Applications birationnelles de P 2

Nous voulons ici d´etailler la structure de E dans le cas des applications birationnelles de P².

Remarquons tout d’abord que toute application birationnelle f₊ alg´ebri-quement stable de P2 (ou P1× P1) avec λ₁(f₊) > 1 appartient `a la classe (B).

Le r´esultat principal de cette section est le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 4.5.2. Soit f₊: P² → P2une application birationnelle alg´ebriquement stable t.q. λ₁(f₊) > 1.

L’ensemble exceptionnel E est constitu´e d’au plus un point p, et le cycle T_p est une courbe rationnelle lisse (en particulier l’ensemble critique est localement irr´eductible en p).

On peut pr´eciser le th´eor`eme pr´ec´edent sous la forme suivante.

Proposition 4.5.3. Sous les hypoth`eses et avec les notations pr´ec´edentes. • Si deg(Tp) = 1, l’application f+ est la compactification `a P² d’une

application holomorphe birationnelle de C² dans lui-mˆeme.

• Lorsque le degr´e alg´ebrique λ1(f+) = ρ≤ 4, on a toujours deg(Tp) = 1. Remarque: Nous donnerons au chapitre suivant (voir la Section 5.2.2) une description conjecturale de la structure du semi-groupe des applications holomorphes birationnelles de C². Le probl`eme de la classsification des ap-plications admettant une conique totalement invariante est pour l’instant

totalement ouvert. 

Enfin donnons un exemple explicite d’une application birationnelle poss´edant une conique totalement invariante.

Exemple 4.5.4. Fixons α6= 1 ∈ C. Soit g : P2 → P2d´efini en coordonn´ees homog`enes par

g[x : y : t] := [x(x²y²+ (3− 2α)t⁴+ (3− α²)yt²) :

y(xy + t²)² : t(αxy + t²)(xy + t²)]. (4.31) Notons A∈ Aut(P2) l’automorhisme lin´eaire

A(x, y, t) := (2t + x− y, 2t − x + y, x + y)

et posons f := A◦ g. Soit C la conique d´efinie par xy + t2 = 0. On v´erifie ais´ement les propri´et´es suivantes

• L’application g est une application birationnelle de P2 (en effet on a g⁻¹[0 : 0 : 1] = [0 : 0 : 1]6∈ C(g).

• La conique C est totalement invariante: g∗[C] = 5[C] . • I(f) = I(g) = {[0 : 1 : 0], [1 : 0 : 0]} et g(C) = [1 : 0 : 0]. • A(C) = C et A[1 : 0 : 0] = [1 : −1 : 1].

On en d´eduit que f est une application birationnelle alg´ebriquement sta-ble de P² t.q. f^∗[C] = 5[C].

D´emonstration.Proposition 4.5.3 La premi`ere assertion est imm´ediate.

Pour la seconde, supposons qu’il existe une conique V totalement invari-ante f₊^∗V = ρV . Notons f₊(V ) = p et soit L la droite complexe tangente `a V en p. Posons f<sub>+</sub><sup>∗</sup>[L] = c[V ] + [L<sup>′</sup>] o`u L^′ est une courbe ne contenant pas V . Pour calculer c on se place localement en p. Dans la classification donn´ee au Chapitre 1, le germe (f₊, p) appartient `a la classe 4, on peut donc l’´ecrire localement f<sub>+</sub>(z, w) = (zρ, λwzq+ zr(1 + Q(z))) avec λ 6= 0, q ≥ r ≥ 1 et Q∈ C[z]. La courbe L est lisse et tangente `a l’ordre 2 en 0 `a {z = 0}, on a donc L ={z = w2(1 + ψ(w))} pour une fonction ψ s’annulant `a l’origine. Un calcul local donne alors f₊^∗[L] = [z− w²(1 + ψ(w))]◦ f+ ≥ 2r[z = 0], donc c≥ 2r. On conclut ρ ≥ 2r deg(V ) + deg(L^′) > 4.

Le reste de cette section est consacr´ee `a la preuve du Th´eor`eme 4.5.2. D´emonstration. Th´eor`eme 4.5.2

Soit donc p∈ E un point exceptionnel que l’on suppose fixe. Nous allons tout d’abord prouver queC(f+²) est localement irr´eductible.

Supposons donc queC(f2

+)∩ U soit r´eductible dans un voisinage U de p. Localement on peut ´ecrire f₊ sous la forme

avec ρ(A_p) = ρ, c₁c₂ 6= 0 et ψ1(0) = ψ₂(0) = 0, o`u A_p d´esigne la matrice primitive A_p :=  α γ β δ  . Premier cas: A_p est inversible.

Comme f₊ est birationnelle, f₊ est injective dans U \ C(f2

+) et on a donc αδ− βγ = ±1 (voir classe 6 au Chapitre 1). Or ρ(Ap) = ρ∈ N donc tr(A_p) = ρ±ρ⁻¹ ∈ N, ce qui implique ρ = 1. Ceci contredit notre hypoth`ese λ₁(f₊) = ρ > 1.

Second cas: le rang de Ap est 1.

Notons V₁ (resp. V₂) la composante irr´eductible de C(f+²) contenant {z = 0} (resp. {w = 0}), et vi := deg(V_i) pour i = 1, 2. On a les ´equations

f₊^∗[V₁] = α[V₁] + β[V₂], f₊^∗[V₂] = γ[V₁] + δ[V₂], d’o`u on tire ρv₁ = αv₁+ βv₂, (4.32) ρv₂ = γv₁+ δv₂. (4.33) Comme p∈ E, on a de plus ρ(A_p) = trA_p = α + δ = ρ. (4.34) Par ailleurs, un calcul donne

det(Df₊(z, w)) = z^α+γ−1w^β+δ−1  zw(ψ_1zψ_2w− ψ2zψ_1w)+ + (1 + ψ₁)(αwψ_2w− βzψ2z) + (1 + ψ₂)(δzψ_1z − γwψ1w)  . On en d´eduit localement [C(f+)] > (α + γ− 1)[V1] + (β + δ− 1)[V2] d’o`u

3ρ− 3 > (α + γ − 1)v1+ (β + δ− 1)v2. (4.35) En additionant (4.32) et (4.33) et en reportant dans (4.34), on obtient l’in´egalit´e

3ρ− 3 > (ρ − 1)(v1+ v₂).

Comme v₁, v₂6= 0, on a donc v1= v₂= 1, et (4.32), (4.33), (4.35) impliquent alors α = γ, β = δ et α + β = ρ.

Les hypersurfaces V₁, V₂ sont des droites complexes plong´ees dans P² qui se coupent transversalement en p, on peut trouver donc un syst`eme

[z₀ : z₁ : z₂] de coordonn´ees homog`enes de P²dans lequel on a V₁={z1 = 0} et V₂ ={z2 = 0}. Dans ces coordonn´ees, on peut ´ecrire f+sous la forme

f₊[z₀: z₁ : z₂] = [P₀ : P₁ : P₂] = [⋆ : c₁z₁^αz₂^β(1 + ⋆) : c₂z₁^αz₂^β(1 + ⋆)]. Mais f₊ est de degr´e alg´ebrique ρ, on a donc deg(P₁) = deg(P₂) = ρ et il s’ensuit P₁ = c₁zα

1z₂^β, P₂ = c₂zα

1z₂^β, ce qui contredit le fait que f₊ est dominante.

On a donc prouv´e que pour tout point exceptionnel p ∈ E, l’ensemble critiqueC(f2

+) est localement irr´eductible au voisinage de p. Examinons plus pr´ecis´ement ce cas.

Soit V une composante irr´eductible de C(f+) v´erifiant f₊^∗[V ] = ρ[V ] et f₊(V \ I(f+)) = p ∈ E. Fixons un relev´e de f+ a C` 3\ {0} F (z0, z<sub>1</sub>, z<sub>2</sub>) = (P0, P1, P2), et soit Q un polynˆome homog`ene de degr´e deg(V ) t.q. π(Q = 0) = V (o`u π : C<sup>3</sup> \ {0} → P2 est la projection naturelle). L’´equation d’invariance de V se r´e´ecrit Q◦ F = Qρ. On a donc I(f<sub>+</sub>) ⊂ V . De plus, Supp f∗[V ]⊂ f+<sup>−1</sup>(V ) donc f<sub>−</sub>(V )⊂ V . Comme f+ est birationnelle et que f<sub>+</sub>(V ) = p, l’application f−|V ne peut ˆetre un automorphisme donc f−(V ) est r´eduit `a un point q ∈ I(f−)∩ V et V ⊂ C(f−).

Par la Proposition 4.1.1, les courbesC(f±)\ I(f±) sont lisses. L’applica-tion f₊est alg´ebriquement stable donc I(f₊)∩I(f−) =∅ (Proposition 4.1.3), et il s’ensuit que

V = V \ I(f+)∪ V \ I(f−)⊂ C(f+)\ I(f+)∪ C(f−)\ I(f−),

est lisse. Comme V est une courbe rationnelle, on a n´ecessairement deg(V ) = 1 ou 2.

Lorsque V est une droite complexe, on peut alors trouver des coor-donn´ees homog`enes de P² t.q. V ={z2= 0}, et f s’´ecrit alors

f ([z₀ : z₁: z₂]) = [P₀ : P₁ : z^ρ₂] ,

ce qui prouve que f induit une application holomorphe dans C² := P²\ V . On va maintenant conclure en prouvant l’unicit´e du point exceptionnel (lorsqu’il existe). Supposons que E = {p1,· · · , pk}. Quitte `a remplacer f par un it´er´e on peut supposer que tous les points de E sont fixes. Notons T_pi leur courbe rationnelle invariante associ´ee satisfaisant f^∗T_pi = ρT_pi. Au voisinage de chaque point p_i, on peut ´ecrire f sous la forme f (z, w) = (zρ, ⋆) et on v´erifie que l’on a [C(f)] > (ρ − 1)Tpi. Comme deg(C(f)) = 3ρ − 3 (Proposition 3.1.3), on obtient

k

X

i=1

(ρ− 1) deg(Tpi) < 3ρ− 3,

ce qui implique soit k = 1 et deg(T_p1) = 1 ou 2, soit k = 2 et deg(T_p1) = deg(T_p2) = 1. Dans le second cas, on peut ´ecrire f en coordonn´ees ho-mog`enes f [z₀ : z₁ : z₂] = [P₀ : z^ρ₁ : z₂^ρ] ce qui implique deg(f ) ≥ ρ > 1 et

´

Etude dynamique de

quelques classes

d’applications rationnelles de

surfaces rationnelles.

Introduction

Dans ce chapitre, on supposera que X est une surface rationnelle X = P2

ou P¹× P1, et que f : X → X est une application rationnelle dominante de X dans elle-mˆeme. Nous avons construit au chapitre 2 un courant T (f ) positif ferm´e de bidegr´e (1, 1) invariant et montr´e qu’il poss´edait des informa-tions sur la dynamique de f , en particulier sur la distribution des pr´eimages des hyperplans (voir Chapitre 4). Nous voulons maintenant d´ecrire la dy-namique de f , c’est-`a-dire comprendre la structure des orbites des points de X. Pour cel`a on adopte un point de vue stochastique. On cherche donc `a construire des mesures positives invariantes “int´eressantes”, poss´edant des propri´et´es de m´elange, d´ecrivant la distribution des points p´eriodiques ou ´etant d’entropie maximale.

Deux cas ont ´et´e ´etudi´e abondamment: les applications holomorphes de P² et les automorphismes polynomiaux de C2. R´esumons les principaux r´esultats qui ont ´et´e obtenu.

Si f : P² → P2 est une application holomorphe de P² de degr´e d = λ₁(f ) ≥ 2, on d´efinit sa mesure de Green µ := T (f) ∧ T (f) (voir [Si99]). Cette d´efinition a un sens car T (f ) admet un potentiel continu. On d´emontre alors les propri´et´es suivantes:

HOL1 La mesure µ satisfait `a l’´equation d’invariance f^•µ = d²· µ = deg(f)µ, et elle est d’entropie maximale

h_µ(f ) = 2 log d.

HOL2 La mesure µ est m´elangeante: pour tout couple de fonctions tests ψ, χ∈ C∞(P²), on a lim j→∞ Z P2 ψ◦ f^j· χdµ = Z P2 ψdµ  · Z P2 χdµ  . En particulier, µ est ergodique.

HOL3 Pour tout point z ∈ P²hors d’un ensemble pluripolaire, on a ´equidistristribution des pr´eimages de z:

lim

j→∞

1

d2j(f^j)^•δz= µ.

HOL4 Les exposants de Lyapunov de µ sont positifs. Plus pr´ecis´ement, si λ est le plus petit d’entre eux, on a

λ≥ ¹ 2^{log d.}

HOL5 On a ´equidistribution des points p´eriodiques r´epulsifs: lim j→∞ 1 d2j X f j (p)=p p r´epulsif δ_p = µ,

au sens des mesures. ♣

Les assertions HOL1, HOL2, HOL3 sont dˆues `a Fornaess-Sibony (voir par exemple [Si99]), tandis que HOL4 et HOL5 ont ´et´e prouv´e par Briend-Duval (voir [Br97] ou [BD99]).

Pour les automorphismes polynomiaux de C2, les r´esultats analogues ont ´et´e obtenu par Bedford-Lyubich-Smillie (voir [BLS93]). On se ram`ene `a l’´etude des compos´ees des applications de H´enon f : C²→ C² donn´ee par

f (z, w) = (w, az + P (w)),

o`u a∈ C<sup>∗</sup> et P est un polynˆome de degr´e d≥ 2. La compactification de f `

a P2 est alg´ebriquement stable. On note T+ le courant de Green associ´ee `

a f , et T⁻ le courant de Green associ´e `a son inverse f<sup>−1</sup>. On d´efinit alors la mesure µ := T<sup>+</sup>∧ T<sup>−</sup> (comme pr´ec´edemment les potentiels des courants sont continues dans C2). Celle-ci est une mesure de probabilit´e `a support compact dans C² et v´erifie:

HEN1 f^∗µ = f_∗µ = µ. La mesure µ est m´elangeante.

HEN2 Les exposants de Lyapunov λ₊ ≥ λ− de µ sont non nuls. On a les in´egalit´es λ₊≥ log d > 0 et λ−≤ − log d < 0.

HEN3 On a ´equidistribution des p´eriodiques de type selle: lim j→∞ 1 d2j X f j (p)=p p selle δ_p= µ.

HEN4 La mesure µ est l’unique mesure d’entropie maximale. ♣ Dans le cas g´en´eral des applications rationnelles, l’existence mˆeme d’une mesure invariante f^•µ = deg(f )· µ reste un probl`eme ouvert. Si le degr´e topologique de f est important, nous avons cependant le Th´eor`eme de Russakovski-Shiffman (voir Section 3.3).

Th´eor`eme 5.0.5. Theorem 1.1 [RS97]

Soit f une application rationnelle dominante de X = P² ou P¹× P1. Si la condition λ₁(f ) < deg(f ) est satisfaite, il existe une mesure de probabilit´e µ_f sur X et un ensemble pluripolaire Ef ⊂ X tels que

1

(deg(f ))j(f^j)^•(ν)−→ µf (5.1) pour toute mesure de probabilit´e ν sur X telle que ν(Ef) = 0.

Sous cette hypoth`ese, lorsque l’on peut assurer de plus que µ<sub>f</sub> ne charge pas les ensembles pluripolaires (en particulier µ<sub>f</sub>(I(f )) = 0), la mesure de Russakovski-Shiffman v´erifie l’´equation d’invariance et on prouve qu’elle est alors m´elangeante (Lemme 3.3.2). On s’attend de plus `a ce que µ_f soit d’entropie maximale et v´erifie les assertions HOL4 et HOL5.

Pour montrer que µ_f ne charge pas les pluripolaires, on va s’efforcer de la construire de mani`ere diff´erente. L’id´ee est d’´ecrire µ<sub>f</sub> comme courant pluripositif µ<sub>f</sub> := dd<sup>c</sup>(uT (f )) (voir Appendice A) o`u u est une fonction s.c.s. d´efinie sur le support de T (f ). Des in´egalit´es du type Chern-Levine-Nirenberg (CLN en abr´eg´e) montreront que µ_f ne charge pas les pluripolaires (voir Proposition A.0.11).

De mˆeme, lorsque f est birationnelle, on aimerait d´efinir µ := T (f )∧ T (f⁻¹) et prouver HEN1, HEN2, HEN3, HEN4. Dans ce cas, il apparait aussi crucial de s’assurer que µ ne charge pas les ensembles pluripolaires.

Dans tous les cas, la pr´esence des points d’ind´etermination force les potentiels des courants consid´er´es `a ne pas ˆetre localement born´es. En par-ticulier, il est important de noter que la d´efinition mˆeme de µ_f n´ecessite l’utilisation d’une th´eorie fine de l’intersection des courants positifs ferm´es (voir e.g. [De93]) et ne peut ˆetre assur´e en g´en´eral.

Nous construirons une mesure invariante m´elangeante pour deux classes particuli`eres d’applications. Nous ´etudierons `a la Section 1 les produits croi-s´es polynomiaux f (z, w) = (P (z), Q(z, w)) de C²et prouverons les analogues des assertions HOL1, HOL2, HOL3, HOL4 et HOL5. Ces applications ont ´et´e ´etudi´ees par diff´erents auteurs ([He96], [J1-99], [Se97]) lorsque le degr´e des applications des fibres ne variait pas. Ceci revient `a supposer que f s’´etend holomorphiquement `a une compactification de C². Nous autorisons ici des comportements arbitraires des applications dans les fibres ce qui nous force `a contrˆoler pr´ecis´ement le rˆole des points d’ind´etermination.

Nous consid´erons `a la Section 2 les applications birationnelles polyno-miales de C2 et prouvons HEN1. Les autres assertions HEN2, HEN3, HEN4 demandent une compr´ehension plus fine de la structure de la mesure invariante construite. Notons que J. Diller prouve HEN1 et HEN2 pour une classe d’applications birationnelles de P2 peu singuli`eres t.q. I(f∞)∩ I((f−1)∞) = ∅. La dynamique “int´eressante” se d´eroule alors `a distance hors des ensembles d’ind´etermination. La classe d’applications que nous ´etudions ici est d’un type diff´erent et fait apparaitre des probl`emes li´es de mani`ere essentielle aux points d’ind´etermination. Le contrˆole des courants T (f ) et T (f<sup>−1</sup>) au voisinage de I(f )∪ I(f−1) joue un rˆole crucial dans notre ´etude. Ce contrˆole s’appuie sur le Th´eor`eme 2.4.6 d´emontr´e au Chapitre 2.