5.3 Crit` ere unifi´ e de d´ ecision
5.3.2 quelques crit` eres particuliers
Nous montrons ici comment mettre en œuvre la m´ethode que nous proposons avec des crit`eres locaux et globaux classiques. Cette liste n’est pas exhaustive, ce ne sont que quelques exemples.
crit`eres bas´es sur une distance Parmi les crit`eres les plus souvent utilis´es en traitement d’images, on trouve ceux bas´es sur une distance entre les niveaux de gris des pixels, pour un crit`ere local, ou de distance entre les niveaux de gris moyens des r´egions pour un crit`ere global. Un tel crit`ere ne nous restreint pas seulement aux images en niveaux de gris, en effet des fonctions de distance sur les couleurs ont ´et´e ´etudi´ees, voir par exemple [SMT82].
La mani`ere la plus facile d’utiliser une telle distance entre les niveaux de gris est la comparaison avec un seuil, avec tous les inconv´enients cit´es plus haut. 7C’est le cas de la plupart des crit`eres habituellement utilis´es comme la diff´erence des moyennes
par exemple. La diff´erence peut-ˆetre proche d’un seuil donn´e, mais la valeur normalis´ee retourn´ee par un crit`ere tel qu’on le propose ne variera pas beaucoup. Par contre habituellement une l´eg`ere variation peut entraˆıner le passage `a une valeur inf´erieure au seuil et donc passer d’une valeur 0 `
5.3 Crit`ere unifi´e de d´ecision 107
Avec un minimum d’efforts on peut d´efinir un crit`ere normalis´e r´epondant `a nos sp´ecifications. Par exemple dans le cas d’images en 256 niveaux de gris la distance maximale entre deux niveaux de gris c1 et c2 est de 256. On pourra alors d´efinir
la distance normalis´ee d(c1, c2) = |c1 − c2|/256 qui nous permettra ais´ement de
d´efinir un crit`ere normalis´e. D’une mani`ere g´en´erale pour une fonction de distance d0 entre les niveaux de gris ayant une valeur maximale d0∞, on obtient la distance normalis´ee d(c1, c2) = d0(c1, c2)/d0∞.
En fait pour obtenir un crit`ere normalis´e valide avec un telle distance il faudra prendre 1 − d(c1, c2). On appellera un crit`ere de ce type, un crit`ere lin´eaire de
distance. Il a l’avantage de d´ependre de mani`ere continue des donn´ees, par contre il a le d´esavantage d’avoir un assez grand intervalle de valeurs pour lesquelles il est ind´ecis.
op´erateurs gradients D’autre crit`eres habituellement utilis´es sont ceux bas´es sur des valeurs de l’op´erateur gradient ou Laplacien. Ils sont utilis´es pour savoir si un pixel est un point de contour. Par exemple, pour calculer la norme du vecteur gradient, on approxime les d´eriv´ees par des diff´erences (voir par exemple [GW87]), on obtient alors la relation suivante8 :
G[f (x, y)] ∼= |f (x, y) − f (x + 1, y)| + |f (x, y) − f (x, y + 1)| Nous avons alors le crit`ere gradient normalis´e :
|f (x, y) − f (x + 1, y)| + |f (x, y) − f (x, y + 1)|/d0∞
crit`eres exponentiels Pour ´eviter les inconv´enients pos´es par les crit`eres lin´eaires qui ont un grand intervalle de valeurs pour lesquelles ils sont ind´ecis, nous pro- posons de passer le crit`ere comme argument d’une fonction exponentielle de la mani`ere suivante : e−αC o`u C est le crit`ere normalis´e. Le choix du coefficient α influence le comportement de ce nouveau crit`ere. Plus α est grand, plus la courbe sera incurv´ee et le comportement du crit`ere se rapproche d’un crit`ere avec seuil ; pour un α petit la courbe sera presque droite et on retrouve le comportement d’un crit`ere lin´eaire. La figure 5.9 donne des exemples avec diff´erentes valeurs de α pour 8Cette relation est ´equivalente `a l’op´erateur gradient d´efini par L.G. Roberts [Rob65] `a l’aide
α = 2 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 50 100 150 200 250 e−20∗d(c1,c2) e−10∗d(c1,c2) e−5∗d(c1,c2) e−2∗d(c1,c2) distance entre c1et c2 (non normalis´e) α = 20 α = 10 α = 5 0.1
Fig. 5.9 – Influence du coefficient α sur le comportement d’un crit`ere exponentiel.
un crit`ere bas´e sur la distance normalis´ee entre deux niveaux de gris9.
On remarquera qu’une tel crit`ere ne peut jamais prendre la valeur 0. En par- ticulier pour une distance d(c1, c2) = 1, le crit`ere classique r´epondrait 0, ici nous
obtenons la valeur e−α. Contrairement `a la m´ethode pr´ec´edente, un tel crit`ere ne peut `a lui seul interdire la fusion de deux r´egions. On appelle cette valeur la capa- cit´e de veto du crit`ere exponentiel. Cette capacit´e de veto est la valeur que doivent contrecarrer les autres crit`eres pour provoquer une fusion. Plus cette valeur est petite, plus c’est difficile. Ainsi un crit`ere exponentiel ayant une capacit´e de veto de 0 ne pourra pas ˆetre contrecarr´e dans les situations o`u il renvoie cette valeur. La fusion des deux r´egions sera alors impossible.
5.4
Conclusion et perspectives
Nous avons donn´e dans ce chapitre deux algorithmes lin´eaires de segmenta- tions en r´egions. Ces algorithmes ont la particularit´e de permettre une coop´eration r´egion-contour ais´ee. De plus ils r´ealisent un ´etiquetage des composantes connexes.
9Rappel : la distance normalis´e est alors : |c
5.4 Conclusion et perspectives 109
C’est `a notre connaissance les seuls algorithmes ayant toutes ces fonctionnalit´es r´eunies et s’ex´ecutant en une seule passe sur l’image. D’ailleurs la complexit´e th´eorique se traduit par une vitesse d’ex´ecution relativement grande comme on peut le voir dans la table des temps donn´ee `a la section 5.5. De plus les r´esultats obtenus en segmentation sont comparables `a ceux que l’on peut voir habituellement dans les livres ou articles (voir par exemple [HM93, HS92, BB92, AB94, Vei94]). Le lecteur pourra juger de lui-mˆeme, nous donnons plusieurs exemples `a la section 5.5. L’´etiquetage des composantes connexes, et la relation privil´egi´ee qu’offre la structure d’ensembles disjoints entre les ´el´ements (ici un pixel) et les ensembles auxquels ils appartiennent (les r´egions dans notre cas), peuvent ˆetre tr`es utiles pour la r´ealisation d’autres algorithmes. Ainsi comme on l’a vu au chapitre 4, cela nous a permis de mettre au point un algorithme lin´eaire d’extraction du graphe des fronti`eres (une vision diff´erente du graphe d’adjacence). Ces algorithmes offrent de plus des perspectives int´eressantes. Nous pr´esentons par exemple la parall´elisation de MergeSquare `a la section 5.4.1 et la mise en correspondance de deux images segment´ees `a la section 5.4.2. On pourra ´egalement se reporter `a [d’A94] pour une version parall`ele de l’algorithme ScanLine.