n’est pas compl`etement satisfaisant car certaines informations importantes sont manquantes. Ainsi W.G. Kropatsch [Kro94] utilise, dans le cadre de l’analyse hi´erarchique `a base de pyramides d’images, une structure de graphes planaires connexes duaux (voir 4.4). Nous expliquerons pourquoi cette structure ne nous convient pas et pr´esenterons `a la section 4.6 la nˆotre. Nous prouverons ´egalement un algorithme r´ealisant l’extraction du graphe topologique des fronti`eres en un seul balayage de l’image. Mais dans un premier temps voici quelques brefs rappels sur la th´eorie des graphes.
4.3
Brefs rappels sur la th´eorie des graphes
La terminologie et les d´efinitions donn´ees dans cette section sont extraites des livres de C. Berge [Ber70] et M. Gondran et M. Minoux [GM95].
4.3.1
notions g´en´erales
D´efinition 4.1 (graphe) Un graphe G = (V, E) est d´etermin´e par la donn´ee : – d’un ensemble V dont les ´el´ements sont appel´es des sommets.
– d’un ensemble E dont les ´el´ements sont des couples (u, v) de sommets. Si ces couples sont ordonn´es on appelle ces ´el´ements des arcs et le graphe est dit orient´e. Sinon on appelle ces ´el´ements des arˆetes et le graphe est dit non orient´e.
Dans toute la suite les graphes que nous utiliserons seront implicitement consid´er´es comme non orient´es. Si nous devons utiliser des graphes orient´es alors nous em- ploierons le terme de « graphe orient´e » de mani`ere explicite.
On appelle boucle une arˆete (u, v) telle que u = v. Un multi-graphe est un graphe pour lequel il peut exister plusieurs arˆetes entre deux sommets u et v donn´es. Un graphe est dit simple si :
– il est sans boucle ;
– ce n’est pas un multi-graphe, c’est `a dire qu’il n’y a jamais plus d’une arˆete entre deux sommets quelconques.
On dit que deux sommets u et v sont adjacents s’il existe une arˆete (u, v) ∈ E. L’ensemble des sommets voisins d’un sommet u, not´e ΓG(u), est l’ensemble de tous
les sommets v du graphe tels que u et v soient adjacents.
D´efinition 4.2 (degr´e) Le degr´e du sommet v, not´e dG(v) (ou d(v) lorsqu’il n’y
a pas d’ambigu¨ıt´e) est le cardinal de l’ensemble ΓG(v).
Un sommet est dit isol´e si son degr´e est nul.
D´efinition 4.3 (chaˆıne) Une chaˆıne de longueur q est une s´equence de q arˆetes : P = e1, e2, ..., eq
telle que chaque arˆete er de la s´equence (2 6 r 6 q −1) ait une extr´emit´e commune
avec l’arˆete er−1 (er−1 6= er) et l’autre extr´emit´e commune avec l’arˆete er+1 (er+1 6=
er). Les sommets e1 et eq sont appel´es les extr´emit´es de la chaˆıne P . On dit que
la chaˆıne P joint les sommets e1 et eq.
Dans le concept orient´e on parle de chemin et on impose la condition suppl´ementaire que tous les arcs soient orient´es dans le mˆeme sens. Par abus de langage, on parlera ´egalement de chemin pour des graphes non orient´es, le terme « chemin » signifie alors « chaˆıne ». On appelle cycle une chaˆıne P = e1, e2, ..., eq, `a une permutation
pr`es2, telle que :
– la mˆeme arˆete ne figure pas deux fois dans la chaˆıne ; – les deux sommets extr´emit´es de la chaˆıne co¨ıncident.
Un cycle ´el´ementaire est un cycle minimal (pour l’inclusion), c’est `a dire ne conte- nant strictement aucun autre cycle.
Il est facile de remarquer que la relation « u = v, ou u 6= v et il existe une chaˆıne reliant u et v » est une relation d’´equivalence. On peut alors donner la d´efinition suivante :
D´efinition 4.4 (composante connexe) Les classes d’´equivalence de la relation
« u = v, ou u 6= v et il existe une chaˆıne reliant u et v » constituent une partition
de V en graphes, appel´es les composantes connexes de G.
Un graphe sera dit connexe s’il ne forme qu’une seule composante connexe, c’est `
a dire si quelque soit u et v deux sommets, il existe une chaˆıne reliant ces deux sommets. La figure 4.1 montre un multi-graphe et pr´esente la notion de boucle, de sommets adjacents et de composante connexe.
2Le cycle d´efini par la chaˆıne a,b,c,a est ´equivalent `a celui d´efini par les chaˆınes b,c,a,b et
4.3 Brefs rappels sur la th´eorie des graphes 55
une composante connexe
deux sommets adjacents une arˆete
une boucle
Fig. 4.1 – Un graphe
4.3.2
graphes planaires
Nous donnons ici bri`evement les caract´eristiques principales d’une classe par- ticuli`ere de graphe : les graphes planaires.
D´efinition 4.5 (graphe planaire) Un graphe G est dit planaire lorsqu’il admet une repr´esentation sur un plan par des points distincts figurant les sommets et des courbes simples figurant les arˆetes, deux telles courbes ne se rencontrant pas en dehors de leurs extr´emit´es.
Les parties connexes (pour la topologie classique dans IR2) du plan P d´elimit´ees par des arˆetes du graphe G sont appel´ees les faces. L’ensemble des arˆetes qui touchent une face constitue la fronti`ere de la face. Deux faces sont adjacentes lorsque leurs fronti`eres ont au moins une arˆete commune (et pas seulement des sommets communs). D’une mani`ere g´en´erale, la fronti`ere est constitu´ee de cycles ´el´ementaires disjoints (pour les arˆetes), d’arˆetes pendantes ou d’arˆetes reliant deux cycles. `A part pour la face ext´erieure, dite face infinie, il y a toujours un cycle contenant en son int´erieur toutes les autres arˆetes de la fronti`ere, c’est le contour de la face. Ces diff´erentes notions sont pr´esent´ees `a la figure 4.2.
la fronti`ere d’une face f∞ face infinie f2 f1 f3 f4 f5 une face
le contour d’une face
Fig. 4.2 – Un graphe planaire