Les cartes combinatoires que nous pr´esentons dans cette section sont des mod`eles utilis´es en C.A.O., mod´elisation et synth`ese. En effet depuis longtemps les per- sonnes travaillant dans ces domaines ont ´et´e confront´ees au probl`eme d’une repr´esentation efficace et pratique. C’est pourquoi il nous a sembl´e int´eressant d’´etudier les repr´esentations utilis´ees afin de b´en´eficier de toute l’exp´erience acquise dans ce domaine.
4.5.1
pr´esentation g´en´erale
Les cartes combinatoires s’inscrivent dans le cadre des mod`eles de repr´esentation par contours. Dans ce type de repr´esentation les objets (les solides) sont d´efinis par une subdivision en faces (et ces faces en sommets et arˆetes3). Ce mod`ele to- pologique est compl´et´e par un mod`ele de plongement d´efinissant la projection de l’objet dans IR2 ou IR3. Clairement le probl`eme du plongement ne fait pas par- tie pour l’instant de nos pr´eoccupations. En effet nous avons d´ej`a d´evelopp´e dans notre ´equipe (voir [Cha95]) des algorithmes permettant de « redessiner » l’image `a partir du codage interpixel des r´egions4. Nous avons donc comme seule contrainte
de pouvoir ins´erer ce codage dans notre repr´esentation.
3On retrouve d´ej`a les notions de cellules de dimension 0, 1, 2 et 3 utilis´ees dans la topologie-
´etoile
4Le cas des images 3D fait partie de nos pr´eoccupations actuelles et des perspectives de
4.5 Cartes combinatoires 59
Y. Bertrand et J.F. Dufourd affirment dans [BD94] que les cartes et leurs ex- tensions offrent un avantage d´ecisif car elles sont d´efinies `a partir d’un seul ´el´ement de base, le brin, et qu’elles utilisent des op´erateurs simples `a mettre en œuvre : des involutions et des permutations. Ce qui implique une grande homog´en´e¨ıt´e dans la repr´esentation et une g´en´eralisation imm´ediate `a une dimension n. Ceci nous a paru ˆetre un avantage significatif. De plus l’analogie avec les graphes planaires est imm´ediate, on se rapproche donc du mod`ele id´eal souhait´e. On montrera `a la fin de cette section que nous ne pourrons pas l’utiliser directement. Le graphe topo- logique des fronti`eres sera en fait bas´e sur une repr´esentation directement d´eriv´ee des cartes combinatoires.
La notion de carte est apparue en 1960 [Edm60]. Les travaux depuis ont ´et´e nombreux, il n’est donc pas possible dans le cadre de cette th`ese d’en faire une ´etude exhaustive. Le lecteur int´eress´e pourra se reporter `a l’´etat de l’art de P. Lienhardt [Lie90, Lie91].
J.F. Dufourd propose dans [Duf91] un autre mod`ele `a base de cartes combi- natoires : les n-hypercartes ou n-h-cartes (qui sont une extension des hypercartes pr´esent´ees par R. Cori [Cor75]). Y. Bertrand et J.F. Dufourd dans [BD94] montrent comment passer des n-h-cartes aux n-g-cartes et n-cartes. Cette autre mod´elisation est surtout int´eressante du point de vue th´eorique car elle prouve l’´equivalence entre tous les mod`eles de repr´esentation bas´es sur les cartes topologiques.
Nous pr´esentons ici le premier mod`ele de cartes combinatoires, les 2-cartes, ainsi que le mod`ele des cartes g´en´eralis´ees ou n-g-cartes. Ces derni`eres constituent la base d’un modeleur volumique interactif exp´erimental d´evelopp´e `a l’Universit´e Louis Pasteur5 de Strasbourg. Elles pr´esentent donc un int´erˆet certains d’un point
de vue pratique.
4.5.2
2-cartes
Les 2-cartes ont ´et´e la premi`ere mod´elisation math´ematique des repr´esentations `
a bases topologiques [Edm60, Jac70, Cor75].
Rappelons dans un premier temps quelques notions de base : une permutation d’un ensemble fini E est une s´equence ordonn´ee de tous les ´el´ements de E, chaque ´el´ement apparaissant exactement une fois. Par exemple si E = {a, b, c}, il existe 6
permutations de E :
abc, acb, bac, bca, cab, cba
Une involution σ dans un ensemble E est une permutation qui satisfait σ(σ(x)) = x. Un point fixe x d’une fonction σ est tel que σ(x) = x.
Nous pouvons maintenant donner la d´efinition d’une 2-carte :
D´efinition 4.6 (2-carte) Une 2-carte combinatoire M = (D, α0, α1) consiste en
un ensemble fini D d’´el´ements appel´es brins ou demi-arˆetes, une involution α0
sans point fixe, et une permutation α1 dans D.
Exemple :
La figure6 ci-contre montre une 2-carte
3 11 10 9 14 13 1 2 12 8 7 6 5
4 M repr´esent´ee dans le plan, o`u les brins sont
num´erot´es et repr´esent´es par des demi seg- ments ou courbes. On a :
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. α0 et α1sont donn´ees par la table suivante :
D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 α0 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13
α1 13 3 9 5 4 7 6 14 2 12 8 10 1 11
La notion d’orbite, pr´esent´ee ci-dessus, ainsi que cette d´efinition math´ematique des 2-cartes va nous permettre de d´efinir les ´el´ements classiques de la th´eorie des graphes et plus particuli`erement des graphes planaires : sommet, arˆete, face et composante connexe.
D´efinition 4.7 (orbite) Soit une 2-carte M = (D, α0, α1) et un ensemble
P = {p1, . . . , pk} de permutations dans D, soit < P > le groupe engendr´e par
{p1, . . . , pk}, l’orbite d’un brin x ∈ D de M par P est l’ensemble :
<P>(x) = {y = ρ(x) o`u ρ ∈<P>} 6Dans cette figure, la « liaison » entre deux brins par α
0est repr´esent´ee par un petit trait fin
entre deux demi arˆetes ; α1(x) est le brin y incident au mˆeme sommet et est le suivant dans le
4.5 Cartes combinatoires 61 9 2 3 1 2 12 11 10 9 14 13 1 2
(a) un sommet (b) une arˆete (c) une face
Fig. 4.4 – Exemples d’´el´ements de la th´eorie des graphes repr´esent´es par une 2-cartes.
La d´efinition 4.7 d’une orbite permet de d´efinir `a partir des brins les ´el´ements classiques de la th´eorie des graphes. Ainsi un sommet, une arˆete, une face et une composante connexe de M incidents `a un brin x sont d´efinis respectivement par <α1>(x), <α0>(x), <α−11 ◦ α0>(x) et <α0, α1>(x) (voir figure 4.4).
4.5.3
n-g-cartes
R´ecemment des besoins nouveaux tels que la mod´elisation de subdivisions d’es- pace de dimension sup´erieure `a deux a amen´e l’´etude de nouveaux mod`eles. P. Lienhardt a ´etendu les 2-cartes aux 3-cartes, d´efinies en ajoutant une involution, permettant ainsi de repr´esenter des objets 3D orientables. Il a ´egalement pro- pos´e, dans [Lie90], un mod`ele plus g´en´eral : les cartes g´en´eralis´ees ou n-g-cartes (voir d´efinition 4.8). Les cartes g´en´eralis´ees ´etant, comme leur nom l’indique, une g´en´eralisation des n-cartes permettant notamment d’introduire la notion d’orienta- bilit´e et donc de repr´esenter des objets non orientables comme la bande de Mo¨ebius (voir figure 4.5).
D´efinition 4.8 (n-g-carte) Une carte g´en´eralis´ee G = (D, α0, . . . , αn) de di-
mension n (n > 0), ou n-g-carte, est constitu´ee d’un ensemble fini D d’´el´ements appel´es brins, et d’involutions α0, . . . , αn dans D telles que ∀i, j, 0 6 i ≤ i + 2 6
j 6 n, αi◦ αj est une involution.
Fig. 4.5 – La bande de Mœbius : un objet non orientable.
α0
α0
Ci-contre une 0-g-carte contenant 3 brins. Dans la 1-g-carte ci-contre α0 est symbo-
lis´e par les traits fins sur les arˆetes tandis que α1 est repr´esent´ee de mani`ere impli-
cite : deux brins sont en relation par α1
s’ils sont incidents `a un mˆeme sommet et si il se suivent dans le sens des aiguilles d’une montre autour de ce sommet. La figure ci-contre montre une 2-g- carte avec les mˆemes conventions de repr´esentation que pr´ec´edemment. Les traits ´epais symbolisent l’involution α2.
De la mˆeme mani`ere que pour les 2-cartes, la notion d’orbite va nous permettre de d´efinir les cellules d’une carte g´en´eralis´ee :
D´efinition 4.9 (cellule) Soit une n-g-carte G = (D, α0, . . . , αn), la cellule de
dimension k, ou k − cellule, incidente `a un brin x ∈ D de G est l’orbite : <α0, . . . , αk−1, αk+1, . . . , αn>(x)
La cellule simple de dimension k, ou k-cellule simple, incidente `a un brin x de G est <α0, . . . , αk−1>(x).