Dans cette section, nous d´emontrons un th´eor`eme g´en´eral de r´ecurrence forte pour des applications analytiques. Celui-ci est un des ingr´edients principaux dans la preuve du Th´eor`eme 2.4.6. Nous nous pla¸cons tout d’abord dans le cadre abstrait des espaces topologiques noeth´eriens (voir [Ha77] p.5) avant de particulariser notre r´esultat au cas pr´ecis qui nous int´eresse.
D´efinition 2.5.1. Un espace topologique X est dit noeth´erien si toute suite d´ecroissante de ferm´es Fn+1 ⊂ Fn est stationnaire `a partir d’un certain rang i.e. il existe un entier N ∈ N t.q. ∀n ≥ N, Fn= FN.
Si V ⊂ X est ferm´e dans X, la topologie induite sur V est encore noeth´erienne. Un ferm´e V de X est dit irr´eductible si toute ´egalit´e V = F1 ∪ F2 avec F1, F2 ferm´es implique V = F1 ou V = F2. Tout ferm´e V d’un espace noeth´erien se d´ecompose de mani`ere unique en un nombre fini de composantes irr´eductibles V = V1∪ · · · ∪ Vk (voir [Ha77] p.5).
Nous aurons besoin du lemme suivant.
Lemme 2.5.2. Soit f : X → X une application continue d’un espace topologique noeth´erien dans lui-mˆeme. Si V ⊂ X est un ferm´e irr´eductible, f (V ) est irr´eductible.
D´emonstration. Soit F1, F2 deux ferm´es t.q. f (V ) = F1 ∪ F2. On peut donc ´ecrire V comme union de deux ferm´es V = V ∩ f−1(F1)
∪ V ∩ f−1(F2)
. Comme V est irr´eductible, on peut supposer que V = V ∩ f−1(F1) ⊂ f−1(F1). D’o`u f (V )⊂ F1 ⊂ f(V ). Par suite f(V ) = F1 et f (V ) est irr´eductible.
D´efinition 2.5.3. Soit X un espace topologique noeth´erien. On note bX l’ensemble des ferm´es non-vides de X.
Pour V ⊂ X, notons FV := {W ferm´es t.q. W ⊂ V }. La collection {FV}V ⊂X de parties de bX d´efinit une topologie noeth´erienne sur bX.
En effet, on v´erifie imm´ediatemment F∅ =∅, FX = bX, ∪FVi = F∪Vi, et ∩FVi = F∩Vi.
D´efinition 2.5.4. Une fonction τ : X → R∗+ est semi-continue sup´erieure (s.c.s.) ssi pour tout ε > 0 l’ensemble {τ ≥ ε} est ferm´e.
Lemme 2.5.5. Toute fonction s.c.s. sur un espace noeth´erien est born´ee sup´erieurement.
D´emonstration. La suite Fk :={τ ≥ k} d´efinit une suite d´ecroissante de ferm´es de X t.q. ∩k∈NFk=∅. Comme X est noeth´erien, on en d´eduit qu’il existe N ∈ N t.q. FN ={τ ≥ N} = ∅.
Si τ : X → R∗
+ est s.c.s., on d´efinit son extension `a bX (que l’on note encore abusivement τ ) par
τ (V ) := inf
x∈V τ (x).
Par convention, on pose τ (∅) := maxx∈Xτ (x). En g´en´eral, on ne peut remplacer l’infimum par un minimum.
Exemple 2.5.6. Soit X = N muni de la topologie d´efinie par les sous-parties finies de N. Soit τ (k) := 1/k. Alors τ (X) = 0.
Proposition 2.5.7. Si τ : X → R∗+ est s.c.s. son extension τ : bX → R∗+
est encore s.c.s.
D´emonstration. On v´erifie imm´ediatement{τ ≥ ε} = F{τ ≥ε}. Le th´eor`eme principal peut s’´enoncer de la mani`ere suivante.
Th´eor`eme 2.5.8. Soit X un espace topologique noeth´erien, f : bX → bX une application continue et τ : X → R∗
+ une fonction s.c.s. Fixons V ∈ bX un ferm´e irr´eductible de X.
1. On a convergence de la suite k−1Y j=0 τ fj(V ) 1/k −→ τ∞(V ), (2.5) et τ∞(f (V )) = τ∞(V ).
2. Notons L(V ) :=∩k≥0{fj(V ); j≥ k} l’ensemble limite de V . Alors • f(L(V )) = L(V ).
• Il existe un entier N ∈ N t.q. fN(V ) ⊂ L(V ), et l’ensemble {fN +k(V ), k≥ 0} est dense dans L(V ).
• On peut d´ecomposer L(V ) en p composantes irr´educibles distinc-tes, L(V ) = L1∪ · · · ∪ Lp t.q. f (Li) = Li+1 modulo (p).
• On a τ∞(V ) = τ∞(Li) = (Qp
1τ (Li))1/p pour tout i = 1,· · · , p. L’id´ee principale du th´eor`eme est que lorsque τ∞(V ) > infx∈Xτ (x), le ferm´e V poss`ede des propri´et´es de r´ecurrence: il appartient `a un sous-ensemble ferm´e strict L(V ) fix´e par f .
Remarque: Le th´eor`eme pr´ec´edent se g´en´eralise aux cocycles sous-multipli-catifs. On peut remplacer Qk−1
j=0τ (fj(x)) par une suite de fonctions s.c.s τk(x) v´erifiant pour tout k, l∈ N l’in´egalit´e
Les conclusions restent alors les mˆemes. Avant de donner la preuve du th´eor`eme, pr´ecisons le cadre dans lequel il sera appliqu´e.
Une vari´et´e analytique X compacte munie de la topologie de Zariski d´efinit un espace topologique noeth´erien.
Lemme 2.5.9. Soit X une vari´et´e analytique compacte et f : X → X une application m´eromorphe. Pour toute sous-vari´et´e V ⊂ X, notons f(V ) := f|D(f )(V ) (voir D´efinition 2.1.1).
Alors f : bX → bX est continue.
D´emonstration. Soit V une sous-vari´et´e de X, et Y une sous-vari´et´e irr´eductible. On a la s´erie d’´equivalences:
Y ∈ f−1(FV) ⇐⇒ f(Y ) ⊂ V ⇐⇒ π2π1•(Y )⊂ V ⇐⇒ π1•(Y )⊂ π−12 (V ),
o`u π1•(Y ) := π1−1(Y \ I(f)) est la transform´ee stricte de Y par la modifi-cation propre π1. Comme Y est irr´eductible, Y = Y \ I(f) ∪ (I(f) ∩ Y ) implique soit Y = Y ∩ I(f) ⊂ I(f), soit Y = Y \ I(f).
Dans le premier cas, π•1(Y ) =∅. Dans le second cas, π1•(Y )⊂ π−12 (V ) =⇒ Y = Y \ I(f) = π1 π1•(Y )\ π1−1(I(f ))
⊂ π1 π2−1(V )\ π1−1(I(f ))
⊂ π1π−12 (V ), et dans l’autre sens π1 est injective hors de π−11 (I(f )) et
Y ⊂ π1π2−1(V ) =⇒ π1•(Y ) = π1−1(Y )\ π−11 (I(f ))
⊂ π2−1(V )\ π1−1(I(f ))⊂ π−12 (V ). On a donc prouv´e f−1(FV) = Ff−1(V )∪I(f ) et f est bien continue.
L’exemple de fonction s.c.s. que nous utiliserons est le suivant.
D´efinition 2.5.10. Soit X une vari´et´e analytique compacte et f : X → X une application holomorphe finie i.e. f−1{z} est fini pour tout z ∈ X.
On d´efinit e(z, f ) le degr´e de ramification de f au point z c’est-`a-dire le nombre de pr´eimages dans une petite boule centr´ee en z d’un point g´en´erique proche de f (z).
L’entier e(z, f ) est le degr´e topologique local de f en z. En particulier, {e(., f) ≥ 2} = C(f) l’ensemble critique de f. De plus, on a la formule de composition:
pour deux germes finis f, g.
La remarque fondamentale est la suivante.
Lemme 2.5.11. Soit X une vari´et´e analytique compacte, et f : X → X une application holomorphe finie. La fonction z→ e(z, f) est s.c.s. pour la topologie de Zariski de X.
D´emonstration. Le probl`eme est local, on peut donc supposer que f est d´efinie dans la boule unit´e B ⊂ Cn et `a valeurs dans B. Soit V ⊂ B × B le sous-espace analytique d´efini par l’´equation f (x) = f (y). Notons e(V, p) la multiplicit´e au point p de la vari´et´e V i.e. le degr´e topologique de la restriction `a V d’une projection lin´eaire g´en´erique sur un sous-espace lin´eaire de dimension dim(V ) = n. Admettons pour l’instant l’´egalit´e
e(V, (x, x)) = e(x, f ). (2.7)
Pour tout entier k ∈ N, l’ensemble {p ∈ V, e(V, p) ≥ k} est alors un sous-ensemble analytique par Theorem 3.8E de [Wh72] ou Proposition 4.1. de [Li82]. On en d´eduit que l’ensemble
{x ∈ B, e(x, f) ≥ k} = ı−1({p ∈ V, e(V, p) ≥ k}),
est aussi analytique, o`u ı(x) := (x, x) est l’injection de B dans la diagonale de B× B.
Il reste donc `a prouver (2.7). On peut supposer que x = 0 et on fixe une petite boule D = B(0, ρ) de diam`etre ρ≪ 1 et on note ρ′ := dist(0, f (∂D)). Pour un choix g´en´erique (dense) de r´eel ε≪ 1 et de point α ∈ D, on a
e(V, 0) = Card{(x, y), f(x) = f(y) et x − εy = α} = Card{y, f(α + εy) = f(y)},
e(0, f ) = Card{y, f(α) = f(y)}.
Quitte `a choisir α assez proche de 0, on peut toujours supposer que l’on a dist(f (α), f (∂D)) ≥ ρ′/2. Posons F (y) := f (α + εy)− f(y), et G(y) := f (α)− f(y). Les ´equations pr´ec´edentes donnent e(V, 0) = Card F−1{0} et
Card G−1{0} = e(0, f). Pour tout point y ∈ ∂D, on a
|F (y) − G(y)| = |f(α + εy) − f(α)| ≤ C(f)ε|y| ≤ C(f)ερ; |G(y)| = |f(α) − f(y)| ≥ ρ′/2,
o`u C(f ) = supB(0,1)kDfk. Si on choisit ε < (2ρC(f))−1ρ′, on a |F − G| < |G| sur ∂D. On peut donc appliquer le th´eor`eme de Rouch´e pour conclure
e(V, 0) = Card F−1{0} = Card G−1{0} = e(0, f). Ceci conclut la preuve.
Dans notre cas, nous avons `a consid´erer des applications m´eromorphes. En g´en´eral, f n’est pas localement fini en tout point car I(f )∪ C(f) 6= ∅. On adopte donc la convention suivante.
Rappelons que deg(f ) est le maximum du nombre de pr´eimages d’un point z∈ X dont la fibre f−1{z} est finie.
D´efinition 2.5.12. Soit X une vari´et´e complexe compacte, f : X→ X une application m´eromorphe dominante et C > deg(f ) un r´eel arbitraire.
• Si z 6∈ C(f) ∪ I(f), on pose eC(z, f ) := e(z, f ).
• Lorsque z ∈ C(f) ∪ I(f), on pose par convention eC(z, f ) := C. Proposition 2.5.13. Soit X une vari´et´e complexe compacte, f : X → X une application m´eromorphe dominante et C > deg(f ). Alors l’application z→ eC(z, f ) est s.c.s. par rapport `a la topologie de Zariski.
D´emonstration.
Consid´erons tout d’abord le cas d’une fonction holomorphe f : Γ → X d’une vari´et´e complexe compacte (non n´ecessairement lisse) dans une autre. Comme f est propre, on peut trouver une factorisation de Stein de f . Il existe une vari´et´e complexe compacte Y , une application holomorphe `a fibres connexes g : Γ→ Y et une application holomorphe `a fibres finies h : Y → X t.q. f = h◦ g.
Soit y∈ Γ un point arbitraire. Si le sous-ensemble analytique f−1{f(y)} est discret au point y (i.e. y 6∈ C(f)), l’application g d´efinit un biholomor-phisme local au voisinage de y et on a
eC(y, f ) = e(y, f ) = e(y, g)× e(g(y), h) = e(g(y), h). Sinon y∈ C(f) et par convention on a
eC(y, f ) = C. On v´erifie donc pour tout entier k≤ C que
{y ∈ Γ, e(y, f) ≥ k} = {y ∈ Γ, e(g(y), h) ≥ k} ∪ C(f) = g−1{y ∈ Γ, e(y, h) ≥ k} ∪ C(f), et par suite que la fonction y7→ eC(y, f ) est bien s.c.s.
Si maintenant f : X → X poss`ede des points d’ind´etermination, on note Γ son graphe et π1, π2 les deux projections (propres) de Γ sur X. Notons que deg(f ) = deg(π2). On v´erifie imm´ediatemment que l’on a pour tout entier k≤ C l’´egalit´e
{x ∈ X, eC(f, x)≥ k} = π1{y ∈ Γ, eC(y, π2)≥ k} ∪ I(f). Ceci conclut la preuve.
On peut donc r´e´ecrire le Th´eor`eme 2.5.8 dans le cadre analytique sous la forme:
Th´eor`eme 2.5.14. Soit X une vari´et´e complexe compacte, f : X → X une application m´eromorphe dominante, et C > deg(f ).
Fixons V ⊂ X une sous-vari´et´e irr´eductible. 1. On a convergence de la suite k−1Y j=0 eC(fj(V ), f ) 1/k −→ eC∞(V, f ), (2.8) et eC∞(f (V ), f ) = eC∞(V, f ).
2. Notons L(V ) :=∩k≥0{fj(V ); j≥ k} l’ensemble limite de V . Alors • f(L(V )) = L(V ).
• Il existe un entier N ∈ N t.q. fN(V ) ⊂ L(V ), et l’ensemble {fN +k(V ), k≥ 0} est dense dans L(V ).
• On peut d´ecomposer L(V ) en p composantes irr´educibles distinc-tes, L(V ) = L1∪ · · · ∪ Lp, t.q. f (Li) = Li+1 modulo (p).
• On a eC
∞(V, f ) = (Qp
1eC(Li, f ))1/p = eC∞(Li, f ) pour tout i = 1,· · · , p.
Remarque: Lorsque z 6∈ C(f∞)∪ I(f∞), l’´equation (2.8) donne lim
k→∞e(z, fk)1/k = e∞(z, f ).
On appelle e∞(z, f ) la multiplicit´e asymptotique de f en z.
Remarquons que pour tout point hors d’une union d´enombrable de
sous-vari´et´e, on a e∞(z, f ) = 1.
Le reste de cette section est consacr´ee `a la preuve du Th´eor`eme 2.5.8. D´emonstration.Th´eor`eme 2.5.8.
On notera dans toute la preuve [t] la partie enti`ere de t ∈ R, |E| le cardinal de l’ensemble fini E, et [[1, k]] :={1, · · · , k} pour k ∈ N.
La preuve est bas´ee sur le principe d’induction noeth´erienne que nous rappellons (voir [Ha77] p.93).
Soit P une propri´et´e des ferm´es de X. Supposons que pour tout ferm´e Y ⊂ X, on ait l’implication: P est vraie pour tous les ferm´es strictement inclus dans Y implique P est vraie pour Y . Alors X satisfait P.
D´emontrons les deux premi`eres assertions en utilisant ce principe. La propri´et´e, not´ee P, que nous consid´erons est la suivante:
P Pour toute fonction s.c.s. τ : Y → R∗
+, toute application continue f : bY → bY et tout ferm´e V ⊂ Y satisfaisant
τ∞(V ) := lim k→∞ k−1Y j=0 τ (fj(V )) 1/k > τ (Y ) = inf Y τ, les deux assertions suivantes sont v´erifi´ees:
• la limite τ∞(V ) existe,
• l’assertion 2. du th´eor`eme est valable pour V .
Prouvons tout d’abord que la propri´et´e P implique les assertions 1. et 2. du th´eor`eme. L’invariance de τ∞ par f est imm´ediate (voir Lemme 2.5.16 ci-dessous). Si τ∞(V ) > τ (X), alors 1. et 2. sont v´erifi´ees par P. Sinon τ∞(V ) = τ (X) et τ∞(V ) = τ (X). Prouvons dans ce cas l’assertion 2. Tout ensemble limite est invariant f (L(V )) = L(V ). D’autre part, L(V ) est d´efini comme intersection d’une suite d´ecroissante de ferm´es donc il ex-iste N ∈ N t.q. {fk(V ), k ≥ N} = L(V ), et fN(V ) ∈ {fk(V ), k≥ N} ⊂ L(V ). D´ecomposons L(V ) = L1 ∪ · · · ∪ Lp en composantes irr´eductibles. L’application f induit une permutation sur l’ensemble fini{Li} qui est tran-sitive donc cyclique. Quitte `a renum´eroter les Li, on a f (Li) = Li+1 mod-ulo p. Enfin de fN(V ) ⊂ Li, on d´eduit pour tout k ≥ 0, τ(fN +k(V )) ≥ τ (fk(Li)). Il s’ensuit
τ (X)≤ τ∞(Li)≤ τ∞(fN(V )) = τ∞(V ) = τ (X), ce qui conclut la preuve deP ⇒ 1. et 2.
D´emontrons maintenant P par r´ecurrence noeth´erienne. Soit Y ⊂ X un ferm´e de X, et supposons que pour tout ferm´e strict de V , la propri´et´e P est v´erifi´ee. Il faut prouver que Y v´erifie P.
Soit donc V ⊂ Y t.q. τ∞(V ) > τ (Y ). Le point crucial est contenu dans le lemme suivant. Celui-ci peut ˆetre vu comme un analogue (tr`es simple) du th´eor`eme de Szemeredi. Si E ⊂ N est un sous-ensemble d’entiers, on note d(E) := limn→∞n−1|E ∩ [[1, n]]| la densit´e sup´erieure de E.
Lemme 2.5.15. Soit E ⊂ N un sous-ensemble d’entiers de densit´e sup´e-rieure positive d(E) ≥ θ > 0. Alors il existe l ∈ N et θ′ > 0 ne d´ependant que de θ t.q. l’in´egalit´e
d(E∩ E + l) ≥ θ′ > 0 soit satisfaite.
Fixons ε > 0 t.q. τ∞(V )≥ τ(Y ) + 2ε, et notons C := {τ ≥ τ(Y ) + ε} ⊂ bY .
Comme l’extension de τ `a bY est s.c.s., le sous-ensemble C est un ferm´e strictement inclus dans bY . On pose C := 1 + maxY τ , et on introduit l’ensemble des entiers
E0 :={j ∈ N, t.q. fj(V )∈ C}. On a pour tout k∈ N, k−1Y j=0 τ (fj(V )) 1/k ≤ (τ(Y ) + ε)Ck−1|E0∩[[1,k]]|,
d’o`u en passant `a la limite sup´erieure,
d(E0)≥ θ0 > 0,
avec θ0 := (log C)−1(log(τ (Y )+2ε)−log(τ(Y )+ε)). On peut donc appliquer le Lemme 2.5.15 `a l’ensemble E0. Il existe l1 ∈ N, θ1 > 0, t.q. E1 := E0∩ E0+ l1 satisfait d(E1)≥ θ1 > 0. Soit C1:=C ∩ f−l1(C). Comme f est continue, C1 est ferm´e, et on pose E1 ={j ∈ N t.q. fj(V )∈ C1}.
Par une application r´ep´et´ee du Lemme 2.5.15, on peut construire par r´ecurrence quatre suites ln∈ N, θn> 0, En⊂ N et Cn∈ bY t.q.
En+1 := En∩ En+ ln+1, (2.9)
d(En) ≥ θn> 0, (2.10)
Cn+1 := Cn∩ f−ln+1(Cn), (2.11) En = {j ∈ N t.q. fj(V )∈ Cn}. (2.12) Comme bY est noeth´erien, la suite d´ecroissante de ferm´es Cn est sta-tionnaire `a partir d’un certain rang N . D’o`u CN = CN ∩ f−lN(CN) et flN(CN)⊂ CN.
Soit Z := S
CN =S
F ∈CNF ⊂ Y . L’ensemble CN est ferm´e donc Z est ferm´e. On a
Z :=[
CN ⊂[C = [F pour F ∈ bY et inf
F τ ≥ τ(Y ) + ε, ⊂ {τ ≥ τ(Y ) + ε} ( Y,
donc Z est un ferm´e strict de Y . Par ailleurs flN(CN) ⊂ CN implique flN(Z)⊂ Z, et la fonction τlN :=QlN−1
j=0 τ◦ fj est s.c.s. sur Z.
Par construction des En, l’orbite de V intersecte Cn pour tout n. On peut donc trouver un entier L∈ N t.q. fL(V )∈ Z.
Appliquons l’hypoth`ese de r´ecurrence au triplet (Z, flN, τlN) et au ferm´e fL(V ) ⊂ Z. La suite (Qk−1j=0τlN(flNj(V )))1/k converge, et 2. est v´erifi´ee pour flN et τlN.
Pour conclure, il faut comparer les assertions 1. et 2. du Th´eor`eme 2.5.8 pour f et pour un it´er´e. Les deux lemmes suivants suffisent `a conclure que τ∞(V ) existe et que 2. est satisfaite, et par suite queP est vraie pour X.
Lemme 2.5.16. Si fL(V ) satisfait 1. et 2. du Th´eor`eme 2.5.8 alors V satisfait aussi 1. et 2.
Lemme 2.5.17. Si V satisfait les assertions 1. et 2. du Th´eor`eme 2.5.8 pour l’application fl et la fonction τl pour un certain entier l, alors V sa-tisfait 1. et 2. pour f et τ .
D´emonstration.Lemme 2.5.16.
On a L(fL(V )) = L(V ) donc il suffit de v´erifier que τ∞(V ) existe, et que τ∞(V ) = τ∞(fL(V )). Or τ∞(V ) = lim k→∞ k−1Y j=0 τ fj(V ) 1/k = lim k→∞ L−1Y j=0 τ fj(V ) 1/k × k−L−1Y j=0 τ fj(fL(V )) 1/k = τ∞(fL(V )),
ce qui conclut la preuve.
D´emonstration.Lemme 2.5.17.
Notons Lfj(V ) l’ensemble limite de V par fj. Le lemme pr´ec´edent im-plique pour r = 0,· · · , l − 1, τl,∞(fr(V )) existe et τl,∞(fr(V )) = τl,∞(V ). Pour tout entier k∈ N, on ´ecrit k − 1 = pl + r avec r < l, et on a
k−1Y j=0 τ fj(V )1/k = r−1Y j=0 τ fj(V )1/k × p Y j=0 τl flj(fr(V )) 1/k . (2.13) Le premier terme tend vers 1 tandis que le second converge vers τl,∞1/l(V ), ce qui donne l’assertion 1.
Pour 2., on v´erifie que
l−1[
j=0
fj(Lfl(V )) = Lf(V ). (2.14)
• On a
f (Lf(V )) = fl(Lfl(V ))
l−1[
j=1
fj(Lfl(V )) = Lf(V ).
• Par hypoth`ese, on peut trouver N ≥ 1 t.q. fN l(V )⊂ Lfl(V )⊂ Lf(V ).
D’autre part,{f(N +k)l(V ), k ≥ 0} est dense dans Lfl(V ), donc l’´equa-tion (2.14) montre que{fN l+k(V ), k≥ 0} est dense dans Lf(V ). • D´ecomposons en composantes irr´eductibles Lfl(V ) = L′1∪ · · · ∪ L′M o`u
fl permute cycliquement les L′
j. Notons Lij := fj(L′
i). Ce sont des ferm´es irr´eductibles, et f agit transitivement sur{Lij} car l’ensemble {fN l+k(V ), k≥ 0} est dense dans Lf(V ). On peut donc les renum´ero-ter de telle sorte que f les permute cycliquement.
• On a
τ∞(V ) = τl,∞1/l(V ) = τl,∞1/l(L′i) = τ∞(L′i), o`u la premi`ere et la derni`ere ´egalit´es r´esultent de 2.13. Ceci conclut la preuve du Lemme 2.5.17.
Enfin terminons cette section par la preuve du Lemme 2.5.15. Celui-ci est une cons´equence du lemme suivant en prenant Ei:= E∩ [[1, i]].
Lemme 2.5.18. Soit θ > 0 et {Ei}i∈N une suite de sous-ensembles d’en-tiers Ei ⊂ [[0, ni− 1]] t.q. |Ei| ≥ θni.
Alors il existe un entier l ≤ L := 1 + [θ−1] et un r´eel positif 0 < θ′ < L−1(θ− L−1)(L− 1)−1 t.q. pour une infinit´e de choix de i, on a
|Ei∩ Ei+ l| ≥ θ′ni. (2.15) D´emonstration.Lemme 2.5.18
La preuve du lemme est simplement combinatoire. D´efinissons les en-sembles Fi := {1 ≤ k ≤ [niL−1];|[[(k − 1)L, kL − 1]] ∩ Ei| ≥ 2}. Alors, on a
|Ei| ≤ [niL−1] + (L− 1)|Fi| + (ni− [niL−1]L), et on en d´eduit que
θni− [niL−1]≤ (L − 1)|Fi| + L. Il s’ensuit pour i assez grand, et θ′ < (θ− L−1)(L− 1)−1:
Pour tout ces choix de i, nous avons donc
|{k1 < k2 ∈ Ei, k1− k2≤ L}| ≥ θ′ni.
Cel`a donne l’existence d’entiers 0 < k(i)≤ L t.q. |Ei∩ Ei+ k(i)| ≥ θ′L−1ni. On conclut alors en extrayant une sous-suite convenable parmi les Ei.