ≤ 1
22an−1 log 2an−an+1
≤ an− an+1 22an−1 log 2 ≤ − log 2 .
Donc S =−∞ et G(1, 1, 1) = −∞. On conclut la d´emonstration en remar-quant que pour tout n∈ N, {ψ + nφ} 6= 0, car φ est transcendant, donc 5. est v´erifi´e.
Nous exhibons dans le second exemple une famille d’applications poly-nomiales pour lesquelles le support du courant de Green est strictement inclus dans l’ensemble de Julia, ces applications ne sont donc pas normales (cf Th´eor`eme 3.2.4). Plus pr´ecis´ement, il y a un disque holomorphe isol´e dans l’ensemble de Julia que le courant de Green ne peut pas charger (cf Th´eor`eme 3.2.5). Ce ph´enom`ene est plutˆot surprenant pour des applications qui ne sont pas des produits crois´es.
Proposition 3.5.2. Consid´erons
f : (z, w)∈ C2 7→ z(w2− λ2), w2(zwp+ Q(w)) ∈ C2,
o`u Q est un polynˆome de degr´e m ≤ p et |λ| > 1. On note encore f l’extension m´eromorphe `a P1 × P1 qui est algbriquement stable. Notons q0 = ([0 : 1], [1 : 0])∈ I(f). On note Ωq0 l’ensemble des points attir´es par q0 sous l’it´eration de f .
Alors il existe r0 > 0 tel que
(z, w)∈ C2/ 0 <|z| < r0−1 et |w| < r20
⊂ ΩA. Le disque{0}×∆(r2
0) est isol´e dans l’ensemble de Julia J(f ). En particulier Supp T est strictement contenu dans J(f ).
La proposition est une cons´equence imm´ediate du lemme suivant: Lemme 3.5.3. Consid´erons pour ε, r > 0,
Wε(r) :=
(z, w)∈ C2/ ε <|z| < r−1 et |w| < r2 .
Fixons t, t′∈ R tels que 1 < t < |λ|2 < t′. Alors il existe r0 > 0 tel que pour tout ε > 0, 0 < r < r0,
f (Wε(r))⊂ Wtε(r/t′) . D´emonstration.
On fixe r0 > 0 assez petit pour que |λ|2 − r2
0 ≥ t, |λ|2 + r2
0 ≤ t′ et (1 + M )r0(t′)2 < 1, o`u M = sup|w|≤1|Q(w)|. On a alors, pour 0 < r < r0, (z, w)∈ Wε(r) et (z1, w1) = f (z, w), les in´egalit´es |z1| ≥ (|λ2| − r2)|z| > tε; |z1| ≤ (|λ|2+ r2)|z| < |λ| 2+ r2 r < t′ r; |w1| ≤ |w|2(|z||w|p+|Q(w)|) ≤ r41 + Mr < r t′ 2
ce qui conclut la preuve.
L’application f a pour la matrice des degr´es A = 1 1 2 2 + p .
Son premier degr´e dynamique et son degr´e topologique sont λ1(f ) = 1/2(3 + p +p
(p + 1)2+ 8) , deg(f ) = max(p + 2, 4 + m) si Q6≡ 0 .
On a donc deg(f ) > λ1(f ) ssi m = p ou m = p− 1 ≥ 0 et cette condition assure l’existence d’une mesure limite µf (cf Th´eor`eme 3.3.1).
Lorsque m≤ p − 1, on obtient
I1(f ) ={([1 : 0], [0 : 1]); ([0 : 1], [1 : ±λ])} , I2(f ) ={([1 : 0], [0 : 1]); ([0 : 1], [1 : 0])} .
Lorsque m = p, on obtient I1(f )∩ I2(f ) =∅ et deg(f) = p + 4 est donn´e par la Proposition 3.3.4. Notons que le point A = ([0 : 1], [1 : 0]) est un point d’ind´etermination, l’application f n’est donc pas normale.
Th´eor`emes de convergence.
Introduction
Au Chapitre 2, nous avons associ´e `a une application m´eromorphe dominante f : X → X un courant T (f) positif ferm´e de bidegr´e (1, 1) d´efini comme limite T (f ) := limj→∞ρ−j(f∗)jω o`u ω est une forme (1, 1) positive ferm´e sur X t.q. f∗{ω} = ρ{ω}. Ce courant satisfait `a l’´equation d’invariance f∗T (f ) = ρT (f ). Nous avons d´ecrit quelques propri´et´es de ce courant et prouv´e qu’il contenait des informations de nature dynamique sur f (voir par exemple Th´eor`eme 2.4.5). Dans ce chapitre, nous ´etudions les probl`emes de convergence vers T (f ). Nous posons les deux questions suivantes.
Probl`eme A: Caract´eriser tous les courants S ∈ C1+(X) pour lesquels on a convergence
lim
j→∞
1
ρj(f∗)jS = T (f ). (4.1)
au sens des courants. ♠
Pour un courant S 6= T (f) v´erifiant l’´equation d’invariance f∗S = ρS, on ne peut avoir convergence (4.1).
Probl`eme B: Caract´eriser le convexe Gρ des courants S ∈ C1+(X) sa-tisfaisant `a l’´equation d’invariance f∗S = ρS. ♠ Notre but est de donner une r´eponse pr´ecise `a ces deux probl`emes pour une classe particuli`ere d’applications m´eromorphes. Nous ferons dans tout ce chapitre les hypoth`eses suivantes.
(R1) X est une surface lisse, k¨ahl´erienne, compacte, connexe.
(R2) f : X→ X est une application birationnelle dominante alg´ebriquement stable t.q. ρ := λ1(f ) > 1.
(R3) Le sous-espace ker(f∗− ρId) ⊂ H+1,1(X) est de dimension 1, engendr´e par la classe d’une forme lisse positive ferm´ee{ω}. De mani`ere ´equi-valente, pour toute classe ξ ∈ H+1,1(X), on a ρ−j(f∗)jξ → c(ξ){ω} pour un r´eel c(ξ).
D´efinition 4.0.4. On dira que f : X → X appartient `a la classe (B) lorsque les conditions (R1), (R2) et (R3) d´ecrites ci-dessus sont satisfaites.
Notons que toute application birationnelle alg´ebriquement stable de X = P2 ou P1 × P1 avec λ1(f ) > 1 appartient `a la classe (B). En effet dans P1× P1 si (R3) est viol´ee, f est soit holomorphe, soit un produit crois´e (voir Lemme 3.2.1). Comme f est birationnelle, ceci implique λ1(f ) = 1 et contredit l’hypoth`ese (R2).
Pour les applications de la classe (B) le probl`eme A poss`ede la solution suivante.
Th´eor`eme A. Soit f : X → X une application birationnelle de la classe (B) et T (f) := limj→∞ρ−j(fj)∗ω le courant de Green de f .
Alors il existe un ensemble fini E ⊂ X (l’ensemble des points excep-tionnels de f ) tel que pour tout S ∈ C1+(X), les conditions suivantes sont ´equivalentes.
1. Pour tout p∈ E, on a ν(p, S) = 0.
2. Il existe une constante c := c({S}) > 0 t.q. 1
ρj(fj)∗S−→ c · T (f). (4.2) De plus si V est un voisinage fix´e de E, la convergence dans (4.2) est uni-forme dans le compact des courants de masse 1 et dont le support ´evite V . Remarque: Le Th´eor`eme A implique un r´esultat d’´equidistribution des pr´eimages d’une hypersurface g´en´erique. C’est donc un analogue de l’asser-tion suivante. Pour toute fracl’asser-tion ral’asser-tionnelle `a une variable R∈ C(z), on a ´equidistribution des pr´eimages d’un point z∈ P1 vers la mesure d’´equilibre
de R ssi z n’est pas exceptionnel (voir [Ly83]).
Notons le corollaire suivant. On notera Vd = Pd(d+3)/2 l’ensemble des hypersurfaces de P2 de degr´e d.
Corollaire 4.0.5. Soit f : P2 → P2 une application birationnelle alg´ebri-quement stable et t.q. ρ := λ1(f ) > 1. Pour tout entier d ≥ 1, l’ensemble des hypersurfaces H ∈ Vd t.q. ρ−j(fj)∗[H] → d · T (f) est un ouvert de Zariski dense dansVd= Pd(d+3)/2.
On peut r´epondre au probl`eme B.
Th´eor`eme B. On se place sous les hypoth`eses du Th´eor`eme A.
1. Pour tout point p∈ E, il existe un cycle analytique de codimension 1 `
a coefficients r´eels positifs Tp dont le support contient p et t.q.
f∗Tp = ρ· Tp. (4.3)
Ce cycle est unique sous la normalisation kTpk = 1 et si il v´erifie la condition suivante. Pour tout cycle analytique S contenant p sati-faisant `a (4.3), il existe une constante c > 0 t.q. S ≥ c · Tp.
2. On a
Gρ= R+· T (f) +X
p∈E
R+· Tp.
En d’autres termes, tout courant S∈ C1+(X) v´erifiant l’´equation fonc-tionnelle f∗S = ρS est combinaison lin´eaire des courants T (f ) et {Tp}p∈E.
On v´erifiera aussi que les deux th´eor`emes ci-dessus sont valables pour les applications monomiales de C2 d´efinies par f (z, w) = (zαwβ, zγwδ) et dont la matrice des degr´es est primitive.
La d´emonstration des Th´eor`emes A et B s’appuie sur des estimations volumiques i.e. sur une minoration fine de la suite Vol(fj(E)) pour un bor´elien E fix´e. Elle se situe dans l’esprit de celle initi´ee par Bedford-Smillie ([BS91]), Fornaess-Sibony ([FS92]) dans le cas des applications de H´enon, et de Diller ([Di96]) dans celui des applications birationnelles de P2. Notre m´ethode permet de donner des th´eor`emes optimaux de convergence qui ´etendent mˆeme dans le cas des applications de H´enon les r´esultats d´ej`a obtenus.
Nous donnons tout d’abord une caract´erisation de l’ensemble exception-nel E et d´efinissons les courants Tp associ´es aux points p ∈ E. Celui-ci est un sous-ensemble de l’ensemble des points p´eriodiques superattractifs. A tout point p superattractif, nous associons un r´eel ρ(p) > 1 qui contrˆole la d´ecroissance des volumes pr`es de p. Le point p sera exceptionnel lorsque ρ(p) est maximal ´egal `a ρ.
Nous prouvons ensuite les diff´erentes estim´ees volumiques qui seront n´ecessaires pour la d´emonstration du Th´eor`eme A. Celles-ci sont essentielle-ment bas´ees sur les estim´ees volumiques d’ensemble de sous-niveau de fonc-tions psh dˆues `a Kiselman. Ces derni`eres simplifient les arguments bas´ees sur les estimations d’aire classiques de th´eorie du potentiel utilis´ees dans [BS91] et [FS92].
On se ram`ene alors `a des estimations de certaines multiplicit´es asymp-totiques du type consid´er´e au Chapitre 2. Il est important de noter que ces multiplicit´es doivent ˆetre calcul´ees en tout point et en particulier aux points x ∈ I(f). L’hypoth`ese f birationnelle permet de contrˆoler simplement le comportement de ces multiplicit´es sur I(f ) pour conclure.
Nous prouvons alors les deux Th´eor`emes A et B. Nous concluons en-fin en d´ecrivant pr´ecis´ement le cas des applications monomiales de C2 et des applications birationnelles de P2. Nous ´etudions dans ces deux cas la structure de E.